第3章 图形的初步认识（知识清单）数学新教材华东师大版七年级上册

第3章 图形的初步认识 1. 线段、射线、直线 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 可度量长度 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（ ）.A O B 图1 2..比较线段的长短b 图2 线段公理:两点间 最短; 两点间线段的长度叫做 . 比较线段长短的两种方法: ①圆规截取比较法;②刻度尺度量比较法.1 图3 β 图4 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分; 用圆规可以画出线段的和、差、倍. 3角的度量与表示 角:有 的两条射线组成的图形叫做角; 这个公共端点叫做 ; 这两条射线叫做 . 角的表示法：角的符号为“∠” ①用三个字母表示，如图1所示∠AOB终边 始边 图5 ②用一个字母表示，如图2所示∠b ③用一个数字表示，如图3所示∠1 ④用希腊字母表示，如图4所示∠β 4.角度数的换算：1°= ，1′= 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图5所示： 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做 。如图6所示： 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做 。如图7所示： 周角 图7 平角 图6 5.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个 。 6. 的补角相等，等角的 相等 7.经过直线外一点， 与这条直线平行。 8.如果 平行，那么这两条直线互相平行。 9.互相垂直的两条直线的交点叫做 。 10.平面内，过一点 垂直。 11.如图8所示，过点C作直线AB的垂线，垂足为O点，线段CO的长度叫做点 。 图8 C A B O 一、图形概念辨析易错点 易错点 1：立体图形与平面图形混淆 典型错误：误认为圆柱的侧面展开图（长方形）是立体图形；将长方体的一个面（长方形）等同于长方体本身。 注意事项：立体图形具有三维空间特征（长、宽、高），而平面图形仅存在于二维平面。可通过观察图形是否具有 “厚度” 区分，如长方体是立体图形，其每个面是平面图形。 易错点 2：直线、射线、线段特征混淆 典型错误：用 “射线 AB” 表示从 B 向 A 方向延伸的线；认为直线可以度量长度。 注意事项：直线无端点、向两端无限延伸，不可度量；射线有一个端点，延伸方向由端点与命名顺序决定（如 “射线 AB” 从 A 向 B 延伸）；线段有两个端点，可测量长度。命名时需注意射线的方向性。 二、图形度量计算易错点 易错点 3：度分秒换算错误 典型错误：计算转化为度分形式时，误写成（正确应为）；进行角度减法时未借位，如错算为。 注意事项：度分秒进率为 60（，），大单位转小单位需乘 60，小单位转大单位需除以 60；计算时按 “借 1 当 60” 原则处理进位与借位。 易错点 4：角平分线应用错误 典型错误：已知平分，，求时，错写成。 注意事项：角平分线将角平分为两个相等的角，计算时需准确运用 “半角” 关系，如。 三、图形关系推理易错点 易错点 5：余角与补角概念混淆 典型错误：将互余两角之和误记为；已知，求其补角时，错算为（正确应为）。 注意事项：互余两角之和为，互补两角之和为，计算时需明确两角关系，避免混淆。 易错点 6：立体图形展开图对应错误 典型错误：将正方体展开图中相隔较远的面误认为相邻面；折叠长方体展开图时，混淆长、宽、高的对应边。 注意事项：熟记常见立体图形的典型展开图特征（如正方体 “1 - 4 - 1” “2 - 3 - 1” 等结构），折叠时通过标注顶点或边的名称辅助对应。 四、实际应用易错点 易错点 7：几何模型与实际问题脱节 典型错误：用 “两点之间线段最短” 解决选址问题时，忽略地形限制；计算建筑物高度时，未考虑测量工具的误差。 注意事项：实际应用需结合具体场景，验证数学模型的可行性；注意测量数据的准确性与误差范围，必要时进行多次测量取平均值。 易错点 8：逻辑推理表述不规范 典型错误：证明 “对顶角相等” 时，仅描述 “看起来相等”；使用几何语言时，省略关键条件（如未说明 “因为与相交于点” 就直接得出对顶角关系）。 注意事项：几何推理需基于定义、定理进行严谨推导，用规范语言（“因为… 所以…”）表述，确保条件完整、逻辑连贯。 题型01 直线、射线、线段的相关概念 1．（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点在射线上 B．点在直线上 C．点是直线的一个端点 D．射线和射线表示同一条射线 3．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，直线l被直尺覆盖一部分，下面选项中哪条射线是直线l的一部分（   ） A．a B．b C．c D．d 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点是直线的一个端点 C．图中共有3条线段 D．射线和射线是同一条射线 5．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 题型02 点与线的位置关系 6．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 8．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 9．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（  ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，延长线段到点C D．如图4所示，图中共有4条射线 题型03 直线相交的交点个数问题 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 12．（24-25七年级下·福建三明·期中）在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 14．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 题型04 线段中点的有关计算 16．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长度； (2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由； 17．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，已知C为线段的中点，D在线段上．若，，则 ． 18．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 19．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，点A、B、C在同一直线上，且，，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 题型05 线段n等分点的有关计算 21．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 22．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 23．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 25．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 题型06 与线段有关的动点问题 26．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 28．（22-23七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 29．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 30．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 题型07 两点之间线段最短 31．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）图中圆为草坪，线段和为小路，经常有路人踩踏草坪走路线，路人选择路线的原因可以用数学知识解释为 ． 35．（2025·河北·一模）如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（   ） A．路线 B．路线 C．路线 D．路线 题型08 角的相关概念 36．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 38．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 39．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 40．（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有 个锐角． 题型09 与方向角有关的计算 41．（24-25七年级下·山西运城·期中）为推进城乡融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知的方向与的方向一致，则公路从地到地修建的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 42．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 43．（2025·河南信阳·二模）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的处，则处相对观测点的方向为（     ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．东偏南 44．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，一物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（   ） A． B． C． D． 45．（2025·河北邯郸·一模）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 题型10 角的单位与角度制 46．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末） ． 47．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级上·江西赣州·期末）计算：． 49．（24-25七年级上·四川泸州·期末）计算： ． 50．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上均不正确 题型11 角的度数大小比较 51．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 52．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 53．（24-25七年级上·陕西安康·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 54．（2024七年级上·全国·专题练习）已知则的大小关系是 ． 55．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，的度数可能为（    ） A． B． C． D． 题型12 三角板中角度计算问题 56．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起． (1)如图1若，则 ；若，则 ； (2)如图2若，则 ； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 57．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 58．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，把一副三角板叠放在一起，则 59．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 60．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，将一个直角三角板的角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若，则 ． 题型13 几何图形中角度计算问题 61．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 62．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 63．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 64．（2025·河南平顶山·二模）如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 65．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型14 角平分线有关的计算 66．（2025·河北唐山·二模）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 67．（2025·江苏宿迁·三模）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 68．（2025·河北石家庄·一模）如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 69．（22-23七年级上·广西河池·期末）如图，平分，平分，，求的度数． 70．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 题型15 余角和补角的相关计算 71．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，射线的端点O在直线上，，射线在内部，与互余，则的度数为（   ） A． B． C． D． 72．（24-25六年级下·山东淄博·期中）一副三角板按如图摆放．若，则等于 ． 73．（2025·广东清远·二模）若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 74．（2025·河北张家口·模拟预测）如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 75．（24-25七年级下·山东威海·期中）一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 图形的初步认识 1. 线段、射线、直线 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。A O B 图1 2..比较线段的长短b 图2 线段公理:两点间 线段 最短; 两点间线段的长度叫做 这两点之间的距离 . 比较线段长短的两种方法: ①圆规截取比较法;②刻度尺度量比较法.1 图3 β 图4 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分; 用圆规可以画出线段的和、差、倍. 3角的度量与表示 角:有 公共端点 的两条射线组成的图形叫做角; 这个公共端点叫做 角的顶点 ; 这两条射线叫做 角的两条边 . 角的表示法：角的符号为“∠” ①用三个字母表示，如图1所示∠AOB终边 始边 图5 ②用一个字母表示，如图2所示∠b ③用一个数字表示，如图3所示∠1 ④用希腊字母表示，如图4所示∠β 4.角度数的换算：1°= 60′ ，1′= 60″ 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图5所示： 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做 平角 。如图6所示： 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做 周角 。如图7所示： 周角 图7 平角 图6 5.从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个 角的 角平分线 。 6. 同角(或等角) 的补角相等，等角的 余角 相等 7.经过直线外一点， 有且只有一条直线 与这条直线平行。 8.如果 两条直线都与第三条直线 平行，那么这两条直线互相平行。 9.互相垂直的两条直线的交点叫做 垂足 。 10.平面内，过一点 有且只有一条直线与已知直线 垂直。 11.如图8所示，过点C作直线AB的垂线，垂足为O点，线段CO的长度叫做 点C到AB的距离 。 图8 C A B O 一、图形概念辨析易错点 易错点 1：立体图形与平面图形混淆 典型错误：误认为圆柱的侧面展开图（长方形）是立体图形；将长方体的一个面（长方形）等同于长方体本身。 注意事项：立体图形具有三维空间特征（长、宽、高），而平面图形仅存在于二维平面。可通过观察图形是否具有 “厚度” 区分，如长方体是立体图形，其每个面是平面图形。 易错点 2：直线、射线、线段特征混淆 典型错误：用 “射线 AB” 表示从 B 向 A 方向延伸的线；认为直线可以度量长度。 注意事项：直线无端点、向两端无限延伸，不可度量；射线有一个端点，延伸方向由端点与命名顺序决定（如 “射线 AB” 从 A 向 B 延伸）；线段有两个端点，可测量长度。命名时需注意射线的方向性。 二、图形度量计算易错点 易错点 3：度分秒换算错误 典型错误：计算转化为度分形式时，误写成（正确应为）；进行角度减法时未借位，如错算为。 注意事项：度分秒进率为 60（，），大单位转小单位需乘 60，小单位转大单位需除以 60；计算时按 “借 1 当 60” 原则处理进位与借位。 易错点 4：角平分线应用错误 典型错误：已知平分，，求时，错写成。 注意事项：角平分线将角平分为两个相等的角，计算时需准确运用 “半角” 关系，如。 三、图形关系推理易错点 易错点 5：余角与补角概念混淆 典型错误：将互余两角之和误记为；已知，求其补角时，错算为（正确应为）。 注意事项：互余两角之和为，互补两角之和为，计算时需明确两角关系，避免混淆。 易错点 6：立体图形展开图对应错误 典型错误：将正方体展开图中相隔较远的面误认为相邻面；折叠长方体展开图时，混淆长、宽、高的对应边。 注意事项：熟记常见立体图形的典型展开图特征（如正方体 “1 - 4 - 1” “2 - 3 - 1” 等结构），折叠时通过标注顶点或边的名称辅助对应。 四、实际应用易错点 易错点 7：几何模型与实际问题脱节 典型错误：用 “两点之间线段最短” 解决选址问题时，忽略地形限制；计算建筑物高度时，未考虑测量工具的误差。 注意事项：实际应用需结合具体场景，验证数学模型的可行性；注意测量数据的准确性与误差范围，必要时进行多次测量取平均值。 易错点 8：逻辑推理表述不规范 典型错误：证明 “对顶角相等” 时，仅描述 “看起来相等”；使用几何语言时，省略关键条件（如未说明 “因为与相交于点” 就直接得出对顶角关系）。 注意事项：几何推理需基于定义、定理进行严谨推导，用规范语言（“因为… 所以…”）表述，确保条件完整、逻辑连贯。 题型01 直线、射线、线段的相关概念 1．（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质．根据直线、射线、线段的定义和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法错误，本选项不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，端点不同，原说法错误，本选项不符合题意； C、延长线段和延长线段的含义不一样，原说法错误，本选项不符合题意； D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，说法正确，本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点在射线上 B．点在直线上 C．点是直线的一个端点 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】BD 【分析】本题考查了线段、射线、直线，掌握线段、射线、直线的定义是解题关键．根据线段、射线、直线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、点不在射线上，在直线上，原说法错误，不符合题意； B、点在直线上，原说法正确，符合题意； C、点是线段的一个端点，原说法错误，不符合题意； D、射线和射线表示同一条射线，原说法正确，符合题意； 故选：BD． 3．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，直线l被直尺覆盖一部分，下面选项中哪条射线是直线l的一部分（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题主要考查了射线与直线的关系，掌握射线是直线的一部分成为解题的关键． 根据射线和直线的关系即可解答． 【详解】解：由图可知：射线c在直线l有重合部分，则射线c是直线l的一部． 故选C． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点是直线的一个端点 C．图中共有3条线段 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的知识，理解并掌握直线、射线和线段的定义是解题关键．根据直线、射线和线段的定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 点在直线上，故该选项说法错误，不符合题意； B. 直线没有端点，故该选项说法错误，不符合题意； C. 图中共有3条线段，故该选项说法正确，符合题意； D. 射线和射线的端点不同，故不是同一条射线，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 题型02 点与线的位置关系 6．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 7．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 8．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 9．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（  ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，延长线段到点C D．如图4所示，图中共有4条射线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，关键是直线、射线和线段性质定理的应用．根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可． 【详解】A．如图1，点C在射线上，故该选项不正确，不符合题意； B．如图2所示，射线不经过点A，故该选项不正确，不符合题意； C．如图3所示，延长线段到点C，故该选项不正确，不符合题意； D．如图4所示，图中共有4条射线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型03 直线相交的交点个数问题 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建三明·期中）在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化类，在相交线的基础上，通过观察、实验和猜想、归纳得出结论．． 【详解】解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确； ②假设所有的角都大于等于26°， 假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都， 则其和，与圆心角矛盾． 假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾． 综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确； ③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交． 理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点， ∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点， ∴七条直线共个交点， ∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次， ∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确； 故选：A． 13．（24-25七年级下·山东聊城·期中）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， ∴12条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 14．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 15．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题主要考查了相交线，掌握此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有个交点，而，故可猜想，n条直线相交，最多有个交点．据此即可求解答案． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 题型04 线段中点的有关计算 16．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长度； (2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是线段的和差，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． （1）由中点的性质得，，根据可得答案； （2）由中点的性质得，，根据可得答案． 【详解】（1）解：， ， 点，分别是，的中点， ，， ； （2）解：，理由如下： 、分别是、的中点， ，， ， ． 17．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，已知C为线段的中点，D在线段上．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握各线段之间的关系是解决此题的关键．根据题意即可求出的长，然后根据中点的定义即可求出，从而求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【答案】（1），；（2）2；（3） 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，点A、B、C在同一直线上，且，，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． 【答案】线段EF的长为或 【分析】本题考查线段中点的性质以及线段的和差计算，解题的关键是根据点相对于线段的不同位置进行分类讨论，再利用线段中点性质求出相关线段长度，进而得出EF的长度． 先根据线段中点性质求出和的长度，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，通过线段的和差关系计算的长度． 【详解】解：因为点E、F分别是线段、的中点，，， 所以，， ①当点C在线段AB上时，如图1， ； ②当点C在线段的延长线上时，如图2， ． 所以线段的长为或． 20．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】本题考查了线段定义，两点间的距离，掌握线段定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据线段定义解答即可； （2）根据已知，由，根据点O是线段的中点，即可求出的长，再根据进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：观察图形可知，线段有：，共6条． 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 题型05 线段n等分点的有关计算 21．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 22．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由，可得，，然后根据求解即可； （2）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 23．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． (1)求线段的长度． (2)若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解； （2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解； 根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴线段的长度为； （2）当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴线段的长度为或． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 【答案】(1) (2)CM长为3或7 【分析】本题考查线段和差、线段中点的知识，掌握线段中点的有关计算是解题关键； （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）分点M在点B的左侧和右侧两种情况，再根据线段和差性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵C是AB的中点，， ∴； （2）∵， ∴ 当点M在点B的左侧时， ∵， ∴； 当点M在点B的右侧时， ∵， ∴． 综上所述，CM长为3或7． 25．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算： （1）利用中点求出，再由求出，最后由求解即可； （2）分两种情况讨论，分别求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点C是线段的中点 ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：当点为靠近点D的三等分点时，如图： 则， ∴； 当点点为靠近点A的三等分点时，如图： 则， ∴， ∴的长为或． 题型06 与线段有关的动点问题 26．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 27．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 28．（22-23七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 29．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 30．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 题型07 两点之间线段最短 31．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键； 根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： ， 故选：B． 32．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间，线段最短．解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 作点A关于直线的对称点，连接，，则线段的长度即为的最小值． 【详解】解：作点A关于直线的对称点， 连接， 则， ∴， 连结， 则线段的长度即为的最小值， 这样做依据的基本事实是：两点之间，线段最短． 故选：A． 33．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，甲、乙均从处去往处．甲选择图中的路线①，即依次途径，，，最终到达；乙选择图中的路线②，即途径，最终到达．图中的，，，，，均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走，则两条路线中较长的是（    ） A．① B．② C．一样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短， 连接，再利用两点之间线段最短即可求解， 【详解】解：连接 有图可知： 在中， 即， 在中，， 即， ， 则路线①的距离路线②的距离， 故选：A． 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）图中圆为草坪，线段和为小路，经常有路人踩踏草坪走路线，路人选择路线的原因可以用数学知识解释为 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，掌握线段的性质“两点之间，线段最短”是解题的关键． 根据线段的性质即可解答． 【详解】解：路人选择路线AC的原因可以用数学知识解释为两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 35．（2025·河北·一模）如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（   ） A．路线 B．路线 C．路线 D．路线 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，这两地之间的最短距离为，其他线路都应大于，但是线路的长度为，所以线路所标的数据错误． 【详解】解：这两地之间的最短距离为， 其他线路都应大于， 线路的长度为， 故线路所标的数据错误． 故选：B ． 题型08 角的相关概念 36．（24-25七年级上·广东深圳·期末）深圳市数码产品购置补贴活动期间，小山爸爸在坪山商场购入了一台“三折叠”手机，小山测量“三折叠”手机打开角度如下图．此时“三折叠”手机的打开角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握量角器的读数方法是解题的关键． 根据量角器直接读取即可． 【详解】解：观察量角器可得“三折叠”手机的打开角度， 故选：D． 37．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 38．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，的边经过的点是（    ）    A． B．B C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的有关概念，一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是B，    故选：B． 39．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 40．（24-25七年级上·河南信阳·期末）如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有 个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 题型09 与方向角有关的计算 41．（24-25七年级下·山西运城·期中）为推进城乡融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路，如图所示，公路从地沿着北偏东方向到地，再从地沿着南偏东方向到地，然后从地到地．已知的方向与的方向一致，则公路从地到地修建的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】本题考查了与方位角有关的计算题，根据的方向与的方向一致，且公路从地沿着北偏东方向到地，即可作答． 【详解】解： ∵的方向与的方向一致，且公路从地沿着北偏东方向到地， ∴公路从地到地修建的方向为北偏东， 故选：B 42．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【分析】本题考查了仰角与方向角；过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为北偏东方向上． 故意选：D． 43．（2025·河南信阳·二模）为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的处，则处相对观测点的方向为（     ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．东偏南 【答案】C 【分析】本题考查了方位角与角的和与差，根据、两点的方位可知，根据点在的平分线上，可知，因为．所以处相对观测点的方向为南偏东． 【详解】解：由图象可知：， ， 平分， ， ∴处相对观测点的方向为南偏东． 故选：C． 44．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，一物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质等知识．根据题意，由平行线的性质得到，得到，根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角， ∴， ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， 故选：C． 45．（2025·河北邯郸·一模）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 【答案】D 【分析】根据方向角的应用，判定解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角是解题的关键． 【详解】解：A. 丙家在甲家南偏东方向，此选项不符合题意； B. 甲家在丙家北偏西方向，此选项不符合题意； C. 甲家在乙家北偏东方向，此选项不符合题意；     D. 丙家在乙家北偏东方向，此选项符合题意； 故选：D． 题型10 角的单位与角度制 46．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了度、分之间的换算，掌握度、分、秒的换算关系是解题的关键． 根据 ，计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 47．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的单位换算及大小比较，解题的关键是将不同单位表示的角度统一单位后再比较． 将的度数换算为度分形式，再统一与比较大小． 【详解】解：， ，即， 又，， ， 故选：A． 48．（24-25七年级上·江西赣州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查度分秒之间的计算．依据度分秒的换算即可得到结果． 【详解】解： ． 49．（24-25七年级上·四川泸州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的加法运算，解题的关键是掌握度，分单位的换算，先分别计算度与度，分与分的和，再对分进行进位处理． 将度与度，分与分分别相加，再对分进行进位换算． 【详解】计算分的和：，因为，所以， 计算度的和：，再加上分进位的，得到， 最终结果为， 故答案为：． 50．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算，小单位化大单位除以进率是解题关键． 根据小单位化大单位除以进率，由，可得答案． 【详解】解：，， ， ，， ． 故选B． 题型11 角的度数大小比较 51．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：， ． 故答案为： ． 52．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查角的大小比较，将化成后，再进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：C． 53．（24-25七年级上·陕西安康·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角度的大小比较，角度值的换算，根据可得，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）已知则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算和角的大小比较，先统一单位，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：， 因为， 所以． 故答案为：． 55．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，的度数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的度量与计算．根据量角器可得约为，约为，然后根据即可得． 【详解】解：由图可知，约为，约为， 则的度数可能为， 故选：C． 题型12 三角板中角度计算问题 56．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点O重合叠放在一起． (1)如图1若，则 ；若，则 ； (2)如图2若，则 ； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算,三角板中的角度计算. （1）根据可求得，根据可求得； （2）根据计算可得； （3）根据，即可求得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ； （3），理由如下， ∵ ， ∴． 57．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键． （1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： ∵， ∴． 58．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，把一副三角板叠放在一起，则 【答案】15 【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，正确计算是解题的关键． 由即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：15． 59．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，根据，求出的度数，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 60．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，将一个直角三角板的角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据，，可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 题型13 几何图形中角度计算问题 61．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据题意，分情况讨论射线和的位置，计算出的可能值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图，分四种情况进行讨论： 由图可知：； ； ； ； 综上：正确的个数是4个； 故选A． 62．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，先由平角得，平分，得，因为，则，再进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 63．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 64．（2025·河南平顶山·二模）如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线平分角，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选C． 65．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，先根据角的和差的定义得出，再根据平角的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点、、在同一条直线上， ∴， 故选：C 题型14 角平分线有关的计算 66．（2025·河北唐山·二模）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，恰好平分， ∴， 故选：B． 67．（2025·江苏宿迁·三模）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 68．（2025·河北石家庄·一模）如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查是角平分线的定义，角的概念，角的计算，先根据角平分线的定义求出，再由得解． 【详解】解：∵射线和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 69．（22-23七年级上·广西河池·期末）如图，平分，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 70．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3)能，的度数为135°或45° 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的定义，将所求角转化为与已知角相关的表达式． （1）先求出的度数，再根据角平分线定义分别求出与，进而求出； （2）先表示出，再依据角平分线定义得到与的表达式，最后求出； （3）分两种情况讨论，根据角平分线定义求出． 【详解】（1） ， ， 平分， ， 平分， ， ； （2），， ， 平分，平分， ，， ； （3）如图①所示，平分，平分， ，， ； 图① 如图所示，平分，平分， ，， ． 综上，的度数为或． 题型15 余角和补角的相关计算 71．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，射线的端点O在直线上，，射线在内部，与互余，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了余角的定义，平角的定义，度数之和为90度的两个角互余，据此可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∴， 故选：D． 72．（24-25六年级下·山东淄博·期中）一副三角板按如图摆放．若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了有关余角的求解，掌握互余两角度数和为是解题的关键． 由三角板，得到互余，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 73．（2025·广东清远·二模）若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的补角；根据和为的两个互为补角即可求解． 【详解】解：， 即这个角为； 故选：D． 74．（2025·河北张家口·模拟预测）如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 【答案】D 【分析】根据和都是直角，得到，，解答即可． 本题考查了直角的意义，余角的性质，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和都是直角， 故，，， 故减小， A. 增加，本选项错误，不符合题意； B. 增加，本选项错误，不符合题意； C. 增加，本选项错误，不符合题意； D. 与的和不变，本选项正确，符合题意； 故选：D． 75．（24-25七年级下·山东威海·期中）一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为，根据题意列出等式，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$