9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固练习 2024--2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、菱形的性质与判定的综合应用 1.下列说法正确的是（　　） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A.4 B.3 C. D.2 3.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 4.小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　　． 6.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 7.如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：ME＝NE． 二、利用直角判定矩形 1.一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　） A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角 2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠A+∠B＝180° B.∠B+∠C＝180° C.∠A＝∠B D.∠B＝∠D 3.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 　　　　． 5.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 6.如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 7.如图，在▱ABCD中，点E、F是BC上两点，BE＝CF，连接AE、DF，AE＝DF，求证：四边形ABCD是矩形． 三、正方形的性质与判定 1.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 3.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 5.现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 　　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是 　　． 6.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE． （1）求证：BF＝DE； （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 7.已知，如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 四、利用边判定菱形 1.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 2.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 3.已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 5.小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示．请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是　　　　　　　　　　． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）求证：∠BAC＝∠DAC． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形． 7.已知：如图，△ABC≌△CAD． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB＝∠B，求证：四边形AECF为菱形． 五、菱形对角线垂直 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A.AB∥DC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.OA＝OC 3.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A. B. C.12 D.24 4.菱形的两条对角线的长分别是2 cm和6 cm，则菱形的面积是　　cm2． 5.如图，边长为3的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上任意一点（P不与B、D重合），以AP和PD为边作平行四边形APDQ，则PQ的最小值为 　　． 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 7.如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长． 六、利用对角线判定菱形 1.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲．乙、丙 D.甲、丙 2.下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.AB＝CD D.∠BAD＝∠ADC 3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AC＝BD B.∠ADB＝∠CDB C.∠ABC＝∠DCB D.AD＝BC 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 6.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O． （1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　.（填序号） （2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形． 七、平行线间的距离 1.如图，点A，B分别为直线a，b上的点，AB⊥a，AB⊥b，有下列说法： ①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离； ②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离； ③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离． 其中判断正确的是（　　） A.只有①的说法正确 B.只有③的说法不正确 C.只有②的说法不正确 D.①②③的说法都正确 2.如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A.8 B.6 C.5 D.4 3.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 八、矩形的判定与性质的综合应用 1.具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是（　　） A.四个内角相等的四边形 B.对角线相等的四边形 C.对角线互相平分且相等 D.三个角是直角的四边形 2.下列判断错误的是（　　） A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 3.如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是 　　　　　． 5.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中一定正确的有 　　　　　　　　 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 7.华东师大版八年级数学（下）第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识（定义）→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是 　　； （2）根据（1）中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在 　　　　中，AC、BD是两条对角线，且 　　　　　　　　． 求证：　　　　　　　　． 证明：　　　　　　　　　. 九、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 2.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 3.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C.a2 D. 4.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，连接AC，在BC的延长线上有点E，且CE＝AC，连接AE，则∠E的度数是 　　　． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝2，AC＝4，点M，N分别是BC，AD的中点，连接AM，CN．若四边形AMCN为菱形，则MC＝　　　． 6.如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF． 7.如图，在菱形ABCD中，P，Q是对角线BD上的两点，连接CP，CQ，且BP＝DQ． （1）求证：∠BCP＝∠QCD； （2）若PQ＝CQ，∠DCQ＝2∠CDQ，求∠A的度数． 十、正方形对角线的性质 1.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（　　） A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b 2.图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC 3.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，过点D作DF⊥BD且DF＝BE，连接EF，点G是EF的中点，连接AG、AF．若∠BCE＝α，则∠DAG一定等于（　　） A.α B. C.45°﹣α D.30°﹣α 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．若BD＝4，则AF的长为 　　． 5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 7.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 十一、利用对角线判定矩形 1.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 2.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 3.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D.OA＝OB＝OC＝OD 4.如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°．则∠ODC＝　　． 5.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 6.如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 7.如图，已知△ABC中，点D是BC边上一点，取AD的中点E，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）当AD与CF满足条件 　　时，四边形ACDF是矩形（直接填空）． 十二、矩形的对角线的性质 1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（　　） A.6 B.8 C. D. 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 3.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠BAC＝56°，则∠E的度数是（　　） A.34° B.17° C.44° D.22° 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E，F，连接AF，CE，如果∠BCE＝36°，则∠CFE＝　　°． 5.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 6.如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求矩形ABCD的面积． 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E． （1）求对角线AC的长． （2）求∠AOE的度数． 十三、正方形的判定 1.如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别交于点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.下列说法不正确的是（　　） A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝DB且DA⊥AB B.AB＝BC且AC⊥BD C.AB＝BC且∠ABD＝∠CBD D.DA⊥AB且AC⊥BD 4.如图，要使矩形ABCD成为正方形，需添加一个条件为 　　　　　　　　． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 6.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 7.如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D．求证：四边形ABCD是正方形． 十四、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF＝EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 3.如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A.4 B. C.8 D.16 4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE＝AF，BE⊥CF于点G，若BC＝8，AF＝2，则GF的长为 　　． 5.如图，点M在线段AB上，且AB＝7、AM＝4，以M为顶点作正方形MNEF，当AF+BN最小时，MN的最小值是 　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形AECF是正方形． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）已知平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5，求DF的长． 7.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：∠BAF＝∠ADE； （2）求证：DE﹣BF＝EF． 苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、菱形的性质与判定的综合应用 1.下列说法正确的是（　　） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　） A.4 B.3 C. D.2 【答案】D 【解析】连接DE． 在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5． ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD， ∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE． ∴DE＝BE＝5． ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝5， ∴BC＝BE+EC＝8， ∴四边形ABED是菱形， 由勾股定理得出BD， ∴BOBD＝2， 故选：D． 3.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形， ∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°， ∴四边形AGCH是平行四边形， ∠AGB＝∠GCH＝∠AHF， 在△AFH和△AGB中， ， ∴△AFH≌△AGB（AAS）， ∴AH＝AG， ∴平行四边形AGCH是菱形， ∴AG＝GC＝CH＝HA， ∵∠AGB＝30°，AB＝2， ∴AB＝4， ∴四边形AGCH的周长为4×4＝16． 故选：D． 4.小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】菱形的每一条对角线都平分它的一组对角 【解析】如图． ∵直尺的对边互相平行， ∴AP∥OB，OA∥BP， ∴四边形AOBP是平行四边形． ∵直尺的宽度相同， ∴AP与OB间的距离＝OA与BP间的距离， ∵▱AOBP的面积不变， ∴OA＝OB， ∴▱AOBP是菱形， ∴OP平分∠AOB． 故答案为：菱形的每一条对角线都平分它的一组对角． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　　． 【答案】25° 【解析】连接CD，如图． ∵分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D， ∴BD＝CD＝AB， ∵AB＝AC， ∴AB＝BD＝CD＝AC， ∴四边形ABDC是菱形， ∴BD∥AC，∠CAD∠BAC， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠CAD＝25°． 故答案为：25°． 6.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 7.如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：ME＝NE． 【答案】证明：∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵BM＝DN， ∴AB﹣BM＝AD﹣DN， ∴AM＝AN， ∴四边形AMEN是菱形， ∴ME＝NE． 二、利用直角判定矩形 1.一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　） A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角 【答案】C 【解析】一个四边形要成为矩形，需要的条件是四个内角相等， 故选：C． 2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠A+∠B＝180° B.∠B+∠C＝180° C.∠A＝∠B D.∠B＝∠D 【答案】C 【解析】A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形； C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形； D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形； 故选：C． 3.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC 【答案】B 【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDC＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意； D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意； 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 　　　　． 【答案】∠A＝90°（答案不唯一） 【解析】需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下： ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）． 5.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】有一个角为直角的平行四边形是矩形 【解析】∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行， ∴得到了一个平行四边形， ∵与两边分别垂直， ∴就能得到矩形踏板， 故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形． 6.如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝AEOA，OF＝CFOC， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴BE＝DF； （2）解：AC＝2BD，四边形DEBF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形DEBF为平行四边形，AE＝OE＝OF＝CF， ∴AC＝2EF， ∵AC＝2BD， ∴EF＝BD， ∴平行四边形DEBF是矩形． 7.如图，在▱ABCD中，点E、F是BC上两点，BE＝CF，连接AE、DF，AE＝DF，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，∠B+∠C＝180°， 在△ABE 和△DCF 中， ， ∴△ABE≌△DCF（SSS）， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 三、正方形的性质与判定 1.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 【答案】D 【解析】∵正方形的两组对边分别平行， ∴正方形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴正方形是菱形， 故B不符合题意； ∵正方形的四个角都是直角， ∴正方形是矩形， 故C不符合题意； ∵菱形的内角不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是正方形， 故D符合题意， 故选：D． 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC， ∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°， 在△AFG和△DFE中， ， ∴△AFG≌△DFE（SAS）， ∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE， ∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°， ∴△GFE是等腰直角三角形， 故①正确； 当点G是AD的中点时，则FG⊥AD， ∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°， ∴四边形DGFE是矩形， ∵GF＝EF， ∴四边形DGFE是正方形， ∴四边形DGFE可能是正方形， 故②正确； ∵∠GFE＝90°，GF＝EF， ∴GEGF， 当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG， ∴GFAD8＝4， ∴GE4＝4， ∴GE长度的最小值为4， 故③正确； ∵当GF⊥AD时，GF＝4， ∴S△AFD8×4＝16， ∵△AFG≌△DFE， ∴S△AFG＝S△DFE， ∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16， ∴四边形DGFE的面积保持不变， 故④正确， 故选：D． 3.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误； 连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF＝OC， ∴∠OCF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠GFM+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF，故②正确； ∵EF∥BD，EF⊥AH， ∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF是正方形，故③正确； ∵四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC＝2， ∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1，故④正确； 故选：C． 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 【答案】 【解析】如图，连接BB'，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BDAB＝2，BD平分∠ABC， ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE＝1， ∵四边形BEB'F是正方形， ∴BB'BE，BB'平分∠ABC， ∴点B，点B'，点D三点共线， ∴B'D＝BD﹣BB'， 故答案为：． 5.现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 　　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是 　　． 【答案】正方形； cm 【解析】如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点， ∴△ABC为直角边长为8 cm的等腰直角三角形， ∴ABAC＝8， ∴阴影正方形的边长＝AB＝8 cm． 故答案为：正方形， cm． 6.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE． （1）求证：BF＝DE； （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 【答案】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AF⊥AC， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAF＝∠EAD， 在△ADE和△ABF中, , ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴BF＝DE； （2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC， ∴BE⊥AC，BE＝AEAC， ∵AF＝AE， ∴BE＝AF＝AE， 又∵BE⊥AC，∠FAE＝∠BEC＝90°， ∴BE∥AF， ∵BE＝AF， ∴得平行四边形AFBE， ∵∠FAE＝90°，AF＝AE， ∴四边形AFBE是正方形． 7.已知，如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠D＝90°， ∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′， ∴AD﹣DD′＝CD﹣CC′，即AD′＝DC′， ∴△A′AD′≌△D′DC′（SAS）， ∴A′D′＝D′C′，∠2＝∠DC′D′， ∵∠2+∠CD′D＝∠DC′D′++∠CD′D＝90°， ∴∠A′D′C′＝90°， 同理可证明A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′， ∴四边形A′B′C′D′是正方形． 四、利用边判定菱形 1.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC＝AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 2.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，故A不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边相等，故B不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边平行，故D不一定是菱形， ∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴邻边相等， ∵四边形是平行四边形， ∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 故选：C． 3.已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC 【答案】C 【解析】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB＝BC． 故选：C． 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 【答案】① 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， 因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形； 故答案为：①． 5.小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示．请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是　　　　　　　　　　． 【答案】四条边相等（答案不唯一） 【解析】∵四条边相等的四边形是菱形， ∴该条件可以是四条边相等， 故答案为：四条边相等（答案不唯一）． 6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）求证：∠BAC＝∠DAC． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， （2）∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AB＝CB＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 7.已知：如图，△ABC≌△CAD． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB＝∠B，求证：四边形AECF为菱形． 【答案】证明：（1）∵△ABC≌△CAD， ∴AB＝AC，AC＝CD，BC＝AD． ∴AB＝CD． ∴四边形ABCD为平行四边形． （2）∵由（1）知，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B． 又∵∠CFB＝∠B， ∴∠ACB＝∠CFB． ∴∠BCF＝∠CAB， 又∵∠ACF＝∠BCF， ∴∠ACF＝∠CAF． ∴AF＝CF． ∵∠CFB＝∠B， ∴CF＝CB． ∴AF＝CF＝CB． 同理AE＝CE＝AD． 又∵CB＝AD， ∴AF＝CF＝AE＝CE． ∴四边形AECF为菱形． 五、菱形对角线垂直 1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【答案】C 【解析】因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等； 菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直． 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：C． 2.如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　） A.AB∥DC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.OA＝OC 【答案】B 【解析】A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故A选项正确； B、菱形的对角线不一定相等，故B选项错误； C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确； D、菱形的对角线互相平分，OA＝OC，故D选项正确． 故选：B． 3.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A. B. C.12 D.24 【答案】B 【解析】设AC与BD交于O， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6， ∴AC⊥BD，OAAC＝4，OBBD＝3， ∴AB5， ∵S菱形ABCDAC•BD＝24，DH⊥AB， ∴DH＝24÷DH． 故选：B． 4.菱形的两条对角线的长分别是2 cm和6 cm，则菱形的面积是　　cm2． 【答案】6 【解析】∵菱形的两条对角线的长分别是2 cm和6 cm， ∴2×6＝6（cm2）． 故答案为：6． 5.如图，边长为3的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上任意一点（P不与B、D重合），以AP和PD为边作平行四边形APDQ，则PQ的最小值为 　　． 【答案】 【解析】设AD与PQ交于O， ∵四边形APDQ是平行四边形， ∴PQ＝2OP， ∴当OP取最小值时，PQ的值最小， ∴当PQ⊥AC时，PO的值最小， ∵AO＝DO， ∴AP＝DP， ∵四边形ACD是菱形， ∴AD＝CD＝3，∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠ADP＝∠DAP＝30°， ∵AO＝OD， ∴OP＝OD， ∴PQ的最小值为． 故答案为：． 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵BD⊥DE， ∴∠EDB＝90°， ∴∠AOD+∠EDB＝180°， ∴AC∥ED， ∵AB∥CD， ∴四边形ACDE是平行四边形； （2）解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC＝DE＝8， ∵BD＝6， ∴菱形ABCD的面积24． 7.如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠E＝∠F， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（AAS）； （2）解：由（1）得△DOE≌△BOF， ∴BF＝DE＝5， ∴DE＝OD＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ∴AE＝AD+DE＝13+5＝18． 六、利用对角线判定菱形 1.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲．乙、丙 D.甲、丙 【答案】A 【解析】甲：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE， 在△BAF和△DAF中， ， ∴△BAF≌△DAF（SAS）， ∴BF＝DF， 同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS）， ∴BE＝DE，BF＝BE， ∴BF＝DF＝BE＝DE， ∴四边形FBED是菱形； 乙：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AF＝CE， ∴OA+AF＝OC+CE， 即OF＝OE， ∴四边形FBED是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形FBED是菱形； 综上所述，甲对、乙对， 故选：A． 2.下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.AB＝CD D.∠BAD＝∠ADC 【答案】A 【解析】A、∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形，故选项A符合题意； B、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵AB＝CD， ∴平行四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由∠BAD＝∠ADC，AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AC＝BD B.∠ADB＝∠CDB C.∠ABC＝∠DCB D.AD＝BC 【答案】B 【解析】∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO， ∵OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意； B、∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意； D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】 【解析】如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5． 若平行四边形CDEB为菱形， 则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵S△ACBAB•OCAC•BC， ∴OC． 在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB， ∴AD＝AB﹣2OB． 故答案为：． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 【答案】OA＝OC. 【解析】OA＝OC， ∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC． 6.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O． （1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　.（填序号） （2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】解：（1）选择的条件是：①②，结论是：③．（答案不唯一）． 证明如下：∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO． 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． （2）作出线段BD的垂直平分线， 如图所示，四边形BEDF即为所求作的四边形. 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形． 【答案】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）在▱ABCD中，∵AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形． 七、平行线间的距离 1.如图，点A，B分别为直线a，b上的点，AB⊥a，AB⊥b，有下列说法： ①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离； ②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离； ③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离． 其中判断正确的是（　　） A.只有①的说法正确 B.只有③的说法不正确 C.只有②的说法不正确 D.①②③的说法都正确 【答案】D 【解析】由题意得：①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离； ②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离； ③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离． 则①②③都正确； 故选：D． 2.如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　） A.8 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【解析】根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5， 故选：D． 3.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 【答案】C 【解析】∵a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm， 分两种情况讨论如下： ①当直线c在直线a，b之间时，如图1所示： 此时a与c之间的距离是：6﹣2＝4（cm）； ②当直线c在直线a，b外时，如图2所示： 此时a与c之间的距离是：6+2＝8（cm）， 综上所述：a与c之间的距离是4 cm或8 cm． 故选：C． 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 【答案】2 mm 【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C， ， ∴∠ACB＝90°， ∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝AB• sin∠ABC＝2（mm）， 故答案为：2 mm． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 【答案】2 【解析】如图，作AC⊥b于点C， ∵AB＝4，∠1＝30°， ∴ACAB＝2， ∴直线a，b之间的距离为2． 故答案为：2． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝90°﹣65°＝25°； （2）设直线a与b的距离为h， ∵AC⊥AB， ∴，即：3×4＝5h， ∴； ∴直线a与b的距离为． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 八、矩形的判定与性质的综合应用 1.具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是（　　） A.四个内角相等的四边形 B.对角线相等的四边形 C.对角线互相平分且相等 D.三个角是直角的四边形 【答案】B 【解析】A、四个内角相等的四边形是矩形，故选项A不合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形的对角线互相平分， ∴该四边形是平行四边形， 又∵对角线相等， ∴该平行四边形是矩形，故选项C不合题意； D、三个角是直角的四边形是矩形，故选项D不合题意； 故选：B． 2.下列判断错误的是（　　） A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B、四个角都相等的四边形是矩形，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意； 故选：C． 3.如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，32+42＝52， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； B．由题意可知，四边形的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD是矩形； C．由题意可知，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； D．由题意可知AD∥BC，不能判定四边形ABCD是矩形． 故选：D． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是 　　　　　． 【答案】1.2 【解析】连接CM，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEMF是矩形， ∴EF＝CM， ∵点P是EF的中点， ∴CPEF， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵△ABC的面积AB×CMAC×BC， ∴CM2.4， ∴CPEFCM＝1.2， 故答案为：1.2． 5.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中一定正确的有 　　　　　　　　 【答案】①②④ 【解析】∵DE⊥BC， ∴∠D E B＝∠A＝∠A B C＝90°， ∴四边形ABED是矩形，故②正确； ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴DC＝BC，故①正确； ∵BD与CD不一定相等， ∴点E不一定是BC的中点，故③错误； ∵B E＝A D＝2，B C＝C D＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝3， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 【答案】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2， ∴∠FDC＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 7.华东师大版八年级数学（下）第19章对特殊平行四边形进行了研究．研究思路是：图形的认识（定义）→图形性质→图形的判定→应用．尤其在研究图形判定时都借助了图形的性质，利用图形性质的逆命题，通过猜想、分析、概括、验证，获取图形的判定方法．如研究矩形的判定时，利用矩形的性质“矩形的两条对角线相等”先猜想再证明．已知甲同学给出的猜想是：“对角线相等的四边形是矩形”；乙同学给出的猜想是：“对角线相等的平行四边形是矩形”． （1）甲、乙两位同学中猜想正确的是 　　； （2）根据（1）中正确的猜想，补全下面的已知、求证，并给出证明． 已知：如图，在 　　　　中，AC、BD是两条对角线，且 　　　　　　　　． 求证：　　　　　　　　． 证明：　　　　　　　　　. 【答案】解：（1）对角线相等的平行四边形是矩形， 所以乙的猜想正确； 故答案为：乙； （2）已知，在平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且AC＝BD， 求证：平行四边形ABCD是矩形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：平行四边形ABCD；AC＝BD；平行四边形ABCD是矩形；∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝BC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SSS）， ∴∠ADC＝∠BCD． 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． 九、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD， 在△CDE和△ADF中， ， ∴△CDE≌△ADF（SAS）， ∴∠DCE＝∠DAF＝20°， 故选：C． 2.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 【答案】A 【解析】由题意知，， ∵菱形ABCO， ∴OA＝BC＝OC＝5，OA∥BC， ∴A（5，0），B（9，3）， ∴AB的中点坐标，即， 故选：A． 3.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A. B. C.a2 D. 【答案】B 【解析】过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AHABa， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AHa2． 故选：B． 4.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，连接AC，在BC的延长线上有点E，且CE＝AC，连接AE，则∠E的度数是 　　　． 【答案】35° 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCD＝∠BAD＝140°，AD=DC，AD∥BC， ∴∠DAC=∠DCA，∠DAC=∠ACB， ∴∠DCA =∠ACB∠BCD＝70°， ∵CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠E+∠CAE＝∠ACB＝2∠E， ∴∠E∠ACB＝35°． 故答案为：35°． 5.如图，在▱ABCD中，AB＝2，AC＝4，点M，N分别是BC，AD的中点，连接AM，CN．若四边形AMCN为菱形，则MC＝　　　． 【答案】 【解析】∵四边形AMCN是菱形， ∴AM＝CM， ∵点M是BC的中点， ∴CMBC， ∴AMBC， ∴AM＝BM＝MC， ∴∠CAM＝∠ACM，∠MAB＝∠B， ∵∠CAM+∠ACM+∠MAB+∠B＝180°， ∴∠MAB+∠MAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴BC2， ∴CMBC． 故答案为：． 6.如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝BC， ∴∠A＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴BE＝CF． 7.如图，在菱形ABCD中，P，Q是对角线BD上的两点，连接CP，CQ，且BP＝DQ． （1）求证：∠BCP＝∠QCD； （2）若PQ＝CQ，∠DCQ＝2∠CDQ，求∠A的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB， 在△BCP和△DCQ中， ， ∴△BCP≌△DCQ（SAS）， ∴∠BCP＝∠DCQ； （2）解：∵△BCP≌△DCQ， ∴CP＝CQ， ∵PQ＝CQ， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠PQC＝60°， ∵∠DCQ＝2∠CDQ，∠PQC＝∠DCQ+∠CDQ， ∴∠DCQ＝∠BCP＝40°， ∴∠BCD＝140°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠BCD＝140°． 十、正方形对角线的性质 1.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（　　） A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b 【答案】A 【解析】如图，连接DK，DN， ∵∠KDN＝∠MDT＝90°， ∴∠KDM＝∠NDT， ∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°， ∴△DKM≌△DNT（ASA）， ∴S△DKM＝S△DNT， ∴S四边形DMNT＝S△DKNa， ∴正方形ABCD的面积＝4a+b＝a+b． 故选：A． 2.图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　） A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAO＝∠BAC＝45°， ∴， 故选项A，C，D正确，不符合题意；选项B错误，符合题意； 故选：B． 3.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，过点D作DF⊥BD且DF＝BE，连接EF，点G是EF的中点，连接AG、AF．若∠BCE＝α，则∠DAG一定等于（　　） A.α B. C.45°﹣α D.30°﹣α 【答案】C 【解析】连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠BCE＝α，∠ADB＝∠ABE＝45°， ∵DF⊥BD， ∴∠BDF＝90°， ∴∠ADF＝∠BDF﹣∠ADB＝45°， ∴∠ABE＝∠ADF， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF＝∠BAE＝α，AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝90°， ∴△EAF是等腰直角三角形， ∵点G是EF的中点， ∴∠FAG＝45°， ∴∠DAG＝∠FAG﹣∠DAF＝45°﹣α， 故选：C． 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．若BD＝4，则AF的长为 　　． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OB＝OD＝OC＝2，∠AOB＝∠BOC＝90°， ∵AM⊥BE于点M， ∴∠AME＝90°， ∴∠OAF+∠AEM＝90°，∠OBE+∠AEM＝90°， ∴∠MAE＝∠OBE， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（ASA）， ∴AF＝BE， ∵OE＝EC＝1，OB＝2， ∴BE， 故答案为：． 5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 【答案】 【解析】过O作OE⊥AD，OF⊥DC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴OM＝ON，∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OEM＝∠OFM＝90°， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴S四边形MOND＝S四边形OEDF， ∵四边形MOND的面积是3， ∴正方形ABCD的面积为12， ∴AB， 故答案为：． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明如下：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 7.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE＝AF，AO⊥EF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形． 十一、利用对角线判定矩形 1.下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　） A.测量得出对角线相等 B.测量得出对角线互相平分 C.测量得出两组对边分别相等 D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等， ∴对角线互相平分且相等， ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 2.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 3.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　） A.OA＝OC，OB＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D.OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、根据AC＝BD和AO＝OC不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； C、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； D、∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意； 故选：D． 4.如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°．则∠ODC＝　　． 【答案】25° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ODA＝∠OAD＝65°， ∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ODA＝25°． 故答案为：25°． 5.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 【答案】矩 【解析】如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；理由如下： ∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为：矩． 6.如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点Q，E，F分别是OA，OC的中点． （1）求证：BE＝DF； （2）当AC与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝AEOA，OF＝CFOC， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴BE＝DF； （2）解：AC＝2BD，四边形DEBF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形DEBF为平行四边形，AE＝OE＝OF＝CF， ∴AC＝2EF， ∵AC＝2BD， ∴EF＝BD， ∴平行四边形DEBF是矩形． 7.如图，已知△ABC中，点D是BC边上一点，取AD的中点E，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）当AD与CF满足条件 　　时，四边形ACDF是矩形（直接填空）． 【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠FAE＝∠CDE，∠AFE＝∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝CD， ∴四边形ACDF是平行四边形； （2）解：当AD与CF满足条件AD＝CF时，四边形ACDF是矩形，理由如下： 由（1）可知，四边形ACDF是平行四边形， ∵AD＝CF， ∴平行四边形ACDF是矩形， 故答案为：AD＝CF． 十二、矩形的对角线的性质 1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（　　） A.6 B.8 C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，且AC，BD交于点O， ∴，∠BCD＝90°， ∴BD＝8， ∵∠BOC＝120°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴， ∴， 故选：D． 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 【答案】B 【解析】连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝α， ∴∠CBD＝90°﹣α， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣α， ∴∠E＝45°， 故选：B． 3.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠BAC＝56°，则∠E的度数是（　　） A.34° B.17° C.44° D.22° 【答案】B 【解析】连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝56°， ∴∠CBD＝90°﹣56°， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣56°， ∴∠E＝45°17°， 故选：B． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E，F，连接AF，CE，如果∠BCE＝36°，则∠CFE＝　　°． 【答案】63 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝90°，CD∥AB，OC＝OA， ∴∠FCO＝∠EAO， ∵∠COF＝∠AOE， ∴△FCO≌△EAO， ∴CF＝AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF垂直平分线段AC， ∴FA＝FC， ∴四边形AECF是菱形， ∵∠BCE＝36°， ∴∠FCE＝54°， ∵CF＝CE， ∴∠CFE＝∠CEF（180°﹣54°）＝63°， 故答案为：63． 5.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝12， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故答案为：3． 6.如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF⊥CE，交AB于点F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求矩形ABCD的面积． 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∵EF⊥CE， ∴∠1+∠3＝∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， 又∵CE＝EF， ∴△AEF≌△DCE（AAS）， ∴AE＝CD， 设AE＝CD＝x，则AD＝AE+DE＝x+2， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴x+x+2＝8， ∴x＝3， ∴AD＝5，CD＝3， ∴S矩形ABCD＝3×5＝15． 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E． （1）求对角线AC的长． （2）求∠AOE的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， 又∵AB＝4， ∴OA＝AB＝4， ∴AC＝OA+OC＝8． （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABE＝90°，OA＝OB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴AB＝BE， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝∠ABE﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝BE，OB＝AB， ∴OB＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO， ∴， ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°． 十三、正方形的判定 1.如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别交于点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC，AB∥DC， 则∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAB+∠ABC＝90°，∠DAB+∠ABC＝90°， 因为AE、BG、CG、DE分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠ADC的角平分线， 所以，， 所以，， 在△ABH中，， 即∠GHE＝∠AHB＝90°； 在△BCG中，， 即∠BGC＝90°； 在△CDF中，， 即∠GFE＝∠CFD＝90°； 所以四边形EFGH是矩形， 故选：B． 2.下列说法不正确的是（　　） A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形 【答案】D 【解析】A、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不合题意； D、有一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是（　　） A.AC＝DB且DA⊥AB B.AB＝BC且AC⊥BD C.AB＝BC且∠ABD＝∠CBD D.DA⊥AB且AC⊥BD 【答案】D 【解析】A、不能，只能判定为矩形，故此选项不符合题意； B、不能，因为AB＝BC且AC⊥BD只能得到是菱形，故此选项不符合题意； C、不能，只能判定为菱形，故此选项不符合题意； D、能，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故此选项符合题意． 故选：D． 4.如图，要使矩形ABCD成为正方形，需添加一个条件为 　　　　　　　　． 【答案】AB＝BC或AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】添加的条件可以是AB＝BC或AC⊥BD．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为：AB＝BC或AC⊥BD（答案不唯一）． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】添加的条件是AC⊥BD（答案不唯一）， 理由：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 6.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【答案】证明：如图，作OH⊥AB与H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH＝OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH＝OG， ∴OF＝OG， ∴四边形OGCF是正方形． 7.如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AEB＝∠AEG，∠AFG＝∠AFD， 在△AEB和△AEG中， ， ∴△AEB≌△AEG（AAS）， ∴AB＝AG， 同理可证明：△AFG≌△AFD（AAS）， ∴AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 十四、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF＝EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】①延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，如下图所示： 则EG＝BE+BG＝BE+DF， ∵四边形ABC为正方形，AB＝1， ∴∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1， ∴∠ABG＝∠D＝90°， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠2＝∠1，AG＝AF， ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠1+∠3＝∠DAB﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠2+∠2＝45°， ∴∠EAG＝∠EAF＝45°， 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF＝BE+DF， 故结论①正确； ②∵△AEG≌△AEF， ∴∠GEA＝∠FEA， 即AE平分∠BEF， 故结论②正确； ③∵BE+DF＝EF， ∴CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2， 即△CEF的周长为2， 故结论③正确； ④设DF＝a，BE＝b，则CF＝1﹣a，CE＝1﹣b，EF＝BE+DF＝a+b， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2， 即（a+b）2＝（1﹣a）2+（1﹣b）2， 整理得：ab＝1﹣a﹣b， ∵S△ABEBE•ABb，S△ADFDF•ADa， ∴S△ABE+S△ADF（a+b）， 又∵S△CEFCE•CF（1﹣a）（1﹣b）（1﹣a﹣b+ab）， 将ab＝1﹣a﹣b代入上式得：S△CEF＝1﹣（a+b）， ∴S△CEF≠S△ABE+S△ADF， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：C． 2.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确②错误 D.①错误②正确 【答案】A 【解析】由正方形ABCD，BF⊥CE， 得△ABF≌△BCE（ASA）， 得S1+S5＝S1+S4， 得S4＝S5， 由S1+S2+S5＝S3+ S4， 得S1+S2＝S3． 故选：A． 3.如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A.4 B. C.8 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD， ∵EF⊥AB，GH⊥BC， ∴∠AEF＝∠BEF＝90°，∠BHO＝∠CHO＝90°， ∴∠B＝∠BEO＝∠BHO＝90°， ∴四边形BEOH是矩形， ∵BE＝BH， ∴四边形BEOH是正方形， ∵∠BAC＝∠B＝∠BHO＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴AG＝BH， ∵AD∥BC，GH⊥BC， ∴GH⊥AD， ∴∠DGO＝∠AGO＝90°， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠DFO＝∠CFO＝90°， ∴∠DGO＝∠DFO＝∠D＝90°， ∴四边形DFOG是矩形， ∵∠B＝∠BEO＝∠C＝90°， ∴四边形BEFC是矩形， ∴CF＝BE， ∴AG＝CF， ∵AD＝CD， ∴DG＝DF， ∴四边形DFOG是正方形， ∴S正方形BEOH+S正方形DFOG＝BH2+OG2＝AG2+OG2， 在Rt△AOG中，由勾股定理得，OA2＝AG2+OG2＝42＝16， ∴四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为16， 故选：D． 4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE＝AF，BE⊥CF于点G，若BC＝8，AF＝2，则GF的长为 　　． 【答案】5.2 【解析】∵四边形ABCD为正方形，BC＝8， ∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝8， 又∵DE＝AF＝2， ∴CE＝DF＝6， ∴在△CDF和△BCE中， ， ∴△CDF≌△BCE（SAS）， ∴∠DCF＝∠CBE， ∵∠DCF+∠BCF＝90°， ∴∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠BGC＝90°， ∵在Rt△BCE中，BC＝8，CE＝6， ∴BE＝10， ∴BE•CG＝BC•CE， ∴CG， ∵△CDF≌△BCE（SAS）， ∴CF＝BE＝10， ∴GF＝CF﹣CG＝105.2． 故答案为：5.2． 5.如图，点M在线段AB上，且AB＝7、AM＝4，以M为顶点作正方形MNEF，当AF+BN最小时，MN的最小值是 　　． 【答案】2.4 【解析】如图，作MA'⊥MA于M，且使得MA'＝MA． ∵四边形MNFE是正方形， ∴∠FMN＝90°，MF＝MN． ∴∠FMA'+∠A'MN＝90°． 又∠AMA'＝90°， ∴∠AMF+∠FMA'＝90°． ∴∠AMF＝∠A'MN． 在△MAF和△MA'N中， ， ∴△MAF≌△MA'N（SAS）． ∴AF＝A'N． ∴AF+BN＝A'N+BN． 又当点N在线段A'B上时A'N+BN最小，即点N在线段AB上， ∴当MN⊥AB时，MN的值最小． 此时，MN2.4． 故答案为：2.4． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形AECF是正方形． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）已知平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5，求DF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形AECF为正方形， ∴AE＝CF＝AF＝EC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，DA＝CB， ∴DA﹣AF＝CB﹣EC， ∴DF＝BE， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）； （2）解：∵平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5， ∴AE•BC＝20，AD＝BC＝5， ∴AE＝4， ∵四边形AECF为正方形， ∴AF＝AE＝4, ∴DF＝AD﹣AF＝5﹣4＝1． 7.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F． （1）求证：∠BAF＝∠ADE； （2）求证：DE﹣BF＝EF． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAE+∠BAF＝90°． ∵∠ABF+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF． 在△AED和△BFA中， ， ∴△AED≌△BFA（AAS）． ∴∠BAF＝∠ADE； （2）∵△AED≌△BFA， ∴AE＝BF．DE＝AF， ∵AF﹣AE＝EF， ∴DE﹣BF＝EF． 学科网（北京）股份有限公司 $$