5.1.3 勾股定理的逆定理课件 2025—2026学年青岛版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过回顾勾股定理引出逆命题问题，结合古埃及结绳画直角实例和尺规作图实验，引导学生从旧知自然过渡到新知探究，构建起“猜想—验证—应用”的学习支架。 其亮点在于以现实情境激发探究兴趣，培养几何直观与抽象能力（数学眼光），通过严谨的构造全等三角形证明过程发展推理能力（数学思维），结合零件面积、土地测量等实际问题培养应用意识（数学语言）。教学方法注重动手实验与逻辑推理结合，小结系统梳理逆定理及勾股数知识，助力学生构建知识体系，也为教师提供丰富教学素材提升效率。

第5章 勾股定理与实数 5.1 勾股定理及其逆定理 第3课时 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 1 1.探索并证明勾股定理的逆定理. 2.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形. 学习目标 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 2 课堂导入 勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2． 提问 勾股定理的逆命题（将条件和结论反过来）是什么? 这个命题是真命题吗？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 3 课堂导入 勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2． 提问 勾股定理的逆命题（将条件和结论反过来）是什么? 这个命题是真命题吗？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 4 新知探究 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图所示，最长边所对的角就是直角. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 5 新知探究 用圆规、直尺作△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？ A C B 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 6 新知探究 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 如何证明这个定理呢？ 想 一 想 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 7 新知探究 已知，在△ABC中， AB=c，AC=b，BC=a.且a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b. ∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2， ∴ A'B' =c. ∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）. ∴ ∠C=∠C'=90°. BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'. 在△ABC和△A'B'C'中 A C B a b c A' C' B' a b c 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 8 新知探究 例1　根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角. （1）a=7，b=24，c=25； （2）a=7，b=8，c=11. 解（1）∵最大边是c=25，c2=625， a2+b2=72+242=625，∴a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角. （2）∵最大边是c=11，c2=121， a2+b2=72+82=113，∴a2+b2≠c2. ∴△ABC不是直角三角形. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 9 新知探究 例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2 – 1，b=2n， c=n2+1（n＞1）. 求证：△ABC为直角三角形. 证明 ∵a2+b2=（n2 – 1）+（2n）2 = n4 – 2n2+1+4n2 = n4+2n2+1 = （n2+1）2=c2 ∴△ABC为直角三角形.（勾股定理的逆定理） 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 10 新知探究 下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ） A.5,12,13 B.3,4,5 C.6,8,10 D.6,7,8 D 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 11 新知探究 变式题 已知△ABC的三边 a，b，c 满足下列条件，试判断 △ABC的形状及 a，b，c 是不是勾股数. （1）a=25，b=20，c=15； 解 ∵ b2+c2=202+152=400+225=625=c2， ∴ △ABC是直角三角形， a，b，c是勾股数. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 12 新知探究 变式题 已知△ABC的三边 a，b，c 满足下列条件，试判断 △ABC的形状及 a，b，c 是不是勾股数. （2）a=p2 – q2，b=p2+q2，c=2pq（p＞q＞0，且p，q均为整数）. 解 a2+c2=（ p2 – q2 ）2+（ 2pq ）2 = p4 – 2p2q2+q4+4p2q2 = p4+2p2q2+q4 =（p2+q2）2=b2 ∴ △ABC是直角三角形， a，b，c是勾股数. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 13 新知探究 常见的勾股数： （1）3，4，5； （2）6，8，10； （3）8，15，17； （4）7，24，25； （5）5，12，13； （6）9，12，15. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 14 新知探究 制造勾股数的方法： （1）若a，b，c是一组勾股数，则ka，kb，kc（k为正整数）也是一组勾股数 若a2+b2=c2 则（ka）2+（kb）2=k2a2+k2b2=k2（a2+b2）=（kc）2 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 15 新知探究 制造勾股数的方法： （2）对于任意的两个正整数m，n（m＞n），m2+n2，m2 – n2，2mn是一组勾股数 （ m2 – n2 ）2+（ 2mn ）2 = m4 – 2m2n2+n4+4m2n2 = m4+2m2n2+n4 =（m2+n2）2 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 16 新知探究 制造勾股数的方法： （3）当n为正奇数时，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，是一组勾股数 （2n+1）2+（2n2+2n）2 =4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2 =4n4+8n3+8n2+4n+1 （2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 17 新知探究 制造勾股数的方法： （4）当n为整数且n＞1时，2n，n2 – 1，n2+1是一组勾股数 （2n）2+（n2 – 1）2 = 4n2+n4 – 2n2+1 = n4+2n2+1 =（n2+1）2 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 18 随堂练习 1. 如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解：这三条线段组成的三角形是直角三角形.因为由 a2=c2-b2，所以有a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 19 随堂练习 2. 下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长？ （1）5，12，13 （2）6，8，10 （3）15，20，25 √ √ √ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 20 随堂练习 3. 如图，在5×4的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，那么满足条件的点C的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 A B A 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 21 随堂练习 4. 在△ABC中，a:b:c=9:15:12，试判断△ABC是直角三角形. 解 依题意知b是最长边， 设a=9k，b=15k，c=12k(k>0)， ∵ a2+c2=(9k)2+(12k)2=225k2， b2=(15k)2=225k2, ∴ a2+c2 = b2， △ABC是直角三角形. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 22 随堂练习 解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0， ∴a-b=0或a2+b2-c2=0. 5. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足 试判断△ABC的形状. 当a=b时，△ABC为等腰三角形; 当a≠b时，△ABC为直角三角形. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 23 随堂练习 6. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 24 随堂练习 6. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？ 解：如图，连接BD.在Rt△BAD中， 在△DBC中，BD2+BC2=52+122=132=CD2. ∴△DBC为直角三角形，∠DBC=90°. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 25 随堂练习 7. 有一块形状如图所示的地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块地的面积. A B C D 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 26 随堂练习 7. 有一块形状如图所示的地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块地的面积. A B C D 解 连接AC， 因为∠ADC=90°， 根据勾股定理得 AC2=AD2+CD2=42+32=25，解得AC=5米. 又AC2+BC2=52+122=169=AC2， 所以∠ACB=90°，（勾股定理的逆定理） SABCD=S△ABC – S△ACD= ×5×12 – ×3×4=24（平方米） 1 2 1 2 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 27 课堂小结 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股数 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 28 $$