9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固同步练习2024-2025学年苏科版八年级数学 下册

苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　） A.6 B.9 C.12 D.15 2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A.5 B. C. D. 3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　　． 5.如图，∠BOD＝60°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，且AB＝3，连接AC，BD交于点E，连接OE．则OE＝　　． 6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1 cm． （1）求∠OAD的度数； （2）求矩形对角线AC的长． 7.如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF＝AC，求证：四边形AFBD是平行四边形． 二、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 2.如图，平行四边形ABCD中，增加一个条件，能判定它是矩形的是（　　） A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AD＝AB D.OB＝OD 3.一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　） A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角 4.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线．四边形FDEC是矩形吗，为什么？ 7.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E． （1）求证：△DCA≌△EAC； （2）只需添加一个条件，即 　　，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明． 三、利用对角线判定矩形 1.木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 2.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 3.如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 4.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 5.如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC＝12，当OD＝　　时，▱ABCD是矩形． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME＝AM，连接DE，CM． （1）求证：BD∥CE； （2）当AE＝2AB，CM∥DE时，试说明四边形CEDM为矩形． 7.如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 四、矩形的判定与性质的综合应用 1.下列判断错误的是（　　） A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2.对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为（　　） A.35° B.40° C.45° D.50° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是 　　　　　． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，M为边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当BC长为 　　　　　cm时，四边形PEMF为矩形． 6.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM． （1）求证：四边形ADEC是矩形； （2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四边形ADEB的面积． 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 五、平行线间的距离 1.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 2.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 3.如图，直线a∥b，直线c⊥a于点A，直线d⊥b于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为2 cm/s；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为3 cm/s．两点的运动时间为t s，直线a与b之间的距离为30 cm，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（　　） A.5 B.6 C.10 D.15 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 六、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 2.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 3.如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A.42° B.43° C.44° D.45° 4.菱形ABCD的周长为12，则边长AB＝　　． 5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，连接AC，在BC的延长线上有点E，且CE＝AC，连接AE，则∠E的度数是 　　　． 6.在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝∠BAC，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证；BD＝CF； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC＝90°时，求证：BD＝CF． 7.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．求证：四边形BECD是平行四边形． 七、菱形对角线垂直 1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD＝50°，则∠DHO的度数为（　　） A.20° B.25° C.27° D.40° 2.小明在研究某个菱形时，发现下列说法中只有一个是错误的，你认为错误的是（　　） A.菱形一条对角线长为6 B.菱形的面积为26 C.菱形的对角线均为整数 D.菱形的周长为20 3.已知，菱形的周长为20，一条对角线长为6，则菱形的面积（　　） A.48 B.24 C.18 D.12 4.如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 　　． 5.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝　　°． 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 7.如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长． 八、利用边判定菱形 1.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　） A.∠BAC＝90° B.∠DAE＝90° C.AB＝AC D.AB＝AE 2.已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　　（写出一个即可）． 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 6.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 7.已知：如图，△ABC≌△CAD． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB＝∠B，求证：四边形AECF为菱形． 九、利用对角线判定菱形 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AC＝BD B.∠ADB＝∠CDB C.∠ABC＝∠DCB D.AD＝BC 2.依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A. B. C. D. 3.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲．乙、丙 D.甲、丙 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 6.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O． （1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　.（填序号） （2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 十、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　） A.9.5 B.10 C.10.5 D.11 2.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 3.下列说法正确的是（　　） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 　　． 5.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 6.如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：ME＝NE． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 十一、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 2.四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（　　） A.点K，F B.点K，E C.点C，F D.点C，E 3.如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A.4 B. C.8 D.16 4.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F、G分别在BC、AD上，且GF⊥BE，若四边形BFEG的面积为5，则AB的长为　． 5.已知两个正方形的边长的和是10 cm，若它们面积的差是40 cm2，则它们面积的和是 　　． 6.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点（不与点C，D重合），连接BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF，CE和BE之间的数量关系，并说明理由． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF＝BE，连接AF、EF，若AE＝3，求EF的长． 十二、正方形对角线的性质 1.如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A.2 B.4 C.8 D. 2.如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝25°，则∠AEF＝（　　） A.35° B.40° C.45° D.50° 3.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是（　　） A.20° B.22.5° C.40 D.67.5° 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 5.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 7.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 十三、正方形的判定 1.下列说法不正确的是（　　） A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形 2.下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A.AB＝AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 4.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　　　　　　　　可使菱形ABCD成为正方形． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 6. [阅读材料] [解答问题] 请你根据材料中的信息，证明四边形ABEF是正方形． 7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 十四、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 6.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE． （1）求证：BF＝DE； （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 7.如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F． （1）求证：四边形OECF是正方形； （2）若AD＝4，求正方形OECF的面积． 苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　） A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3， ∴矩形ABCD的面积＝12， 故选：C． 2.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（　　） A.5 B. C. D. 【答案】C 【解析】连接EC， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10（勾股定理）； ∴AOAC＝5， ∵EO⊥AC， ∴AE＝EC， 又∵∠EDC=90°， ∴， 设ED=x， ∴， 解得：x=， ∴DE＝， 故选：C． 3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，， ∴， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即， ∴， ∴． 故选：C． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　　． 【答案】4 【解析】∵ABCD是矩形, ∴OC＝OA，BD＝AC, 又∵OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2OA＝4, ∴BD＝AC＝4, 故答案为：4． 5.如图，∠BOD＝60°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，且AB＝3，连接AC，BD交于点E，连接OE．则OE＝　　． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点E， ∴EA＝EB＝EC＝ED， ∵∠BOD＝60°，BO＝DO， ∴△BOD为等边三角形， ∴OE⊥BD，∠OBD＝60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴EA＝EB＝AB＝3， ∴EA＝EB＝EC＝ED＝3， ∴BD＝BE+DE＝6， ∴BO＝DO＝BD＝6， 在Rt△OBE中，由勾股定理得：OE． 故答案为：． 6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1 cm． （1）求∠OAD的度数； （2）求矩形对角线AC的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴AO＝OC，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝DO＝BO＝CO， ∵∠AOD＝120°， ∴； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ODA＝30°， ∴BD＝2AB＝2×1＝2（cm）， ∴AC＝BD＝2 cm． 7.如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF＝AC，求证：四边形AFBD是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD矩形， ∴AD∥FB，AD＝BC，AB⊥FC， ∵AF＝AC， ∴FB＝BC， ∴AD＝FB， ∴四边形AFBD是平行四边形． 二、利用直角判定矩形 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、不能证明是矩形，故该选项符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意． 故选：B． 2.如图，平行四边形ABCD中，增加一个条件，能判定它是矩形的是（　　） A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AD＝AB D.OB＝OD 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝DO，故选项D不符合题意， 故选：A． 3.一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　） A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角 【答案】C 【解析】一个四边形要成为矩形，需要的条件是四个内角相等， 故选：C． 4.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　　　　　　　　　　　　． 【答案】有一个角为直角的平行四边形是矩形 【解析】∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行， ∴得到了一个平行四边形， ∵与两边分别垂直， ∴就能得到矩形踏板， 故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形． 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 【答案】DF⊥BC（答案不唯一） 【解析】添加DF⊥BC， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥AD， ∵BE⊥AD， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形BEDF是矩形． 故答案为：DF⊥BC（答案不唯一）． 6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线．四边形FDEC是矩形吗，为什么？ 【答案】解：四边形FDEC是矩形，理由如下： ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DF是∠ADC的角平分线， ∴DF⊥AC． ∴∠CFD＝90°， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴BD＝CD， ∵DE是∠BDC的角平分线， ∴DE⊥BC． ∴∠DEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 7.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E． （1）求证：△DCA≌△EAC； （2）只需添加一个条件，即 　　，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明． 【答案】（1）证明：在△DCA和△EAC中，， ∴△DCA≌△EAC（SSS）； （2）解：添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下： ∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°， 由（1）得：△DCA≌△EAC， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴四边形ABCD为矩形； 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）． 三、利用对角线判定矩形 1.木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A.测量两组对边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选：C． 2.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 【答案】C 【解析】根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，故C选项符合题意．故选：C． 3.如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　） A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4 【答案】D 【解析】添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 4.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 【答案】矩 【解析】如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；理由如下： ∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为：矩． 5.如图，在▱ABCD中AC、BD相交于点O，AC＝12，当OD＝　　时，▱ABCD是矩形． 【答案】6 6.如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME＝AM，连接DE，CM． （1）求证：BD∥CE； （2）当AE＝2AB，CM∥DE时，试说明四边形CEDM为矩形． 【答案】（1）证明：连接AC，交BD于点O， ∵平行四边形ABCD， ∴AO＝OC， ∵ME＝AM， ∴MO是△ACE的中位线， ∴MO∥CE， ∴BD∥CE． （2）解：∵平行四边形ABCD， ∴AO＝OC， ∵AE＝2ME＝2AM， ∴MO是△ACE的中位线， ∴MO∥CE， ∴BD∥CE． ∵CM∥DE， ∴四边形CEDM是平行四边形， ∵AE＝2AB，AE＝2ME＝2AM， ∴AB＝ME， ∵平行四边形ABCD， ∴AB＝DC， ∴CD＝ME， ∴四边形CEDM为矩形． 7.如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EOBD， 在Rt△AEC中，∵O为AC中点， ∴EOAC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形． 四、矩形的判定与性质的综合应用 1.下列判断错误的是（　　） A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B、四个角都相等的四边形是矩形，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意； 故选：C． 2.对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 【答案】B 【解析】对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形， 故选：B． 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为（　　） A.35° B.40° C.45° D.50° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∵∠OAD＝55°， ∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°， ∴∠OBA＝∠OAB＝35°． 故选：A． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是 　　　　　． 【答案】1.2 【解析】连接CM，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEMF是矩形， ∴EF＝CM， ∵点P是EF的中点， ∴CPEF， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵△ABC的面积AB×CMAC×BC， ∴CM2.4， ∴CPEFCM＝1.2， 故答案为：1.2． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，M为边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当BC长为 　　　　　cm时，四边形PEMF为矩形． 【答案】10 【解析】∵PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F， ∴四边形PEMF为矩形． ∴∠FME＝90°． ∵M为边AD的中点， ∴BM＝CM． ∴∠MBC＝45°． 在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠AMB＝∠MBC＝45°． ∴AM＝AB＝5 cm． ∴AD＝10 cm． ∴BC＝AD＝10 cm． 故答案为：10． 6.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM． （1）求证：四边形ADEC是矩形； （2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四边形ADEB的面积． 【答案】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∵AC⊥BC， ∴∠ACE＝∠ACB＝90° ∴∠DAC＝∠ACE＝90°， ∵DE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝90°， ∴∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°， ∴四边形ADEC是矩形； （2）解：∵AC⊥BC，点M为AB的中点，CM＝6.5， ∴AB＝2CM＝13， 在Rt△ACB中，， 平行四边形ABCD中，AD＝BC＝5， 在矩形ADEC中，AD＝CE＝5， ∴四边形ADEB的面积＝S矩形ADEC+S△ACB ＝90． 7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 【答案】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2， ∴∠FDC＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 五、平行线间的距离 1.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（　　） A.AB＝CD B.CE＝FG C.直线a，b之间的距离是线段AB的长 D.直线a，b之间的距离是线段CE的长 【答案】C 【解析】∵a∥b，AB∥CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AB＝CD，故A不符合题意； ∵CE⊥b，FG⊥b， ∴CE∥GF， ∵a∥b， ∴四边形CEGF是平行四边形，且CE⊥a， ∴CE＝FG，故B不符合题意； ∵AB不垂直于直线a、b， ∴直线a、b之间的距离不是线段AB的长，故C符合题意； ∵CE⊥b，CE⊥a，a∥b， ∴直线a、b之间的距离是线段CE的长，故D不符合题意， 故选：C． 2.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 【答案】C 【解析】∵a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm， 分两种情况讨论如下： ①当直线c在直线a，b之间时，如图1所示： 此时a与c之间的距离是：6﹣2＝4（cm）； ②当直线c在直线a，b外时，如图2所示： 此时a与c之间的距离是：6+2＝8（cm）， 综上所述：a与c之间的距离是4 cm或8 cm． 故选：C． 3.如图，直线a∥b，直线c⊥a于点A，直线d⊥b于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为2 cm/s；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为3 cm/s．两点的运动时间为t s，直线a与b之间的距离为30 cm，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（　　） A.5 B.6 C.10 D.15 【答案】B 【解析】根据题意可知，当PQ∥a时，PQ最短， 此时AP+BQ＝30 cm， ∴2t+3t＝30， ∴t＝6， ∴当点P与点Q距离最近时，t的值为6． 故选：B． 4.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 【答案】2 mm 【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C， ， ∴∠ACB＝90°， ∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝AB• sin∠ABC＝2（mm）， 故答案为：2 mm． 5.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 【答案】2 【解析】如图，作AC⊥b于点C， ∵AB＝4，∠1＝30°， ∴ACAB＝2， ∴直线a，b之间的距离为2． 故答案为：2． 6.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝90°﹣65°＝25°； （2）设直线a与b的距离为h， ∵AC⊥AB， ∴，即：3×4＝5h， ∴； ∴直线a与b的距离为． 7.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 六、菱形的四条边相等 1.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　） A.10° B.16° C.20° D.40° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD， 在△CDE和△ADF中， ， ∴△CDE≌△ADF（SAS）， ∴∠DCE＝∠DAF＝20°， 故选：C． 2.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 【答案】A 【解析】由题意知，， ∵菱形ABCO， ∴OA＝BC＝OC＝5，OA∥BC， ∴A（5，0），B（9，3）， ∴AB的中点坐标，即， 故选：A． 3.如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A.42° B.43° C.44° D.45° 【答案】C 【解析】如图，延长BG， ∵∠ADE＝146°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°， ∵∠α＝∠ADB+∠AHD， ∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°， ∵l1∥l2， ∴∠GIF＝∠AHD＝16°， ∵∠EGF＝∠β+∠GIF， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠EGF＝60°， ∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°， 故选：C． 4.菱形ABCD的周长为12，则边长AB＝　　． 【答案】3 【解析】∵菱形ABCD的周长为12， ∴； 故答案为：3． 5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，连接AC，在BC的延长线上有点E，且CE＝AC，连接AE，则∠E的度数是 　　　． 【答案】35° 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCD＝∠BAD＝140°，AD=DC，AD∥BC， ∴∠DAC=∠DCA，∠DAC=∠ACB， ∴∠DCA =∠ACB∠BCD＝70°， ∵CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠E+∠CAE＝∠ACB＝2∠E， ∴∠E∠ACB＝35°． 故答案为：35°． 6.在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝∠BAC，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证；BD＝CF； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC＝90°时，求证：BD＝CF． 【答案】证明：（1）∵四边形ADEF是菱形， ∴AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF； （2）四边形ADEF是菱形， ∴AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF． 7.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．求证：四边形BECD是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， 又∵延长AB至点E， ∴BE∥CD， ∴四边形BECD是平行四边形． 七、菱形对角线垂直 1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD＝50°，则∠DHO的度数为（　　） A.20° B.25° C.27° D.40° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，， ∵DH⊥AB， ∴DH⊥CD，∠DHB＝90°， ∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线， ∴OH＝OD＝OB， ∴∠HDB＝∠DHO， ∵DH⊥CD， ∴∠HDB+∠BDC＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC+∠DCO＝90°， ∴∠HDO＝∠DCO， ∴∠DHO＝∠DCA＝25°， 故选：B． 2.小明在研究某个菱形时，发现下列说法中只有一个是错误的，你认为错误的是（　　） A.菱形一条对角线长为6 B.菱形的面积为26 C.菱形的对角线均为整数 D.菱形的周长为20 【答案】B 【解析】若菱形ABCD的周长为20，则边长5，两条对角线可以是6和8，面积为24， 故选：B． 3.已知，菱形的周长为20，一条对角线长为6，则菱形的面积（　　） A.48 B.24 C.18 D.12 【答案】B 【解析】如图，BD＝6， ∵菱形的周长为20， ∴AB＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OBDB＝3，AOAC，BD⊥AC， 由勾股定理得OA＝4，则AC＝8， 所以菱形的面积AC•BD6×8＝24． 故选：B． 4.如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 　　． 【答案】2 【解析】连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠OBC＝30°，∠BCD＝120°， ∴∠DCE＝60°， ∵CM平分∠DCE， ∴∠DCF＝∠ECF＝30°， ∵DF＝1， ∴DC＝2DF＝2， ∴OCCD＝1， ∴OD， ∴BD＝2OD＝2． 故答案为：2． 5.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝　　°． 【答案】25 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DBC＝∠DBA∠ABC＝65°， ∵DE⊥AB， ∴∠DBE+∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝25°， 故答案为：25． 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若DE＝8，BD＝6，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵BD⊥DE， ∴∠EDB＝90°， ∴∠AOD+∠EDB＝180°， ∴AC∥ED， ∵AB∥CD， ∴四边形ACDE是平行四边形； （2）解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC＝DE＝8， ∵BD＝6， ∴菱形ABCD的面积24． 7.如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠E＝∠F， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（AAS）； （2）解：由（1）得△DOE≌△BOF， ∴BF＝DE＝5， ∴DE＝OD＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ∴AE＝AD+DE＝13+5＝18． 八、利用边判定菱形 1.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（　　） A.∠BAC＝90° B.∠DAE＝90° C.AB＝AC D.AB＝AE 【答案】A 【解析】添加∠BAC＝90°时， ∵AD是△ABC的中线， ∴ADBC＝CD， ∴四边形ADCE是菱形，选项A正确； 添加∠DAE＝90°， ∵四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是矩形，选项B错误； 添加AB＝AC，可得到AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形，选项C错误； 添加AB＝AE， ∵AE＝AB，AB＞AD， ∴AE＞AD， 故选项D不能判定四边形ADCE是菱形； 故选：A． 2.已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝CD，BC＝DA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵“_____”， ∴四边形ABCD是菱形． 在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　） A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC 【答案】C 【解析】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB＝BC． 故选：C． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 【答案】D 【解析】∵点E为BC的中点， ∴BC＝2BE＝2CE， 又∵BC＝2AB， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AB⊥AC，故A正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO， ∴∠CAD＝∠ACB， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故C正确，故该选项不符合题意； ∴AC⊥EF， 在Rt△COE中，∠ACE＝30°， ∴，则AD＝4OE，故B正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 又∵点E为BC的中点， ∴，故D错误，故该选项符合题意； 故选：D． 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　　（写出一个即可）． 【答案】AE＝AB（答案不唯一） 【解析】这个条件可以是AE＝AB，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∵AE＝FB， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵AE＝AB， ∴平行四边形AEFB是菱形， 故答案为：AE＝AB（答案不唯一）． 5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 【答案】① 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， 因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形； 故答案为：①． 6.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 【答案】证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD＝DCBC， ∴四边形ADCF是菱形． 7.已知：如图，△ABC≌△CAD． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB＝∠B，求证：四边形AECF为菱形． 【答案】证明：（1）∵△ABC≌△CAD， ∴AB＝AC，AC＝CD，BC＝AD． ∴AB＝CD． ∴四边形ABCD为平行四边形． （2）∵由（1）知，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B． 又∵∠CFB＝∠B， ∴∠ACB＝∠CFB． ∴∠BCF＝∠CAB， 又∵∠ACF＝∠BCF， ∴∠ACF＝∠CAF． ∴AF＝CF． ∵∠CFB＝∠B， ∴CF＝CB． ∴AF＝CF＝CB． 同理AE＝CE＝AD． 又∵CB＝AD， ∴AF＝CF＝AE＝CE． ∴四边形AECF为菱形． 九、利用对角线判定菱形 1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A.AC＝BD B.∠ADB＝∠CDB C.∠ABC＝∠DCB D.AD＝BC 【答案】B 【解析】∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO， ∵OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意； B、∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠DCB， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意； D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 2.依据下列各图所标识的数据和符号，不能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝3， ∴▱ABCD为菱形， 故A不符合题意； ∵由OB＝AB＝3不能证明AB＝BC＝3， ∴OB＝AB＝3不能判定▱ABCD为菱形， 故B符合题意； ∵∠B＝70°，∠BCA＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形， 故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形， 故D不符合题意， 故选：B． 3.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　） 甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形； 乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A.甲、乙 B.乙、丙 C.甲．乙、丙 D.甲、丙 【答案】A 【解析】甲：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE， 在△BAF和△DAF中， ， ∴△BAF≌△DAF（SAS）， ∴BF＝DF， 同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS）， ∴BE＝DE，BF＝BE， ∴BF＝DF＝BE＝DE， ∴四边形FBED是菱形； 乙：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵AF＝CE， ∴OA+AF＝OC+CE， 即OF＝OE， ∴四边形FBED是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形FBED是菱形； 综上所述，甲对、乙对， 故选：A． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】 【解析】如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5． 若平行四边形CDEB为菱形， 则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵S△ACBAB•OCAC•BC， ∴OC． 在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB， ∴AD＝AB﹣2OB． 故答案为：． 5.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　　　　　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可） 【答案】OA＝OC. 【解析】OA＝OC， ∵OB＝OD，OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：OA＝OC． 6.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠OAE＝∠OCF． ∵O是AC中点，∴AO＝CO． 在△AOE和△COF中， ． ∴△AOF≌△COE（ASA）． （2）四边形AFCE为菱形，理由如下： ∵△AOF≌△COE， ∴AF＝CE． 又AF∥CE， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O． （1）给出下列信息：①AB∥CD；②AO＝OC；③∠ADB＝∠CBD．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是 　　，结论是 　　.（填序号） （2）在（1）的条件下，已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】解：（1）选择的条件是：①②，结论是：③．（答案不唯一）． 证明如下：∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO． 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． （2）作出线段BD的垂直平分线， 如图所示，四边形BEDF即为所求作的四边形. 十、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　） A.9.5 B.10 C.10.5 D.11 【答案】D 【解析】∵六边形EFGHLK的各个内角相等， ∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°， ∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL， 又∵BF＝FG＝KL， ∴EF＝CL＝6＝CH， 由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形， ∵C1＝2C2， ∴AECH＝3， 又∵2C2＝4C3， ∴C3C212＝6， ∴BF6＝2， ∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11， 故选：D． 2.两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　） A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形， ∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°， ∴四边形AGCH是平行四边形， ∠AGB＝∠GCH＝∠AHF， 在△AFH和△AGB中， ， ∴△AFH≌△AGB（AAS）， ∴AH＝AG， ∴平行四边形AGCH是菱形， ∴AG＝GC＝CH＝HA， ∵∠AGB＝30°，AB＝2， ∴AB＝4， ∴四边形AGCH的周长为4×4＝16． 故选：D． 3.下列说法正确的是（　　） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 4.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，若AB＝2，∠A＝120°，则A，C两点间的距离为 　　． 【答案】2 【解析】如图，连接AC， ∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD， ∴AB＝BC，四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， 即A，C两点间的距离为2， 故答案为：2． 5.如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　． 【答案】30° 【解析】由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2 cm， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD∠MAN＝30°， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°， 故答案为：30°． 6.如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：ME＝NE． 【答案】证明：∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵BM＝DN， ∴AB﹣BM＝AD﹣DN， ∴AM＝AN， ∴四边形AMEN是菱形， ∴ME＝NE． 7.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 十一、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 【答案】D 【解析】∵BM＝BC，∠CBM＝α， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∴， ∵DN⊥DM， ∴∠MDN＝90°， ∴∠NDA＝∠MDC， ∵DN＝DM， ∴△NDA≌△MDC（SAS）， ∴， 故选：D． 2.四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（　　） A.点K，F B.点K，E C.点C，F D.点C，E 【答案】C 【解析】设CG＝x，GF＝y， ∴BC＝x+y，CI＝y﹣x， ∴， 由勾股定理得CG2+GF2＝CF2， ∴， ∴知道点C，F的距离即可求最大正方形与最小正方形的面积之和， 故选：C． 3.如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A.4 B. C.8 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD， ∵EF⊥AB，GH⊥BC， ∴∠AEF＝∠BEF＝90°，∠BHO＝∠CHO＝90°， ∴∠B＝∠BEO＝∠BHO＝90°， ∴四边形BEOH是矩形， ∵BE＝BH， ∴四边形BEOH是正方形， ∵∠BAC＝∠B＝∠BHO＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴AG＝BH， ∵AD∥BC，GH⊥BC， ∴GH⊥AD， ∴∠DGO＝∠AGO＝90°， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠DFO＝∠CFO＝90°， ∴∠DGO＝∠DFO＝∠D＝90°， ∴四边形DFOG是矩形， ∵∠B＝∠BEO＝∠C＝90°， ∴四边形BEFC是矩形， ∴CF＝BE， ∴AG＝CF， ∵AD＝CD， ∴DG＝DF， ∴四边形DFOG是正方形， ∴S正方形BEOH+S正方形DFOG＝BH2+OG2＝AG2+OG2， 在Rt△AOG中，由勾股定理得，OA2＝AG2+OG2＝42＝16， ∴四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为16， 故选：D． 4.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F、G分别在BC、AD上，且GF⊥BE，若四边形BFEG的面积为5，则AB的长为　． 【答案】2 【解析】过点F作FH⊥AD于点H，如图所示： 则∠FHD＝∠FHG＝90°， ∵四边形ABCD为正方形． ∴∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠A＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠FHD＝∠D＝∠C＝90°， ∴四边形FHDC为矩形． ∴FH＝DC，∠HFC＝90°， ∴FH＝BC，∠BFH＝180°﹣90°＝90°， ∵GF⊥BE． ∴∠BOF＝90°， ∴∠OBF+∠BFO＝∠BFO+∠OFH﹣90°， ∴∠EBF＝∠GFH， ∵∠GHF＝∠BCE＝90°， ∴△GFH≌△EBC（ASA）， ∴GF＝BE． ∵四边形BFEG的面积为5，GF⊥BE， ∴GF•BE＝5， 即BE2＝5， 解得BE，负值舍去， ∵点E为CD的中点， ∴CECDBC． ∵BC2+CE2＝BE2， ∴BC2+（BC）2＝10． 解得：BC＝2，负值舍去， AB＝2． 故答案为：2． 5.已知两个正方形的边长的和是10 cm，若它们面积的差是40 cm2，则它们面积的和是 　　． 【答案】58 cm2 【解析】设两个正方形的边长分别为a cm，b cm， 根据题意得：a+b＝10，a2﹣b2＝40， ∴（a+b）（a﹣b）＝40， ∴a﹣b＝4， 则a＝7，b＝3， 则它们面积的和是72+32＝58（cm2）， 故答案为：58 cm2． 6.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点（不与点C，D重合），连接BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF，CE和BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解：AF+CE＝BE． 理由：如图所示，过点B作BG⊥BE，与DA的延长线交于点G． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝BC， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∵BG⊥BE， ∴∠GBE＝∠ABG+∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝∠CBE， 在△CBE和△ABG中， ， ∴△CBE≌△ABG（ASA）， ∴CE＝AG，BE＝BG， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF＝∠EBF， ∵∠ABG＝∠CBE， ∴∠ABG+∠ABF＝∠CBE+∠EBF， 即∠GBF＝∠CBF， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠AFB， ∴∠AFB＝∠GBF， ∴BG＝GF＝BE， 即AF+CE＝BE． 7.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，延长CD到F，使DF＝BE，连接AF、EF，若AE＝3，求EF的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABE， 在△ADF和△ABE中， ， ∴△ADF≌△ABE（SAS）， ∴AF＝AE＝3，∠DAF＝∠BAE， ∵∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠DAF+∠EAD＝90°， ∴∠FAE＝90°， ∴EF3， 即EF的长是3． 十二、正方形对角线的性质 1.如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A.2 B.4 C.8 D. 【答案】B 【解析】连O1B，O1C，如图： ∴∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°， ∴∠BO1F＝∠CO1G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°， 在△O1BF和△O1CG中， , ∴△O1BF≌△O1CG（ASA）， ∴， ∴O1，O2 两个正方形阴影部分的面积是S正方形ABCD， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是是S正方形ABCD， ∴阴影部分的面积和＝8S正方形ABCD， ∴AD2＝16， ∴AD＝4， 故选：B． 2.如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝25°，则∠AEF＝（　　） A.35° B.40° C.45° D.50° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠BEC＝∠AEC， ∵∠BCF＝25°， ∴∠BEC＝180°﹣25°﹣45°＝110°＝∠AEB， ∴∠DEC＝∠BEF＝70°， ∴∠AEF＝110°﹣70°＝40°， 故选：B． 3.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是（　　） A.20° B.22.5° C.40 D.67.5° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∵AE＝AC， ∴， ∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°． 故选：B． 4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为 　　． 【答案】 【解析】过O作OE⊥AD，OF⊥DC，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴OM＝ON，∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠MOE＝∠NOF， ∵∠OEM＝∠OFM＝90°， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴S四边形MOND＝S四边形OEDF， ∵四边形MOND的面积是3， ∴正方形ABCD的面积为12， ∴AB， 故答案为：． 5.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 【答案】22.5 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，∠ACB＝45°， ∵CE＝BD． ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠CAE+∠E＝45°， ∴∠E＝22.5°， 故答案为：22.5． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明如下：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 7.如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，连接AE、AF、CE、CF，且AE＝AF，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】证明：设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∵AE＝AF，AO⊥EF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是菱形． 十三、正方形的判定 1.下列说法不正确的是（　　） A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形 【答案】D 【解析】A、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不合题意； D、有一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 2.下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A.AB＝AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD 【答案】B 【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角;（2）对角线相等．即∠ABC＝90°或AC＝BD． 故选：B． 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】B 【解析】A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形， 故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； 故选：B． 4.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　　　　　　　　可使菱形ABCD成为正方形． 【答案】AC＝BD或AB⊥BC 【解析】根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC； 故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】添加的条件是AC⊥BD（答案不唯一）， 理由：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 6. [阅读材料] [解答问题] 请你根据材料中的信息，证明四边形ABEF是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， 由作图知，AB＝AF＝BE， ∴AF＝BE，AF∥BE， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是正方形． 7.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 【答案】解：（1）四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OAAC，OB＝ODBD， ∵以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB＝CP，BP＝OC， ∴四边形BPCO为平行四边形； （2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形． ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∵AC＝BD，OBBD，OCAC， ∴OB＝OC， ∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为正方形． 十四、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误； 连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF＝OC， ∴∠OCF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠GFM+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF，故②正确； ∵EF∥BD，EF⊥AH， ∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF是正方形，故③正确； ∵四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC＝2， ∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1，故④正确； 故选：C． 2.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 【答案】D 【解析】∵正方形的两组对边分别平行， ∴正方形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴正方形是菱形， 故B不符合题意； ∵正方形的四个角都是直角， ∴正方形是矩形， 故C不符合题意； ∵菱形的内角不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是正方形， 故D符合题意， 故选：D． 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC， ∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°， 在△AFG和△DFE中， ， ∴△AFG≌△DFE（SAS）， ∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE， ∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°， ∴△GFE是等腰直角三角形， 故①正确； 当点G是AD的中点时，则FG⊥AD， ∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°， ∴四边形DGFE是矩形， ∵GF＝EF， ∴四边形DGFE是正方形， ∴四边形DGFE可能是正方形， 故②正确； ∵∠GFE＝90°，GF＝EF， ∴GEGF， 当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG， ∴GFAD8＝4， ∴GE4＝4， ∴GE长度的最小值为4， 故③正确； ∵当GF⊥AD时，GF＝4， ∴S△AFD8×4＝16， ∵△AFG≌△DFE， ∴S△AFG＝S△DFE， ∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16， ∴四边形DGFE的面积保持不变， 故④正确， 故选：D． 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝BC，下列四个判断： ①若∠C＝120°，则； ②连接AC，DB，若AC垂直平分DB，则AD＝BC； ③连接AC，作∠DAC＝∠ACB，则四边形ABCD是正方形； ④点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上． 其中正确的序号为 　　　　　.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解析】①过点C作CE⊥AB于E，如图1所示： ∵∠A＝∠D＝90°， ∴四边形AECD为矩形， ∴AD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠DCB＝120°， ∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝30°， ∴BEBC， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CEBC， ∴ADBC， 故①不正确； ②∵∠DAB＝∠CDA＝90°， ∴CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵AC垂直平分DB， ∴AD＝AB， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∴∠CDB＝∠ABD＝45°， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， ∴AD＝BC， 故②正确； ③∠DAC＝∠ACB， ∴AD∥BC， ∴BC⊥AB， ∴四边形ABCD为矩形， 又∵CD＝BC， ∴矩形ABCD为正方形， 故③正确； ④连接BD，过点A作AH⊥BD，AH的延长线交BC的延长线于F，如图2所示： 则∠AHB＝∠FHB＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵CD＝BC， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△AHB和△FHB中， ， ∴△AHB≌△FHB（ASA） ∴AH＝FH， ∴点A与点F关于直线BD对称， ∴点A关于直线BD的对称点一定在直线BC上， 故④正确， 综上所述：正确的是②③④． 5.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　． 【答案】 【解析】如图，连接BB'，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BDAB＝2，BD平分∠ABC， ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE＝1， ∵四边形BEB'F是正方形， ∴BB'BE，BB'平分∠ABC， ∴点B，点B'，点D三点共线， ∴B'D＝BD﹣BB'， 故答案为：． 6.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE． （1）求证：BF＝DE； （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 【答案】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AF⊥AC， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAF＝∠EAD， 在△ADE和△ABF中, , ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴BF＝DE； （2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC， ∴BE⊥AC，BE＝AEAC， ∵AF＝AE， ∴BE＝AF＝AE， 又∵BE⊥AC，∠FAE＝∠BEC＝90°， ∴BE∥AF， ∵BE＝AF， ∴得平行四边形AFBE， ∵∠FAE＝90°，AF＝AE， ∴四边形AFBE是正方形． 7.如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，AO⊥BD于点O，OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F． （1）求证：四边形OECF是正方形； （2）若AD＝4，求正方形OECF的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB． ∵AO⊥BD， ∴DO＝BO， ∵OF⊥DC，OE⊥BC， ∴∠OFD＝∠OEB＝90° ∵∠ODF＝∠OBE＝45°， ∴△ODF≌△OBE（AAS）， ∴OF＝OE． ∵∠OFC＝∠OEC＝∠C＝90°， ∴四边形OECF是矩形． ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形． （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ODF＝45°，AD＝CD＝4． ∵∠OFD＝90°， ∴DF＝OF． ∵四边形OECF是正方形， ∴OF＝FC， ∴， ∴S正方形OECF＝FC2＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$