5.1.1 勾股定理及证明 课件 2025—2026学年青岛版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其逆定理，课堂导入先回顾三角形定义、内角和及边的关系，再聚焦直角三角形，通过“边的关系？”设问，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生探究直角三角形边的数量关系。 其亮点是多版本整合的探究式教学，通过地砖图案观察、面积关系计算猜想定理，结合赵爽弦图等四种证明方法培养推理意识与几何直观。丰富的跟踪训练和随堂练习（如折叠问题、非直角三角形面积计算）强化应用意识，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

第5章 勾股定理与实数 5.1 勾股定理及其逆定理 第1课时 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 1 1.探索并掌握勾股定理的证明过程. 2.熟练运用勾股定理解决数学问题. 学习目标 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 2 课堂导入 三角形 定义 角 边 直角 三角形 定义 角 边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形。 三角形的内角和是 180°。 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 有一个角是 90°的三角形是直角三角形。 直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 3 新知探究 相传 2500 多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请你观察一下地面的图案，从中发现了什么？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 4 新知探究 思考1 图中三个正方形的面积有什么关系？ 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. S1=S2+S3       青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 5 新知探究 思考2 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 斜边的平方等于两直角边的平方和. c2=a2+b2 a b c 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 6 新知探究 等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？ 如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、 A' 、 B' 、 C' 的面积，看看能得出什么结论？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 7 新知探究 我发现 SA+SB=SC、SA'+SB'=SC' A B C A’ B’ C’ 面积/格 你发现了什么规律吗？ 4 34 25 9 13 9 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 8 新知探究   通过上面的思考和探究，我们可以猜想： 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？ 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明． 有哪些证明方法呢？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 9 新知探究 证法一：赵爽弦图 b b a a c a c b 边长分别为a、b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形. 四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 10 新知探究 证法一：赵爽弦图 b b a a c a c b     青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 11 新知探究 证法二：加菲尔德总统拼图 如图，你能用两种方法计算梯形的面积S吗？ b b a a c c ┐ ┌ ┌       1874年美国总统Garfield证明 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 12 新知探究 证法三：毕达哥拉斯拼图 b b b b a a a a c c c c b b b b a a b a a c c 分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 13 新知探究 b b b b a a a a c c c c b b b b a a b a a c c       青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 14 新知探究 证法四：刘徽“青朱出入图” a b c 青出 青出 青入 青入 朱入 朱出       青方 朱方 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 15 新知探究   A C B a b c 符号语言 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 a2 + b2 = c2。 定理变式 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 a2 = c2 - b2，b2 = c2-a2。 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 16 新知探究 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。 勾 股 此结论被称为“勾股定理”。 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 17 新知探究 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 18 跟踪训练 1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形 A、B、C、D 的边长分别为12、16、9、12，求最大正方形 E 的面积. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 19 跟踪训练     青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 20 跟踪训练 2.在直角三角形中，如果有两条边长为3、4，那么第三条边长为多少？ 解：①已知两边都是直角边时，由勾股定理得：   ②已知两边一条是直角边，一条是斜边时， 由勾股定理得：   青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 21 随堂练习 1.在Rt△ABC中，∠A、 ∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c， ∠C=90〫.已知a：b=1 : 2，c=5，求b. 解：因为∠C=90〫， a：b=1:2，所以b=2a.   青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 22 随堂练习 2.如图，每个小正方形的边长均为1，求三角形ABC的三边长.       A B C 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 23 随堂练习 3.已知直角三角形的两条边长为2、4，则第三条边长为多少？ 解析：题目中并未说明已知的两条边长是直角边还是斜边，所以在解答的时候要注意分情况讨论，而且要满足三角形的三边关系. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 24 随堂练习 3.已知直角三角形的两条边长为2、4，则第三条边长为多少？ 解：（1）当2、4均为直角边时；   （2）当2为直角边，4为斜边时；       青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 25 随堂练习 4.如图，在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC = 14，求△ABC 的面积。 思路分析 过点 A 作 AD⊥BC AD2=AB2-BD2 AD2=AC2-CD2 求 AD 求 S△ABC 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 26 随堂练习 4.如图，在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC = 14，求△ABC 的面积。 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 则∠ADB = ∠ADC = 90°。 设 BD = x，则 CD = BC-BD = 14-x。 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 = AB2 - BD2 = 152-x2。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2 = AC2-CD2 = 132-(14-x)2。 所以152-x2 = 132-(14-x)2， 解得 x = 9，即 BD = 9。 所以 AD2 = AB2-BD2 = 152-92 = 144。 所以 AD = 12。 所以 S△ABC = BC·AD = ×14×12 = 84。 1 2 1 2 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 27 随堂练习 5.如图，有一张直角三角形纸片，其中∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3。 现将△ABC 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 D 处， 折痕为 AE，则 CE 的长为（ ） A. 1 B. 2 C.1.5 D. 2.5 C 解析：由折叠知 AD = AC = 3，CE = DE，∠ADE = ∠ACE = 90°， 所以 BD = AB-AD = 2，∠BDE = 180°-∠ADE = 90°。 在Rt△ABC 中，BC2 =AB2-AC2 = 52-32 = 16， 所以 BC = 4，所以 BE = 4-DE。 在Rt△BDE 中，BE2 = DE2 + BD2， 即 (4-DE)2 =DE2 + 22，解得 DE = 1.5，即 CE = 1.5。 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 28 随堂练习 6.如图，在 Rt△ABC中，AB = 9，BC = 6，∠B = 90°，将△ABC折叠，使点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ） A. B. C.4 D.5 5 3 5 2 C 【解析】设 BN = x，则 DN = AN = AB-BN = 9-x。 因为 D 是 BC 的中点，BC = 6，所以 BD = 3。 在Rt△BDN 中，BN2 + BD2 = DN2， 即 x2 + 32 = (9- x)2，解得 x = 4。 所以线段 BN 的长为 4。 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 29 随堂练习 7.如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E, ∴C′E=AD-ED=8-ED.又在△EC′D中， 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 30 课堂小结 勾股定理 证明 定理   赵爽弦图 刘徽“青朱出入图” 加菲尔德总统拼图 毕达哥拉斯拼图 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 31 $$