9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固练习 2024--2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、矩形的判定与性质的综合应用 1.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC2＝AB2+BC2 2.下列关于矩形的说法中正确的是（　　） A.矩形的对角线相等 B.矩形的对角线平分一组对角 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是矩形 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A.∠BAD＝90° B.∠BAD＝∠ABC C.∠BAO＝∠OBA D.∠BOA＝90° 4.如图，在平行四边形ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC，能说明平行四边形ABCD是矩形的有 　　　　　（填写序号）． 5.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　　　　　（写出一个即可）． 6.如图，AC＝BC，D是AB的中点，CE∥AB，CEAB． （1）求证：四边形CDBE是矩形． （2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长． 7.华东师大版八年级数学（下）第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识（定义）→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是 　　； （2）根据（1）中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在 　　　　中，AC、BD是两条对角线，且 　　　　　　　　． 求证：　　　　　　　　． 证明：　　　　　　　　　. 二、矩形的对角线的性质 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A.5 B. C. D. 2.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　） A.6 B.9 C.12 D.15 3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（　　） A.6 B.8 C. D. 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若∠COD＝60°，CD＝2，则AD＝　　． 5.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 6.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 7.如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求矩形ABCD的面积． 三、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形BFDE是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 2.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 3.如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 下列判断正确的是（　　） A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 4.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　　． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由． 7.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 四、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A. B.（﹣2，1） C. D. 3.如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形ABCD的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 4.将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG，BC＝3，连接DF．M是DF的中点，连接AM，则AM的长是 　　． 5.如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．则EM+AF的最小值是 　　． 6.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：∠BAF＝∠ADE； （2）求证：DE﹣BF＝EF． 7.已知：正方形ABCD的边长是4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且，如图，求证：∠AFE＝90°． 五、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 6.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE． （1）求证：BF＝DE； （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝10，E为AC的中点，当BC的长为 　　时，四边形BCDE为正方形． 六、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC 3.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 4.如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是　　　　．（只需写出一个符合要求的条件） 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 6.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形． 七、利用边判定菱形 1.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，添加下列条件后仍然不能推得四边形ABCD为菱形的是（　　） A.AB＝CD B.AD∥BC C.AB＝AD D.AD＝CD 2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 3.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 4.小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示．请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是　　　　　　　　　　． 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点，作OF∥AB，交BE延长于点F，连接AF． （1）求证：△AEB≌△OEF； （2）连接DF，当∠BAD＝　　°时，四边形AODF是菱形． 7.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长． 八、利用对角线判定矩形 1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） A.AB＝BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠1＝∠2 2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB∥CD D.AC＝BD 3.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 4.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 5.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 6.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F分别是OA、OC上的点，连接BE、BF、DE、DF． 给出以下三个条件：①BE∥DF；②AE＝CF；③OD＝OE．从中选择两个条件，使四边形BEDF是矩形，并加以证明． 你选择的条件是 　　． 7.如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 九、正方形对角线的性质 1.图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC 2.如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，DE＝DC，F是CB延长线上一点，EF＝EC，连接AF，则∠BAF的度数为（　　） A.15° B.20° C.22.5° D.25° 3.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，过点D作DF⊥BD且DF＝BE，连接EF，点G是EF的中点，连接AG、AF．若∠BCE＝α，则∠DAG一定等于（　　） A.α B. C.45°﹣α D.30°﹣α 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．若BD＝4，则AF的长为 　　． 5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 7.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 十、平行线间的距离 1.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 2.如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　） A.是点A到点B的距离 B.是点B到直线l1的距离 C.是直线l1、l2之间的距离 D.是点A到直线l2的最大距离 3.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 4.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 5.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 十一、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A. B. C. D. 2.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 3.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为 　　． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝2，AC＝4，点M，N分别是BC，AD的中点，连接AM，CN．若四边形AMCN为菱形，则MC＝　　　． 6.在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝∠BAC，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证；BD＝CF； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC＝90°时，求证：BD＝CF． 7.如图，在菱形ABCD中，P，Q是对角线BD上的两点，连接CP，CQ，且BP＝DQ． （1）求证：∠BCP＝∠QCD； （2）若PQ＝CQ，∠DCQ＝2∠CDQ，求∠A的度数． 十二、正方形的判定 1.下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A.AB＝AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（　　） A.对角线互相平分的四边形 B.有三个角是直角的四边形 C.有一组邻边相等的平行四边形 D.对角线相等的菱形 3.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.AB＝CD B.AC＝BD C.AB＝AD D.AC与BD互相平分 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 5.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 　　　　时，这个菱形就是正方形． 6.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 7.求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．（画图，写已知，求证并证明） 十三、菱形对角线垂直 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0） 2.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　） A.（5，﹣2） B.（2，﹣5） C.（2，5） D.（﹣2，﹣5） 3.菱形的对角线不具备的性质是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线一定相等 C.对角线一定垂直 D.对角线平分一组对角 4.如图，边长为3的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上任意一点（P不与B、D重合），以AP和PD为边作平行四边形APDQ，则PQ的最小值为 　　． 5.如图，在菱形ABCD中，O是AC的中点，OE⊥BC，垂足为E．若AC＝6，S菱形ABCD＝24，则OE的长为 　　． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝16，BD＝12，求AD、OE的长． 十四、利用对角线判定菱形 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A.对角线垂直 B.两对角线相等 C.两对角线互相平分 D.两对角线互相垂直平分 2.下列命题正确的是（　　） A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.平行四边形的两条对角线互相垂直 C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.有三个角为直角的四边形为矩形 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A.∠BAC＝∠BCA B.∠ABD＝∠CBD C.OA2+OB2＝AD2 D.AD2+OA2＝OD2 4.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 　　　　． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 6.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝OC，连接CE、OE，OE＝CD．求证：▱ABCD是菱形． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O． （1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　.（填序号） （2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形的判定与性质的综合应用 1.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC2＝AB2+BC2 【答案】C 【解析】A、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意； D、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 2.下列关于矩形的说法中正确的是（　　） A.矩形的对角线相等 B.矩形的对角线平分一组对角 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【解析】A、矩形的对角线相等，故选项A符合题意； B、菱形的对角线平分一组对角，故选项B不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，故选项C不符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等，故选项D不符合题意； 故选：A． 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A.∠BAD＝90° B.∠BAD＝∠ABC C.∠BAO＝∠OBA D.∠BOA＝90° 【答案】D 【解析】A、∠BAD＝90°，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； B、∵在平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，则∠BAD＝∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； D、∠BOA＝90°不能判定它为矩形，故此选项符合题意． 故选：D． 4.如图，在平行四边形ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC，能说明平行四边形ABCD是矩形的有 　　　　　（填写序号）． 【答案】①④ 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠2，故③不能说明平行四边形ABCD是矩形； ④∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； 故答案为：①④． 5.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　　　　　（写出一个即可）． 【答案】∠AEC＝90°（答案不唯一） 【解析】添加一个条件是∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点， ∴AF∥EC，AO＝CO， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠AEC＝90°（答案不唯一）． 6.如图，AC＝BC，D是AB的中点，CE∥AB，CEAB． （1）求证：四边形CDBE是矩形． （2）若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长． 【答案】（1）证明：∵AC＝BC， ∴△ACB是等腰三角形， ∵D是AB中点， ∴DBAB，CD⊥DB， ∵CEAB， ∴DB＝CE， ∵CE∥AB， ∴四边形CDBE是平行四边形， 又∵CD⊥DB， ∴四边形CDBE是矩形； （2）解：在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CB＝AC＝5，CD＝3， ∴BD4， ∵DF⊥BC于F， ∴DF•BC＝CD•BD， 解得：DF． 7.华东师大版八年级数学（下）第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识（定义）→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是 　　； （2）根据（1）中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在 　　　　中，AC、BD是两条对角线，且 　　　　　　　　． 求证：　　　　　　　　． 证明：　　　　　　　　　. 【答案】解：（1）对角线相等的平行四边形是矩形， 所以乙的猜想正确； 故答案为：乙； （2）已知，在平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且AC＝BD， 求证：平行四边形ABCD是矩形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：平行四边形ABCD；AC＝BD；平行四边形ABCD是矩形；∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 二、矩形的对角线的性质 1.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A.5 B. C. D. 【答案】C 【解析】连接EC， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10（勾股定理）； ∴AOAC＝5， ∵EO⊥AC， ∴AE＝EC， 又∵∠EDC=90°， ∴， 设ED=x， ∴， 解得：x=， ∴DE＝， 故选：C． 2.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　） A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3， ∴矩形ABCD的面积＝12， 故选：C． 3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（　　） A.6 B.8 C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，且AC，BD交于点O， ∴，∠BCD＝90°， ∴BD＝8， ∵∠BOC＝120°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴， ∴， 故选：D． 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若∠COD＝60°，CD＝2，则AD＝　　． 【答案】2 【解析】∵四边形ABCD为矩形， ∴OC＝OD， ∵∠COD＝60°， ∴△COD为等边三角形， ∴OC＝CD＝2， ∴AC＝2OC＝4，AD2． 故答案为：2． 5.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝12， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故答案为：3． 6.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 【答案】证明：∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， 又∵∠EOD＝∠FOB＝90°， ∴△BOF≌△DOE（ASA）． 7.如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求矩形ABCD的面积． 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∵EF⊥CE， ∴∠1+∠3＝∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， 又∵CE＝EF， ∴△AEF≌△DCE（AAS）， ∴AE＝CD， 设AE＝CD＝x，则AD＝AE+DE＝x+2， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴x+x+2＝8， ∴x＝3， ∴AD＝5，CD＝3， ∴S矩形ABCD＝3×5＝15． 三、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形BFDE是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD，EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形， 故方案甲正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BDA＝∠BDC， ∵DE，BF是∠ADO和∠CBO的平分线， ∴∠EDO＝∠FDO， ∵∠DOE＝∠DOF＝90°， 在△DOE和△DOF中， ， ∴△DOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BD⊥EF， ∴四边形BFDE是菱形． 故方案乙正确． 故选：C． 2.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形， ∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°， ∴四边形AGCH是平行四边形， ∠AGB＝∠GCH＝∠AHF， 在△AFH和△AGB中， ， ∴△AFH≌△AGB（AAS）， ∴AH＝AG， ∴平行四边形AGCH是菱形， ∴AG＝GC＝CH＝HA， ∵∠AGB＝30°，AB＝2， ∴AB＝4， ∴四边形AGCH的周长为4×4＝16． 故选：D． 3.如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 下列判断正确的是（　　） A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误 【答案】A 【解析】甲的作法如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥CF，∠EAO＝∠FCO， 又∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO，AE＝CE， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵AE＝CE， ∴四边形AFCE为菱形，故甲的作法正确． 乙的作法如图所示： ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE， 同理可得 AB＝AF， ∴AF＝BE， 又∵AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形．故乙的作法正确． 故选：A． 4.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 【答案】30° 【解析】由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2 cm， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD∠MAN＝30°， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°， 故答案为：30°． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　　． 【答案】25° 【解析】连接CD，如图． ∵分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D， ∴BD＝CD＝AB， ∵AB＝AC， ∴AB＝BD＝CD＝AC， ∴四边形ABDC是菱形， ∴BD∥AC，∠CAD∠BAC， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠CAD＝25°． 故答案为：25°． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）当∠DAB为多少度时，四边形BECD为菱形？并说明理由． 【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD 是平行四边形， ∴BD＝EC； （2）解：四边形BECD是菱形． 理由：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°， ∴△ADB，△DCB是等边三角形， ∴DC＝DB， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是菱形． 7.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 【答案】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝FA， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形； （2）解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BOFB＝3，AE＝2AO， 在Rt△AOB中，AO4， ∴AE＝2AO＝8． 四、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 【答案】D 【解析】∵BM＝BC，∠CBM＝α， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∴， ∵DN⊥DM， ∴∠MDN＝90°， ∴∠NDA＝∠MDC， ∵DN＝DM， ∴△NDA≌△MDC（SAS）， ∴， 故选：D． 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A. B.（﹣2，1） C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得，，AB＝BC'＝CD'＝AD'＝2， ∴，四边形ABC′D'为菱形， ∴C'D'∥x轴， ∴点D'的坐标为（﹣2，）， 故选：D． 3.如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形ABCD的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b， ∵两个正方形的周长和为60， ∴4x+4y＝60， ∴x+y＝15， ∴BC＝x+y﹣b，AB＝x+y﹣a， ∵长方形ABCD的周长为48， ∴BC+AB＝24， ∴x+y﹣b+x+y﹣a＝24， ∴30﹣a﹣b＝24， ∴a+b＝6， ∴2（a+b）＝12， ∴阴影部分的周长为12， 故选：D． 4.将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG，BC＝3，连接DF．M是DF的中点，连接AM，则AM的长是 　　． 【答案】 【解析】延长AM交BC于H， 由正方形ABCD与正方形BEFG，BG，BC＝3，M是DF的中点， 得AD∥FC，∠FBG＝45°， 得∠ADM＝∠HFM，∠AMD＝∠HMF， 得△ADM≌△HFM， 得AM＝HM，FH＝AD＝3， 由BFBG2， 得BH＝3﹣2＝1， 得AMAH． 故答案为：． 5.如图，正方形ABCD的边长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．则EM+AF的最小值是 　　． 【答案】4 【解析】过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴AB＝BC＝8，∠ABC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴BM＝4， ∴AM4， ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°， ∴∠BAM＝∠GFE， ∴△ABM≌△FGE（ASA）， ∴AM＝EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小， 此时EM+AF＝AH4， ∴EM+AF的最小值为4， 故答案为：4． 6.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：∠BAF＝∠ADE； （2）求证：DE﹣BF＝EF． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAE+∠BAF＝90°． ∵∠ABF+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF． 在△AED和△BFA中， ， ∴△AED≌△BFA（AAS）． ∴∠BAF＝∠ADE； （2）∵△AED≌△BFA， ∴AE＝BF．DE＝AF， ∵AF﹣AE＝EF， ∴DE﹣BF＝EF． 7.已知：正方形ABCD的边长是4，F是DC边的中点，E是BC上的点，且，如图，求证：∠AFE＝90°． 【答案】证明：∵CEBC， ∴CE＝1，BE＝3， ∵F是DC边的中点， ∴CF＝DF＝2， 在Rt△ABE中，∠B＝90°， 由勾股定理得：AE2＝32+42＝25， 在Rt△ECF中，∠C＝90°， 由勾股定理得：FE2＝12+22＝5， 在Rt△ADF中，∠D＝90°， 由勾股定理得：AF2＝42+22＝20， ∴AE2＝FE2+AF2， ∴AF⊥EF， ∴∠AFE＝90°． 五、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误； 连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF＝OC， ∴∠OCF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠GFM+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF，故②正确； ∵EF∥BD，EF⊥AH， ∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF是正方形，故③正确； ∵四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC＝2， ∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1，故④正确； 故选：C． 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 【答案】D 【解析】∵正方形的两组对边分别平行， ∴正方形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴正方形是菱形， 故B不符合题意； ∵正方形的四个角都是直角， ∴正方形是矩形， 故C不符合题意； ∵菱形的内角不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是正方形， 故D符合题意， 故选：D． 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC， ∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°， 在△AFG和△DFE中， ， ∴△AFG≌△DFE（SAS）， ∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE， ∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°， ∴△GFE是等腰直角三角形， 故①正确； 当点G是AD的中点时，则FG⊥AD， ∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°， ∴四边形DGFE是矩形， ∵GF＝EF， ∴四边形DGFE是正方形， ∴四边形DGFE可能是正方形， 故②正确； ∵∠GFE＝90°，GF＝EF， ∴GEGF， 当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG， ∴GFAD8＝4， ∴GE4＝4， ∴GE长度的最小值为4， 故③正确； ∵当GF⊥AD时，GF＝4， ∴S△AFD8×4＝16， ∵△AFG≌△DFE， ∴S△AFG＝S△DFE， ∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16， ∴四边形DGFE的面积保持不变， 故④正确， 故选：D． 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解析】①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示： ∵∠A＝∠D＝90°， ∴四边形AECD为矩形， ∴AD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠DCB＝120°， ∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°， ∴BEBC， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CEBC， ∴ADBC， 故①不正确； ②∵∠DAB＝∠CDA＝90°， ∴CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵AC垂直平分DB， ∴AD＝AB， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠CDB＝∠ABD＝45°， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， ∴AD＝BC， 故②正确； ③∠DAC＝∠ACB， ∴AD∥BC， ∴BC⊥AB， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， 故③正确； ④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示： 则∠AHB＝∠FHB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△AHB和△FHB中， ， ∴△AHB≌△FHB（ASA） ∴AH＝FH， ∴点A与点F关于直线BD对称， ∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上， 故④正确， 综上所述：正确的是②③④． 5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 【答案】 【解析】如图，连接BB'，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BDAB＝2，BD平分∠ABC， ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE＝1， ∵四边形BEB'F是正方形， ∴BB'BE，BB'平分∠ABC， ∴点B，点B'，点D三点共线， ∴B'D＝BD﹣BB'， 故答案为：． 6.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE． （1）求证：BF＝DE； （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 【答案】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AF⊥AC， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAF＝∠EAD， 在△ADE和△ABF中, , ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴BF＝DE； （2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC， ∴BE⊥AC，BE＝AEAC， ∵AF＝AE， ∴BE＝AF＝AE， 又∵BE⊥AC，∠FAE＝∠BEC＝90°， ∴BE∥AF， ∵BE＝AF， ∴得平行四边形AFBE， ∵∠FAE＝90°，AF＝AE， ∴四边形AFBE是正方形． 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝10，E为AC的中点，当BC的长为 　　时，四边形BCDE为正方形． 【答案】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC为BD的垂直平分线， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE∥CD， ∴∠EBO＝∠CDO， 在△EOB和△COD中， ， ∴△EOB≌△COD（AAS）， ∴EO＝CO， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∵CB＝CD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：设OB＝x， ∵四边形BCDE是菱形， ∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形， 此时， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE＝2x， 在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2， ∴x2+（3x）2＝102， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 六、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、不能证明是矩形，故该选项符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意． 故选：B． 2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC 【答案】B 【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDC＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意； D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意； 故选：B． 3.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠BAE+∠ABE∠BAD∠ABC180°＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴∠FEH＝90°， 同理可求∠F＝90°，∠FGH＝90°，∠H＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选：B． 4.如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是　　　　．（只需写出一个符合要求的条件） 【答案】AC⊥BD 【解析】添加的条件是AC⊥BD， ∵BD∥EF，BD∥GH， ∴EF∥GH， 同理EH∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EF∥BD，AC⊥BD， ∴EF⊥AC， ∵EH∥AC， ∴EF⊥EH， ∴∠E＝90°， ∴平行四边形EFGH是矩形， 故答案为：AC⊥BD． 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 【答案】DF⊥BC（答案不唯一） 【解析】添加DF⊥BC， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥AD， ∵BE⊥AD， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形BEDF是矩形． 故答案为：DF⊥BC（答案不唯一）． 6.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形． 【答案】证明：∵AB＝AC，D为BC边的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴∠ADC＝90°， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BD，AE＝BD， ∴AE∥CD，AE＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． 七、利用边判定菱形 1.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，添加下列条件后仍然不能推得四边形ABCD为菱形的是（　　） A.AB＝CD B.AD∥BC C.AB＝AD D.AD＝CD 【答案】C 【解析】A、添加AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，不符合题意； B、添加AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，不符合题意； C、添加AB＝AD，不能得出四边形ABCD是菱形，符合题意； D、添加AD＝CD，能得出四边形ABCD是菱形，不符合题意； 故选：C． 2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC＝AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 3.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，故A不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边相等，故B不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边平行，故D不一定是菱形， ∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴邻边相等， ∵四边形是平行四边形， ∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 故选：C． 4.小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示．请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是　　　　　　　　　　． 【答案】四条边相等（答案不唯一） 【解析】∵四条边相等的四边形是菱形， ∴该条件可以是四条边相等， 故答案为：四条边相等（答案不唯一）． 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 【答案】① 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， 因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形； 故答案为：①． 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点，作OF∥AB，交BE延长于点F，连接AF． （1）求证：△AEB≌△OEF； （2）连接DF，当∠BAD＝　　°时，四边形AODF是菱形． 【答案】（1）证明：∵AB∥OF， ∴∠ABF＝∠OFB， ∵E为OA的中点， ∴AE＝OE， 在△AEB与△OEF中， ， ∴△AEB≌△OEF（AAS）， （2）解：若∠BAD＝90°，则四边形AODF是菱形， 证明如下：在▱ABCD中，∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AOAC，ODBD， ∴AO＝OD， ∵△AEB≌△OEF， ∴AB＝OF， ∵AB∥OF， ∴四边形ABOF是平行四边形， ∴AF∥OB，AF＝OB， ∴AF＝OD， ∴四边形AODF是平行四边形， ∵AO＝OD， ∴四边形AODF是菱形． 故答案为：90． 7.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OB3， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， ∴OA， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点， ∴4． 八、利用对角线判定矩形 1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） A.AB＝BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠1＝∠2 【答案】C 【解析】根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，故C选项符合题意．故选：C． 2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　） A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB∥CD D.AC＝BD 【答案】D 【解析】需要添加的条件是AC＝BD，理由如下： ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 3.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 【答案】C 【解析】根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，故C选项符合题意．故选：C． 4.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 【答案】矩 【解析】如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；理由如下： ∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为：矩． 5.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解析】∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 6.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F分别是OA、OC上的点，连接BE、BF、DE、DF． 给出以下三个条件：①BE∥DF；②AE＝CF；③OD＝OE．从中选择两个条件，使四边形BEDF是矩形，并加以证明． 你选择的条件是 　　． 【答案】解：选择②③，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵OD＝OE， ∴OE＝OD＝OF＝OB， ∴EF＝BD， ∴平行四边形BEDF是矩形. 7.如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EOBD， 在Rt△AEC中，∵O为AC中点， ∴EOAC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形． 九、正方形对角线的性质 1.图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAO＝∠BAC＝45°， ∴， 故选项A，C，D正确，不符合题意；选项B错误，符合题意； 故选：B． 2.如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，DE＝DC，F是CB延长线上一点，EF＝EC，连接AF，则∠BAF的度数为（　　） A.15° B.20° C.22.5° D.25° 【答案】C 【解析】连接AE， 由DB是正方形ABCD的对称轴，DE＝DC，EF＝EC， 得EF＝EC＝EA，∠BAE＝∠BCE＝∠EFC， 得∠AEF＝∠ABF＝90°， 得△AEF是等腰直角三角形， 得∠EAF＝45°， 由DE＝DC＝DA，∠EDA＝45°， 得∠DAE＝（180﹣45）÷2＝67.5°， 得∠BAF＝∠DAE+∠EAF﹣∠DAB＝67.5+45﹣90＝22.5°． 故选：C． 3.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，过点D作DF⊥BD且DF＝BE，连接EF，点G是EF的中点，连接AG、AF．若∠BCE＝α，则∠DAG一定等于（　　） A.α B. C.45°﹣α D.30°﹣α 【答案】C 【解析】连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠BCE＝α，∠ADB＝∠ABE＝45°， ∵DF⊥BD， ∴∠BDF＝90°， ∴∠ADF＝∠BDF﹣∠ADB＝45°， ∴∠ABE＝∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF＝∠BAE＝α，AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝90°， ∴△EAF是等腰直角三角形， ∵点G是EF的中点， ∴∠FAG＝45°， ∴∠DAG＝∠FAG﹣∠DAF＝45°﹣α， 故选：C． 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．若BD＝4，则AF的长为 　　． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OB＝OD＝OC＝2，∠AOB＝∠BOC＝90°， ∵AM⊥BE于点M， ∴∠AME＝90°， ∴∠OAF+∠AEM＝90°，∠OBE+∠AEM＝90°， ∴∠MAE＝∠OBE， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（ASA）， ∴AF＝BE， ∵OE＝EC＝1，OB＝2， ∴BE， 故答案为：． 5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 【答案】 【解析】过O作OE⊥AD，OF⊥DC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴OM＝ON，∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OEM＝∠OFM＝90°， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴S四边形MOND＝S四边形OEDF， ∵四边形MOND的面积是3， ∴正方形ABCD的面积为12， ∴AB， 故答案为：． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明如下：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 7.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE＝AF，AO⊥EF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形． 十、平行线间的距离 1.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 【答案】C 【解析】∵a∥b，AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AB＝CD，故A不符合题意； ∵CE⊥b，FG⊥b， ∴CE∥GF， ∵a∥b， ∴四边形CEGF是平行四边形，且CE⊥a， ∴CE＝FG，故B不符合题意； ∵AB不垂直于直线a、b， ∴直线a、b之间的距离不是线段AB的长，故C符合题意； ∵CE⊥b，CE⊥a，a∥b， ∴直线a、b之间的距离是线段CE的长，故D不符合题意， 故选：C． 2.如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　） A.是点A到点B的距离 B.是点B到直线l1的距离 C.是直线l1、l2之间的距离 D.是点A到直线l2的最大距离 【答案】D 【解析】∵l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B， ∴线段AB表示的是点A到点B的距离，点B到直线l1的距离，直线l1、l2之间的距离，点A到直线l2的距离， ∴选项A、B、C说法正确，选项D点A到直线l2的最大距离说法错误， 故选：D． 3.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 【答案】C 【解析】∵a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm， 分两种情况讨论如下： ①当直线c在直线a，b之间时，如图1所示： 此时a与c之间的距离是：6﹣2＝4（cm）； ②当直线c在直线a，b外时，如图2所示： 此时a与c之间的距离是：6+2＝8（cm）， 综上所述：a与c之间的距离是4 cm或8 cm． 故选：C． 4.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 【答案】2 【解析】如图，作AC⊥b于点C， ∵AB＝4，∠1＝30°， ∴ACAB＝2， ∴直线a，b之间的距离为2． 故答案为：2． 5.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 【答案】2 mm 【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C， ， ∴∠ACB＝90°， ∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝AB• sin∠ABC＝2（mm）， 故答案为：2 mm． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝90°﹣65°＝25°； （2）设直线a与b的距离为h， ∵AC⊥AB， ∴，即：3×4＝5h， ∴； ∴直线a与b的距离为． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 十一、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接DE， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α， ∵点A关于直线DP的对称点为E， ∴DP垂直平分AE， ∴ED＝AD， ∴ED＝CD， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC， ∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°， ∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°， ∴α+2∠AEC＝360°， ∴∠AEC＝180°α， 故选：D． 2.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD， 在△CDE和△ADF中， ， ∴△CDE≌△ADF（SAS）， ∴∠DCE＝∠DAF＝20°， 故选：C． 3.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 【答案】A 【解析】由题意知，， ∵菱形ABCO， ∴OA＝BC＝OC＝5，OA∥BC， ∴A（5，0），B（9，3）， ∴AB的中点坐标，即， 故选：A． 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为 　　． 【答案】（8，4） 【解析】∵点A的坐标是（3，4）， ∴OA＝5， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝AB＝5， 则点B的坐标为（8，4）． 故答案为：（8，4）． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝2，AC＝4，点M，N分别是BC，AD的中点，连接AM，CN．若四边形AMCN为菱形，则MC＝　　　． 【答案】 【解析】∵四边形AMCN是菱形， ∴AM＝CM， ∵点M是BC的中点， ∴CMBC， ∴AMBC， ∴AM＝BM＝MC， ∴∠CAM＝∠ACM，∠MAB＝∠B， ∵∠CAM+∠ACM+∠MAB+∠B＝180°， ∴∠MAB+∠MAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴BC2， ∴CMBC． 故答案为：． 6.在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝∠BAC，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证；BD＝CF； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC＝90°时，求证：BD＝CF． 【答案】证明：（1）∵四边形ADEF是菱形， ∴AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF； （2）四边形ADEF是菱形， ∴AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF． 7.如图，在菱形ABCD中，P，Q是对角线BD上的两点，连接CP，CQ，且BP＝DQ． （1）求证：∠BCP＝∠QCD； （2）若PQ＝CQ，∠DCQ＝2∠CDQ，求∠A的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB， 在△BCP和△DCQ中， ， ∴△BCP≌△DCQ（SAS）， ∴∠BCP＝∠DCQ； （2）解：∵△BCP≌△DCQ， ∴CP＝CQ， ∵PQ＝CQ， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠PQC＝60°， ∵∠DCQ＝2∠CDQ，∠PQC＝∠DCQ+∠CDQ， ∴∠DCQ＝∠BCP＝40°， ∴∠BCD＝140°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠BCD＝140°． 十二、正方形的判定 1.下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A.AB＝AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD 【答案】B 【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角;（2）对角线相等．即∠ABC＝90°或AC＝BD． 故选：B． 2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（　　） A.对角线互相平分的四边形 B.有三个角是直角的四边形 C.有一组邻边相等的平行四边形 D.对角线相等的菱形 【答案】D 【解析】A选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B选项，有三个角是直角的四边形是矩形，故B选项不符合题意； C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项不符合题意； D选项，对角线相等的菱形是正方形，故D选项符合题意； 故选：D． 3.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.AB＝CD B.AC＝BD C.AB＝AD D.AC与BD互相平分 【答案】C 【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形， 因此再添加条件：AB＝AD，即可判定四边形ABCD为正方形， 故选：C． 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】添加的条件是AC⊥BD（答案不唯一）， 理由：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 5.将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°（m＞n），定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 　　　　时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【解析】∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 6.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【答案】证明：如图，作OH⊥AB与H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH＝OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH＝OG， ∴OF＝OG， ∴四边形OGCF是正方形． 7.求证：对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．（画图，写已知，求证并证明） 【答案】解：已知：如图，四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AC＝BD. 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°， ∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA（SAS）， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠AOB＝∠BOC＝90°，OA＝OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OBC＝45°， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 十三、菱形对角线垂直 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （　　） A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0） 【答案】A 【解析】∵点B的坐标为（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴∠ABOABC＝60°， ∴∠OAB30°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB=2OB=6， ∴OA＝＝3， ∴A（﹣3，0）， 故选：A． 2.如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　） A.（5，﹣2） B.（2，﹣5） C.（2，5） D.（﹣2，﹣5） 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称， ∵点A（﹣2，5）， ∴点C的坐标是（2，﹣5）． 故选：B． 3.菱形的对角线不具备的性质是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线一定相等 C.对角线一定垂直 D.对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】菱形的性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的对角线不一定相等； 故选：B． 4.如图，边长为3的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上任意一点（P不与B、D重合），以AP和PD为边作平行四边形APDQ，则PQ的最小值为 　　． 【答案】 【解析】设AD与PQ交于O， ∵四边形APDQ是平行四边形， ∴PQ＝2OP， ∴当OP取最小值时，PQ的值最小， ∴当PQ⊥AC时，PO的值最小， ∵AO＝DO， ∴AP＝DP， ∵四边形ACD是菱形， ∴AD＝CD＝3，∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠ADP＝∠DAP＝30°， ∵AO＝OD， ∴OP＝OD， ∴PQ的最小值为． 故答案为：． 5.如图，在菱形ABCD中，O是AC的中点，OE⊥BC，垂足为E．若AC＝6，S菱形ABCD＝24，则OE的长为 　　． 【答案】2.4 【解析】连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点， ∴点O为AC与BD的交点，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝6，S菱形ABCD＝24， ∴AC•BD＝3BD＝24， ∴BD＝8， ∴OB＝4， ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC＝3， ∴BC5， ∵S△BOCOB•OCBC•OE， ∴4×35OE， ∴OE＝2.4． 故答案为：2.4． 6.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE． （1）求证：BD＝EC； （2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 【答案】（1）证明：∵菱形ABCD， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE＝AB， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝EC； （2）解：∵平行四边形BECD， ∴BD∥CE， ∴∠ABO＝∠E＝50°， 又∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°． 7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为点E，AC＝16，BD＝12，求AD、OE的长． 【答案】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12， ∴， ∴， ∵OE⊥AD， ∴， ∴． 十四、利用对角线判定菱形 1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是（　　） A.对角线垂直 B.两对角线相等 C.两对角线互相平分 D.两对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】能判定四边形是菱形的是两对角线互相垂直平分；理由如下：如图所示： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； 故选：D． 2.下列命题正确的是（　　） A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.平行四边形的两条对角线互相垂直 C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.有三个角为直角的四边形为矩形 【答案】D 【解析】A、对角线垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题； B、平行四边形的两条对角线互相平分，原命题是假命题； C、一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题； D、有三个角为直角的四边形为矩形，是真命题； 故选：D． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A.∠BAC＝∠BCA B.∠ABD＝∠CBD C.OA2+OB2＝AD2 D.AD2+OA2＝OD2 【答案】D 【解析】A、∵∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OA2+OB2＝AD2， ∴OA2+OD2＝AD2， ∴∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意， D、∵AD2+OA2＝OD2， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 4.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 　　　　． 【答案】菱形 【解析】∵A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0）， ∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵A，C在y轴上，C，D在x轴上， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 故答案为：菱形． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 【答案】OA＝OC. 【解析】OA＝OC， ∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC． 6.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝OC，连接CE、OE，OE＝CD．求证：▱ABCD是菱形． 【答案】证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形. 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O． （1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　.（填序号） （2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】解：（1）选择的条件是：①②，结论是：③．（答案不唯一）． 证明如下：∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO． 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． （2）作出线段BD的垂直平分线， 如图所示，四边形BEDF即为所求作的四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$