第二章 大招专题3 课时3 等腰三角形的对称性及性质-【初中必刷题】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步课件（鲁教版五四学制2024）

该初中数学课件聚焦等腰三角形与等边三角形核心知识，涵盖对称轴、三线合一、等边对等角等知识点，通过“刷基础”“刷提升”分层设计，以典型例题为支架衔接前后知识，帮助学生构建系统知识体系。 其亮点在于融合推理能力与几何直观，如“三等分角仪”问题培养逻辑推理，动态几何题（AD+CD最小值）发展空间观念。设“刷易错”辨析“三线合一”误区，分层训练适配不同学生，教师可借超链接便捷教学，学生能提升解题能力与数学思维。

数 学 七年级上册 LJ 1 2 3 第二章 轴对称 4 大招专 题3 角平分线中常见辅助线 课时3 等腰三角形的对称性及性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 等腰三角形的对称轴 1.［2024福建福州调研］等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线： ①底边上的高；②顶角的平分线；③底边的垂直平分线；④底边上的中线.其中是 等腰三角形的对称轴的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】等腰三角形的①底边上的高，②顶角的平分线，④底边上的中线是线段， 不是对称轴，而③底边的垂直平分线是直线，是等腰三角形的对称轴，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 知识点2 等腰三角形的“三线合一” 2.［2025山东泰安期末］如图，为的中线.若 ，则下列结论不一 定成立的是( ) D （第2题图） A. B. C. D. 【解析】因为为的中线，，所以， ， ，所以A、B、C选项一定成立，不符合题意.因为， 不一定相 等，所以D选项不一定成立，符合题意.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.如图，在中，，平分交于点， ，则 ___ . 8 （第3题图） 【解析】因为,平分 ，所以根据等腰三角形“三线合一”的性质 可知，也是底边上的中线，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点3 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） （第4题图） 4.［2025福建泉州期末］如图，在等腰三角形 中，顶角 ，过点作的平行线，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为顶角 ，所以 .因为 ，所以 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.如果等腰三角形的一个内角为 ，那么其他两个内角为( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 或 ， 【解析】当该角是底角时，另外两个角分别为 ， ；当该角是顶角时，另 外两个角分别是 ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第6题图） 6.［2024湖北随州曾都区期末］“三等分角”是古希腊三大几何 问题之一.如图是一个“三等分角仪”，这个“三等分角仪”由两 根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动， 点 固定，，点，可在槽中滑动，若 ， 则____ . 24 【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以，.设 ，则 ，易得，所以，所以 ，解 得 ，即 .故答案为24. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识点4 等边三角形的性质 （第7题图） 7.［2025山东济宁期末］如图，在等边三角形中， ， 垂足为，点在线段上， ，则 等于( ) D A. B. C. D. 【解析】在等边三角形中， ， .因为 ，所以点是的中点，所以垂直平分线段 ，所以 ，所以 ，所以 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （第8题图） 8.如图，若是等边三角形，，是 的平分线， 延长到，使，则 ( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】因为是等边三角形，所以 .因为 是的平分线，所以是边上的中线，即 . 因为,所以，所以 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 9.［2024辽宁阜新太平区调研］如图，，等边的顶点，分别在 ， 上， ，则 的度数为____. （第9题图） 【解析】设与的交点为点.因为，所以 .因为 是等边三角形，所以 ，所以 . 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 刷易错 易错点 对等腰三角形“三线合一”性质理解错误 10.如图，在中，，， 平分 吗？为什么？ 【解】不一定平分.因为 是腰上的中线， 并不是底边上的中线，所以不一定平分 . 易错警示 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，而本题中 是 腰上的中线，并不是底边上的中线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 提升 （第1题图） 1.［2025广东汕头期末，中］如图，点是等边三角形的边 上的一点（点与点,不重合），则在以线段，， 的长为 三边长组成的三角形中，最大的内角的度数为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】过点作交于点 ，如图所示. 因为是等边三角形，所以 ， .因为，所以 ， ，所以 ，所以 是等边三 角形，所以，所以 ， ，所以在以线段，， 的长为三边长组成的 三角形中，最大的内角为 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （第2题图） 2.［2024江苏常州新北区期中，中］如图，在 中， ， ，以点为圆心， 长为半径作弧， 交射线于点，连接，则 的度数是( ) C A. B. C. 或 D. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解析】补全图形如图所示. 在中， ， ， 所以 .①由作图可知， ，所以 ，所 以 .②由作图可知, ，所以 .因为 ，所以 ，所以 . 综上所述，的度数是 或 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第3题图） 3.［2025河南郑州期末，中］如图，在中， ， ，过点作，连接，作线段 的垂直 平分线交于点，交于点，连接，若 ，则 ____ . 24 【解析】因为 ， ，所以 .因为 ，所以 .因为垂直平分，所以，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ， 所以 .故答案为24. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第4题图） 4.［2025江苏无锡质检，中］如图， ， ，，则 的面积为___. 9 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】过点作，垂足为，过点作，交 的 延长线于点 ，如图所示， 所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 . 因为 ，，所以.因为 ，所以 ，所以，所以 的面积为 .故答案为9. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 5.［中］如图，等边的边长为2，过点的直线 ，且 与关于直线对称，为线段 上一动点，则 的最小值是___. 4 【解析】如图，连接.因为等边的边长为2， 与 关于直线对称，所以 ， ，所以 ，所以 . 因为，所以，所以 ，所以 ，所以当，，三点共线时，最小，即 最小，此时 ，故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 思路分析 根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到 ， ，证明，得到，推出当,, 三点 共线时，最小，此时 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 6.［较难］如图，已知在中， ，，点在 上，且 ，点在的延长线上，且 . （1）____ . 50 【解析】因为， ，所以 .因为 ， 所以 .因为 ，所以易得 .在中， ， 所以 .故答案为50. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （2）①如果把题目中“”的条件去掉，其他条件不变，那么 的度 数会改变吗？请说明理由. 【解】不改变.理由：设 .因为，所以 ，所 以 .因为在中， ， 所以 .又因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 ②若 ，其他条件与①相同，则 的度数是多少？直接写出结果，结 果用含 的式子表示. 【解】 .因为，所以 ，所以 .因为 ，所 以易得 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 思路分析 （1） （2）①根据等腰三角形的性质逐步表示出 ②仿照①的思路逐步求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力［2024江苏无锡校级期中，较难］探究与发现：如图（1）， 在中， ，，点在底边上，，连接 . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）当 时，求 的度数； 【解】因为， ，所以 .因为 ， 所以 , .因为 ，所以 ，所以 . （2）当点在线段（点，除外）上运动时，试猜想并探究与 的 数量关系； 【解】设，所以.因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （3）深入探究：若 ，试就图（2）探究与 的数量关系. 【解】设，.因为，，所以 .因为 ，所以 . 因为，所以 .因为 ，所以，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 $$