2.2.3 直线的一般式方程（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.2.3 直线的一般式方程 题型一：一般式方程的辨析 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( ) （2）直线的其他形式的方程都可化为一般式．( ) （3）关于的二元一次方程（不同时为0）一定表示直线．( ) （4）直线经过点且一个方向向量为，则该直线的方程为.( ) 【答案】 正确 正确 错误 错误 【分析】利用直线方程的含义以及直线方向向量的理解可以判断. 【详解】（1）直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线，正确； （2）直线的其他形式的方程都可化为一般式，正确； （3）关于的二元一次方程（不同时为0）一定表示直线， 要限定在坐标平面内，错误； （4）直线经过点且一个方向向量为，则该直线的方程为 ，错误； 故答案为：正确；正确；错误；错误. 2．判断下列命题的真假．（真命题用“正确”表示，假命题用“错误”表示） ①在平面直角坐标系中，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线．( ) ②直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．( ) ③直线方程的一般式同二元一次方程（不同时为零）之间是一一对应关系．( ) ④方程，，均表示直线．( ) ⑤不经过原点的直线都可以用表示．( ) 【答案】 错误 错误 正确 正确 错误 【分析】对于①②，不能同时为即可判断；③④正确； ⑤截距式不能表示垂直轴或垂直轴. 【详解】对于①，当不能同时为时，二元一次方程表示一条直线，故①错误； 对于②，一般式方程，其中不同时为， 当或时，一般式不能化为点斜式方程、两点式方程，故②错误； 对于③，直线方程的一般式同二元一次方程（不同时为零）之间是 一一对应关系，故③正确； 对于④，方程均表示直线，故④正确； 对于⑤，垂直轴或垂直轴不能使用表示，故⑤错误. 故答案为：错误；错误；正确；正确；错误 题型二：一般式求斜率、截距、方向向量 1．直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】转换成斜截式即可得. 【详解】由直线可得，则其斜率为.故答案为：. 2．直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可. 【详解】，因此该直线的斜率为，故答案为： 3．直线的倾斜角为 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，即可求倾斜角. 【详解】由题可得，直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率为，则倾斜角为， 故答案为：. 4．已知某直线的一般式为，则此直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】由直线方程确定斜率，即可求解. 【详解】由直线方程可得：.所以直线的倾斜角为.故答案为：. 5．直线l：的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】化直线方程为斜截式，求出其斜率，进而求得倾斜角. 【详解】直线l：方程化为：，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故答案为： 6．直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由题意得该直线的斜率为，故其倾斜角为．故答案为： 7．直线的一个方向向量为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先得到其法向量为，则可直接写出其一个方向向量. 【详解】直线的法向量为，则其一个方向向量为. 故答案为：（答案不唯一）. 8．直线的一个方向向量是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由直线方向向量的定义求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是. 故答案为：（答案不唯一） 9．直线的方向向量坐标可以是 （只需写出一个满足条件的一个向量） 【答案】（只需满足即可） 【分析】计算出直线的斜率，可写出该直线的一个方向向量坐标. 【详解】直线的斜率为， 所以，直线的方向向量坐标可以为. 故答案为：（只需满足即可）. 题型三：根据已知条件选择适当形式求直线方程 1．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，进而利用直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】∵直线的方向向量, ∴直线的斜率， 又∵直线过点 ∴由点斜式可得：,即， 故答案为：. 2．已知直线过点，它在轴上的截距为4，则此直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式求出直线的斜率，再由斜截式方程得出结果. 【详解】因为直线过点，在轴上的截距为4即过点， 所以直线的斜率为， 直线的方程为，即. 故答案为：. 3．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 题型四：利用一般式判断直线平行 1．已知直线，，试判断直线与是否平行． 【答案】平行 【分析】将直线化为斜截式，验证是否存在，即可判断两直线是否平行. 【详解】将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 将直线化为斜截式，得． 因此，直线的斜率，它在y轴上的截距． 由于，，所以． 2．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 【答案】(1)平行，理由见解析；(2)不平行，理由见解析 【分析】分别写出直线，的斜率，即可判断出其位置关系. 【详解】（1）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 又直线，在y轴上的截距分别为1和， 所以与不重合，从而； （2）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 所以与不平行． 3．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)平行，理由见解析； (2)平行，理由见解析； (3)不平行，理由见解析； (4)平行，理由见解析. 【分析】根据直线的斜率、平行的判定及与数轴的位置关系， 结合各直线与数轴的截距判断两直线是否平行即可. 【详解】（1）由题设，、的斜率为， 又，，即不重合，所以、平行. （2）由题设，中、中， 所以，又，，即不重合， 所以、平行. （3）由题设，、的斜率，且，，即两线重合， 所以、重合. （4）由题设，、均垂直于x轴，又，，故不重合， 所以、平行. 4．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)平行，理由见解析；(2)平行，理由见解析；(3)平行，理由见解析 【分析】（1）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系； （2）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系； （3）根据两直线与轴的位置关系及其在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系. 【详解】（1）解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、， 则由、的方程可知，且，所以． （2）解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、． 因为、的方程分别可化为，， 所以，且，所以． （3）解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同， 所以． 题型四：利用一般式判断直线垂直 1．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 【答案】(1)垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析 【分析】（1）两直线的斜率存在，则根据斜率之积为-1判别是否垂直即可； （2）两直线的斜率存在，则根据斜率之积为-1判别是否垂直即可. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直； （2）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直. 2．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)与垂直；(2)与垂直；(3)与不垂直；(4)与不垂直. 【分析】（1）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （2）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （3）计算两条直线的斜率乘积是否等于即可； （4）根据方程可得与平行. 【详解】（1）因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （2）因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （3）因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与不垂直， （4）因为，，所以与平行，不垂直. 3．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)垂直；(2)垂直；(3)不垂直；(4)垂直 【分析】（1）由斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线垂直的条件判断； （3）由两直线垂直的条件判断； （4）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【详解】（1），两直线垂直． （2），两直线垂直； （3），不垂直； （4）斜率为0，斜率不存在，两直线垂直． 4．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析；(3)垂直，理由见解析 【分析】（1）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论； （2）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论； （3）易得轴，轴，即可得出结论. 【详解】（1）解：设两条直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以； （2）设两条直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以； （3）解：由两个方程，可知轴，轴，所以． 题型一：利用直线位置关系求参数值 角度1：平行求参 1．若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或， 当时，两条直线重合； 当时，两条直线平行. 综上，. 故选：C. 2．已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线：，：，满足， 当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去， 综上，. 故选：B 3．若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得的值. 【详解】由可知，其斜率为， 又两直线平行，所以可得，解得. 故选：B 4．若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用一般式方程判定直线平行的条件进行求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故选：B. 角度2：垂直求参 1．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 2．直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面内两直线垂直，得，解之即可． 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B 3．已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件. 【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 角度3：重合求参 1．已知直线，，求的取值范围，使得与重合. 【答案】 【分析】由题意可得，运算求解并检验即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，，，即与重合，合题意； 综上所述：1. 2．已知直线，，若与重合，实数的取值为__________． 【答案】 【分析】根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合. 【详解】若与重合，需满足，且，解得，即时，与重合. 20．已知直线，直线.当a 时，l1与l2重合； 【答案】 ； 【分析】直接根据两条直线位置关系公式求解即可. 【详解】由，得或， 当时，l1：-x+2y+6＝0，l2：x+2y＝0，显然l1∥l2； 当时，l1：x+y+3＝0，l2：x+y+3＝0，显然l1与l2重合； 故答案为：； 题型二：直线过定点问题 1．直的方程为，则该直线过定点 ． 【答案】 【分析】转化等式对于参数恒成立，列式求解 【详解】即，令得，直线过定点， 故答案为： 2．已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 【答案】 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【详解】令，即，可得，所以直线：恒过定点. 故答案为：. 3．设直线过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】化简直线方程为，联立方程组，即可求解. 【详解】由直线方程，可化简为， 又由，解得，即直线恒经过定点. 故答案为：. 4．已知，则直线必过定点 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】解：因为，所以， 又直线，所以直线必过； 故答案为： 5．直线恒过定点 . 【答案】 【分析】分离参数，解方程组可得直线恒过定点. 【详解】直线可化为， 令，解得 ， 所以直线恒过定点 ， 故答案为：. 1．（多选）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合； 选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 2．已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 3．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答. 【详解】直线过点. 如图， 由题意，直线与线段总有公共点， 即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或， 而，因此或， 所以或，解得或，即a的取值范围是. 故选：D. 4．已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【详解】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得 ； 综上所述： （3）设直线方程为，则 ， 由直线恒过定点，得， 由整理得：，解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 直线的一般式方程 题型一：一般式方程的辨析 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( ) （2）直线的其他形式的方程都可化为一般式．( ) （3）关于的二元一次方程（不同时为0）一定表示直线．( ) （4）直线经过点且一个方向向量为，则该直线的方程为.( ) 2．判断下列命题的真假．（真命题用“正确”表示，假命题用“错误”表示） ①在平面直角坐标系中，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线．( ) ②直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．( ) ③直线方程的一般式同二元一次方程（不同时为零）之间是一一对应关系．( ) ④方程，，均表示直线．( ) ⑤不经过原点的直线都可以用表示．( ) 题型二：一般式求斜率、截距、方向向量 1．直线的斜率为 ． 2．直线的斜率为 ． 3．直线的倾斜角为 4．已知某直线的一般式为，则此直线的倾斜角为 . 5．直线l：的倾斜角为 ． 6．直线的倾斜角为 ． 7．直线的一个方向向量为 . 8．直线的一个方向向量是 . 9．直线的方向向量坐标可以是 （只需写出一个满足条件的一个向量） 题型三：根据已知条件选择适当形式求直线方程 1．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为 . 2．已知直线过点，它在轴上的截距为4，则此直线的方程为 ． 3．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 题型四：利用一般式判断直线平行 1．已知直线，，试判断直线与是否平行． 2．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 3．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 4．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 题型四：利用一般式判断直线垂直 1．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 2．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 3．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 4．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 题型一：利用直线位置关系求参数值 角度1：平行求参 1．若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 3．若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 角度2：垂直求参 1．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 2．直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若直线和直线垂直，则 ． 角度3：重合求参 1．已知直线，，求的取值范围，使得与重合. 2．已知直线，，若与重合，实数的取值为__________． 20．已知直线，直线.当a 时，l1与l2重合； 题型二：直线过定点问题 1．直的方程为，则该直线过定点 ． 2．已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 3．设直线过定点，则点的坐标为 . 4．已知，则直线必过定点 ． 5．直线恒过定点 . 1．（多选）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 2．已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$