5.4 课时2 行程、工程、等积变形与盈余问题-【初中必刷题】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步课件（冀教版2024）

数 学 七年级上册 JJ 1 2 3 第五章 一元一次方程 4 5.4 一元一次方程的应用 课时2 行程、工程、等积变形与盈余问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 行程问题 1. 传统文化［甘肃武威中考］《九章算术》是中国古代的一部数学专著， 其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南 海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁 从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相 遇？设经过 天相遇，根据题意可列方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意得，所以 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 方法总结 相遇问题（相向而行）常用的等量关系:甲的行程乙的行程 甲、乙出发点之间 的距离;若甲、乙同时出发,则甲用的时间 乙用的时间. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.轮船在静水中的速度为，水流速度为 ，轮船从甲码头顺流航行 到乙码头，再返回甲码头，共用 （不计停留时间），则甲、乙两码头之间的距 离为_______． 【解析】设甲、乙两码头之间的距离为，则，解得 ， 即甲、乙两码头之间的距离为 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 工程问题 3.一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再 加入一起做，则完成这项工程共需( ) C A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 【解析】设整个工程量为1，完成这项工程共需天.根据关系式“甲完成的部分 两人共同完成的部分”列出方程，解得 ．所以完成这项工程 共需5天. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.［2024陕西西安雁塔区校级模拟］为加强新农村建设，某地方政府准备在甲村 和乙村之间修建一条公路．已知A工程队单独完成此工程需要5个月，B工程队单独 完成此工程需要10个月．若A，B两工程队合作2个月后，再由B工程队单独完成剩 余部分，则B工程队还需要几个月才能完成？ 【解】设B工程队还需要 个月才能完成. 根据题意得 ， 解得 . 答：B工程队还需要4个月才能完成． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点3 等积变形问题 5.［2025陕西西安期末］一根内径为 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管 中的水逐渐滴入一个内径为、高为 的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满 水时，试管中水的高度下降了______ ． 12.8 【解析】设试管中水的高度下降了．根据题意，得 , 解得 ． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.［2025山东青岛期中］有一块棱长为0.6米的正方体钢坯，若将它锻造成横截面 是0.009平方米的长方体钢材，则锻成的钢材的高是____米． 24 【解析】设锻成的钢材的高为米．根据题意，得,解得 ．故 锻成的钢材的高为24米． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点4 盈余问题 7.［2024河北廊坊期末］某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快 递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差4件．设分派站现有包裹 件，则下面所列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意得 ，故选B. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 8.［2024河北邯郸期末］一个数学趣味问题：一群老人去赶集，半路买了一堆梨， 一人一个多一个，一人两个少两个，请问君子知道否，几位老人几个梨？( ) A A.3位老人4个梨 B.4位老人3个梨 C.5位老人6个梨 D.7位老人8个梨 【解析】设有位老人.由题意得，解得，所以 ，所 以有3位老人4个梨，故选A. 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 刷易错 易错点 求解两车距离问题时，忽略分类讨论而丢解 9.［2025河南郑州期末］已知A，B两地相距200千米，甲车以80千米/时的速度从A 地出发，乙车以60千米/时的速度从B地出发，乙车在前，甲车在后．如果两车同 时出发，同向而行，那么出发后_______小时，两车相距20千米． 9或11 【解析】设出发后 小时，两车相距20千米.当两车相遇前相距20千米时， ，解得 ；当两车相遇后相距20千米时， ，解得 ．所以出发后9或11小时，两车相距20千米． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 易错警示 注意分①两车相遇前相距 20千米；②两车相遇后相距20千米这两种情况讨论求解． 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 提升 1.［中］一天早上，小宇从家出发去上学．小宇在离家800米时，突然想起班级今 天要进行合唱彩排，表演的衣服忘带了，于是小宇立即打电话通知妈妈送来，自 己则一直保持原来的速度继续赶往学校.妈妈接到电话后，马上拿起衣服以180米/ 分的速度沿相同的路线追赶小宇，10分钟后追上了小宇，把衣服给小宇后又立即 以原速原路返回，小宇拿到衣服后继续原速赶往学校（接打电话、拿取衣服等时 间都忽略不计）．当小宇妈妈回到家中时，小宇恰好也到学校，则小宇家离学校 的距离为( ) C A.1 800米 B.2 000米 C.2 800米 D.3 200米 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】设小宇的速度为米/分.由题意可得，解得 ， 所以小宇家离学校的距离为 （米），故选C． 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 2.［中］甲、乙两人完成一项工作,甲先做了3天,然后乙加入一起做,完成剩下的 工作.设工作总量为1,工作进度如下表，则完成这项工作共需( ) 时间 第3天 第5天 工作进度 A A.9天 B.10天 C.11天 D.12天 【解析】从题表中可知甲做3天完成这项工作的,所以甲每天完成的工作量为 , 所以甲做5天完成的工作量为,乙做2天完成的工作量为 ,所以乙每天完 成的工作量为.设完成这项工作共需要天,则甲做了天,乙做了 天.依题 意,得,解得 .所以完成这项工作共需9天. 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 3.［中］某桥长 ，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到 完全过桥共用，而整个火车在桥上的时间是 ，则火车的速度为________． 思路分析 火车过桥问题 火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，如图所示： 图（1） 图（2） 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （1）火车从上桥到完全过桥如图（1）所示，此时火车走的路程是桥长 车长； （2）火车完全在桥上如图（2）所示，此时火车走的路程是桥长-车长． 由于火车是匀速行驶的，所以本题的等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度 整 个火车在桥上的速度．（注：图中的 点表示火车头） 【解析】设火车车身长为.根据题意，得，解得 ．所以 ．所以火车的速度是 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 4.［2024广东深圳罗湖区校级模拟，中］某校组织七年级师生赴农场参加社会实 践．如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可比单 独租用45座客车少租1辆，且余15个座位．已知租45座客车日租金为每辆2 250元， 60座客车日租金为每辆2 760元，则单独租用______客车更合算.（填“45座”或 “60座”） 60座 【解析】设单独租用60座的客车辆，则单独租用45座的客车 辆.根据题意 得，解得 ，所以单独租用45座客车需花费 （元），单独租用60座客车需花费 （元）．因为 ，所以单独租用4辆60座客车更合算． 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 5.［2025广东汕头期末，中］开学前夕，某学校需购买一批课桌椅，现有甲、乙 两个工厂生产这批课桌椅.已知甲工厂每天能生产16套，乙工厂每天能生产24套， 且单独生产这批课桌椅甲工厂比乙工厂要多用20天． （1）这批课桌椅共有多少套？ 【解】设这批课桌椅共有套.根据题意，得 ． 解得 ． 答：这批课桌椅共有960套. 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （2）为了尽快完成这批课桌椅的生产任务，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合 作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高 ，乙工厂单独完 成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工 厂共工作多少天. 【解】设甲工厂工作天，则乙工厂共工作 天． 根据题意，得，解得 ，所以 ． 答：乙工厂共工作28天． 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 刷素养 走向重高 6.核心素养 应用意识［较难］嘉嘉和琪琪分别站在正方形空地 相对的两顶点，处，嘉嘉以的速度沿走向点 ，途 中位置记为，琪琪以的速度沿走向点，途中位置记为 . 假设两人同时出发，已知正方形的边长为，在 边上， ，记三角形的面积为，三角形的面积为 ，如图 所示. 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （1）求她们出发几秒时， ； 【解】设她们出发时， ， 则嘉嘉所走路程为，即 ； 琪琪所走路程为，即 . 根据题意，得 ， 解得 . 答：她们出发时， . 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）当时，琪琪距离点 还有多远？ 【解】设她们出发时，，则 ， ．根据题意，得 ，解得 ，即她们出发时，，此时琪琪距离点 还有 ． 答：当时，琪琪距离点还有 . 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 关键点拨 本题是动点问题，利用了数形结合的思想.解题关键是利用嘉嘉和琪琪的速度和所 设运动时间的乘积表示线段的长，然后利用运动过程中产生的图形面积间的关系 列方程. 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 $$