第3章 图形的初步认识（复习讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

第3章 图形的初步认识（复习讲义） 基础目标：准确识别立体图形（如长方体、圆柱、圆锥、球等）和平面图形（如三角形、四边形、圆），理解其基本特征，会进行角的和差计算，理解角平分线的概念，能运用角平分线性质进行简单角度推导。 进阶目标：理解余角、补角的概念，能运用余角和补角的性质进行角度计算，能够根据图形的已知条件，进行简单的逻辑推理和几何语言表达。 拓展目标：了解几何图形在建筑、艺术、科技等领域的应用案例（如黄金分割在设计中的美学价值），感受数学的文化魅力。 一、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的异同点 名称 直线B A 射线A 线段B 基本图形 a B B A A a 表示方法 直线AB(BA) 直线a ①射线AB ②射线BA 线段AB(BA) 线段a 端点个数 0 l 2 图形性质 延伸性 向两旁无限延伸 只向一旁无限延伸 不能延伸 延长性 不存在延长 可反向延长 可向两旁任意延长 度量性 不可度量 不可度量 可度量 相关关系 射线、线段都是直线的一部分 2、线段有两种表示方法：线段AB与线段BA，表示同一条线段。或用一个小写字母表示，线段a。 A B a 射线的表示方法：端点在前，任意点在后。射线OP O P 直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线a M N a 二、角的相关知识点 知识点1：角的概念 ①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共顶点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。②动态定义：角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。起始边与终边可以重合。 2、角的内部：射线旋转时经过的平面部分。角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点，角的边以外的部分。角将平面分成三部分，即角的外部，角的内部和角的两边及顶点。 3、 角的表示方法： (1)用三个大写英文字母表示：∠AOB或∠BOA；（顶点字母在中间） (2)用顶点的一个英文字母表示：∠O；(只适用于顶点处只有一个角的情况) (3)用一个希腊字母表示：∠ɑ；(标注弧线与对应的希腊字母) (4)用一个数字表示：∠1；(标注弧线与对应的或数字)O B A 1 O B A ɑ O B A 4、角的分类： 1周角=2平角=4直角 练习：如图共有几条射线?共有几个角？分别表示出来？如果有条射线，那么共有多少个角？ O B C E A F 知识点2：角度的换算 角的单位：度、分、秒：把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角， 记作1°；把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″。 1°=60′；1′=60″。 知识点3：角平分线 如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，OC就是∠AOB角平分线。 就有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC 知识点4：互余，互补 余角：如果两个角的和等于一个直角(90)，那么这两个角互为余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的余角； 补角：如果两个角的和等于一个平角(180)，那么这两个角互为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的补角； 余角、补角的性质 同角(或等角)的补角相等； 几何语言：因为∠1＋∠2=180， ∠1＋∠3=180, 所以∠2=∠3. 同角(或等角)的余角相等； 几何语言：因为∠4＋∠5=90， ∠4＋∠6=90, 所以∠5=∠6. (同角一定是等角，但等角不一定是同角.) 知识点5：方位角 方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成 “东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可以说成东北方向。 题型一 认识平面图形、立体图形、图形的分类 【例1】分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列几何体的性质：①侧面是平行四边形；②上、下底面形状相同；③上、下底面平行；④棱长相等，是棱柱的性质的有 ．（填写序号） 【变式1-3】如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 题型二 立体图形的视图 【例1】如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体组成的，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．下图中飞机的俯视图是（   ） A． B． C． D． 题型三 立体图形的展开图 【例1】一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【变式1-1】某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（   ） A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【变式1-2】如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-3】如图，一个正方体的平面展开图，若折成正方体后，每对相对面上标注的值的和均相等，则 ． 题型四 平面图形 【例1】用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．五棱柱 D．正方体 【变式1-1】如图，从一个长方体的一角截去一个三棱锥，剩余的几何体的顶点数不可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1-2】把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了（   ）平方厘米． A．96 B．48 C．64 D．以上三种都有可能 【变式1-3】圆锥的截面不可能是（   ）． A．圆形 B．三角形 C．椭圆形 D．平行四边形 题型五 直线、射线与线段的相关概念 【例1】下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 【变式1-2】如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有10条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．点P在直线外 D． 【变式1-3】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 题型六 作图——直线、射线和线段 【例1】如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 【变式1-1】如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【变式1-2】如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作线段与射线交于点． 【变式1-3】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图． (1)画直线； (2)作射线； (3)画线段； (4)连接，并延长至点E，使；（保留作图痕迹） (5)在四边形内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和最小． 题型七 线段的有关计算 【例1】如图，，点P是直线上一点，若，求线段的长． 【变式1-1】如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【变式1-2】如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【变式1-3】如图，点C，D在线段上，点C为中点．若，，求的长． 题型八 钟面角 【例1】如图，当时钟显示时，时针与分针所成锐角的度数是 ． 【变式1-1】每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【变式1-2】当时钟指向时，时针与分针的夹角的度数是 ． 【变式1-3】（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 题型九 方位角 【例1】如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是(    ) A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【变式1-1】如图，A地在B地的北偏西方向，则B地在A地的（   ）方向 A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏东 【变式1-2】小明与小亮要到科技馆参观，小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则小亮家位于科技馆的（    ） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【变式1-3】操场上，如果小明在小莉的北偏东方向，则小莉在小明的 方向（填具体方位角）． 题型十 度分秒换算 【例1】计算： ． 【变式1-1】 ．（填“”，“”或“”） 【变式1-2】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 ° ′． 题型十一 角平分线的有关计算 【例1】如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知点在直线上，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，且，求的度数． 【变式1-2】如图，已知平分平分． (1)求的度数； (2)如果，那么是多少度？ 【变式1-3】如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：， ， _______， _____________________． ∵点A，O，B在一条直线上， ______________． 平分， ______________． ______________． 题型十二 余角和补角 【例1】如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【变式1-1】如图，直线，相交于点，与互余，且，则 ． 【变式1-2】已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知一个角比它的余角的倍多，则这个角的度数为 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（    ） A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 2．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么搭成该几何体所需的小正方体的个数的情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·山东泰安·期中）一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建宁德·期末）将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是（    ）    A．路 B．兴 C．复 D．中 7．（24-25七年级下·山东泰安·期中）已知线段，点在直线上，且，则线段等于（   ） A． B． C．或 D．或 8．（2025·山东青岛·模拟预测）下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若一个角的余角是，那么这个角的度数是 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 11．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）2021年5月29日20时55分，中国在文昌航天发射场用长征七号遥三运载火箭成功发射天舟二号货运飞船．时，时针与分针的较小夹角是 度． 12．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，点C为线段的中点，点D在线段上，且，则线段的长度为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C，请按下列要求作图： (1)画线段，画射线； (2)作线段，使点C为线段的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 14．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东东莞·三模）如图，该几何体是由六个大小相同的小立方块搭成的，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江牡丹江·二模）由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（24-25七年级下·山东东营·期中）如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 9．（2025·宁夏银川·二模）随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为  设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 （结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 10．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 11．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 12．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 三、解答题 13．（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）如图1，直线经过点O，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，其它条件不变，求度数（用含  的式子表示）． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 图形的初步认识（复习讲义） 基础目标：准确识别立体图形（如长方体、圆柱、圆锥、球等）和平面图形（如三角形、四边形、圆），理解其基本特征，会进行角的和差计算，理解角平分线的概念，能运用角平分线性质进行简单角度推导。 进阶目标：理解余角、补角的概念，能运用余角和补角的性质进行角度计算，能够根据图形的已知条件，进行简单的逻辑推理和几何语言表达。 拓展目标：了解几何图形在建筑、艺术、科技等领域的应用案例（如黄金分割在设计中的美学价值），感受数学的文化魅力。 一、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的异同点 名称 直线B A 射线A 线段B 基本图形 a B B A A a 表示方法 直线AB(BA) 直线a ①射线AB ②射线BA 线段AB(BA) 线段a 端点个数 0 l 2 图形性质 延伸性 向两旁无限延伸 只向一旁无限延伸 不能延伸 延长性 不存在延长 可反向延长 可向两旁任意延长 度量性 不可度量 不可度量 可度量 相关关系 射线、线段都是直线的一部分 2、线段有两种表示方法：线段AB与线段BA，表示同一条线段。或用一个小写字母表示，线段a。 A B a 射线的表示方法：端点在前，任意点在后。射线OP O P 直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线a M N a 二、角的相关知识点 知识点1：角的概念 ①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共顶点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。②动态定义：角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。起始边与终边可以重合。 2、角的内部：射线旋转时经过的平面部分。角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点，角的边以外的部分。角将平面分成三部分，即角的外部，角的内部和角的两边及顶点。 3、 角的表示方法： (1)用三个大写英文字母表示：∠AOB或∠BOA；（顶点字母在中间） (2)用顶点的一个英文字母表示：∠O；(只适用于顶点处只有一个角的情况) (3)用一个希腊字母表示：∠ɑ；(标注弧线与对应的希腊字母) (4)用一个数字表示：∠1；(标注弧线与对应的或数字)O B A 1 O B A ɑ O B A 4、角的分类： 1周角=2平角=4直角 练习：如图共有几条射线?共有几个角？分别表示出来？如果有条射线，那么共有多少个角？ O B C E A F 知识点2：角度的换算 角的单位：度、分、秒：把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角， 记作1°；把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″。 1°=60′；1′=60″。 知识点3：角平分线 如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，OC就是∠AOB角平分线。 就有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC 知识点4：互余，互补 余角：如果两个角的和等于一个直角(90)，那么这两个角互为余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的余角； 补角：如果两个角的和等于一个平角(180)，那么这两个角互为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的补角； 余角、补角的性质 同角(或等角)的补角相等； 几何语言：因为∠1＋∠2=180， ∠1＋∠3=180, 所以∠2=∠3. 同角(或等角)的余角相等； 几何语言：因为∠4＋∠5=90， ∠4＋∠6=90, 所以∠5=∠6. (同角一定是等角，但等角不一定是同角.) 知识点5：方位角 方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成 “东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可以说成东北方向。 题型一 认识平面图形、立体图形、图形的分类 【例1】分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】 解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可． 本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥， 故选：A． 【变式1-2】下列几何体的性质：①侧面是平行四边形；②上、下底面形状相同；③上、下底面平行；④棱长相等，是棱柱的性质的有 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了棱柱的性质，根据棱柱的性质分析即可．棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是长方形；正棱柱的各个侧面都是全等的长方形，②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形，③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形． 【详解】解：棱柱的侧面是平行四边形，故①正确； 棱柱的上、下底面形状相同，故②正确； 棱柱的上、下底面平行，故③正确； 棱柱只有侧面的棱长相等，故④不正确 综上所述，正确的有①②③ 故答案为：①②③． 【变式1-3】如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握面动成体得到的几何体的形状是解题的关键．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体解答． 【详解】解：四边形是矩形，， ，是长边． 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是较高的圆柱体． 故选：B． 题型二 立体图形的视图 【例1】如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体组成的，则它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从前面看到的图形，进行判断即可 ． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选：A ． 【变式1-1】如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：A．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； B．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； C．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； D．该几何体的三视图符合题意． 故选：D． 【变式1-2】底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选A． 【变式1-3】为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．下图中飞机的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．根据俯视图是从上面看到的图象判定则可． 【详解】 解：从上面看下来，看到的图形是，即为俯视图， 故选A． 题型三 立体图形的展开图 【例1】一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】C 【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（   ） A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，根据侧面是长方形，可知该几何体是柱体，根据上下底面是三角形可知该几何体是三棱柱． 【详解】解：这个几何体的上下底面是三角形，侧面是三个长方形，故该几何体是三棱柱， 故选：D． 【变式1-2】如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐一减掉验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，去掉小正方形①，如图： ∴可折成一个小正方体，故①不符合题意； 去掉小正方形②，如图： ∴可折成一个小正方体，故②不符合题意； 去掉小正方形③，如图： ∴可折成一个小正方体，故③不符合题意； 去掉小正方形④，如图： ∴不能折成一个小正方体，故④符合题意； 故选：D． 【变式1-3】如图，一个正方体的平面展开图，若折成正方体后，每对相对面上标注的值的和均相等，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，有理数的乘法运算，根据相对面的确定方法：同行隔一个，异行Z字形，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：24． 题型四 平面图形 【例1】用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．五棱柱 D．正方体 【答案】B 【分析】此题主要考查了截一个几何体，明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键．根据圆柱、圆锥、五棱柱、正方体的特点判断即可． 【详解】解：A、用垂直于地面的一个平面截圆柱截面为长方形，故此选项不符合题意； B、圆锥由一个平面和一个曲面，截面最多有三条边，截面不可能是长方形，故此选项符合题意； C、五棱柱的截面可以是长方形，故此选项不符合题意； D、正方体的截面可以是长方形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】如图，从一个长方体的一角截去一个三棱锥，剩余的几何体的顶点数不可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，根据不同的截法，得出各个情况的剩余的几何体的顶点数，运用数形结合思想，进行作答即可． 【详解】解：一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是8， 一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是9， 一个长方体的一角截去一个三棱锥，如图所示： 此时剩余的几何体的顶点数是10， 故选：D 【变式1-2】把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了（   ）平方厘米． A．96 B．48 C．64 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查长方体的切割．通过不同的切割方式确定切面长方形的长和宽是解题的关键．求出切面的表面积进行比较即可． 【详解】解：如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； 如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； 如图， 按照上图虚线截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原长方体增加了平方厘米； ∴以上三种都有可能； 故选：D 【变式1-3】圆锥的截面不可能是（   ）． A．圆形 B．三角形 C．椭圆形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据圆锥的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况即可解答． 本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法． 【详解】解：用平面截圆锥，横切就是圆，竖切就是三角形，斜切侧面是椭圆，不论怎么切不可能是平行四边形． 故选：D． 题型五 直线、射线与线段的相关概念 【例1】下列有关线段或者直线的表示方法，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段的表示，直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线；线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段（或线段）．据此判断即可． 【详解】解：有关线段或者直线的表示方法，正确的是： 故选：C． 【变式1-1】下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 【答案】D 【分析】本题考查作图尺规作图的定义，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题．解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量． 【详解】解：直线无法测量，故选项A错误； 射线本身是以点为端点，向着方向延伸，故选项B错误； 射线无法测量，故选项C错误； 延长线断到，使得是正确的，故选项D正确． 故选：D． 【变式1-2】如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有10条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．点P在直线外 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的相关知识点逐项分析即可得解． 【详解】解：A、图中的线段有、、、、、、、、、，共10条线段，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，符合题意； C、点P在直线外, 不符合题意； D、由两点之间线段最短可得，，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 题型六 作图——直线、射线和线段 【例1】如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握直线、射线、线段定义． （1）根据直线定义即可画直线； （2）根据射线定义即可画射线交直线于点E； （3）根据根据两点之间线段最短求解； （4）根据两点之间线段最短即可在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线，点E即为所求； （3）连接与相交于点，根据两点之间线段最短，可得此时的最小值为； （4）如图，点O即为所求． 【变式1-1】如图，在平面内有，，三点． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于，），连接，并延长至，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义按要求作图． （1）根据直线没有端点、向两个方向无限延伸，射线有一个端点，向一个方向无限延伸，线段有两个端点，不延伸，画出直线，射线，线段； （2）线段上任取一点（不同于，），连接，再根据画出符合要求的图形即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 【变式1-2】如图，已知四点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作直线与射线交于点． (2)如图2，作线段与射线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，熟知直线，射线和线段的画图方法是解题的关键． （1）根据直线和射线的画图方法画图即可； （2）根据线段和射线的画图方法画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式1-3】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图． (1)画直线； (2)作射线； (3)画线段； (4)连接，并延长至点E，使；（保留作图痕迹） (5)在四边形内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)画图见解析 (5)画图见解析 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图．熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正确的根据定义作图是解题的关键． （1）根据直线的概念作图即可； （2）根据射线的概念作图即可； （3）根据线段的概念作图即可； （4）以点D为圆心、为半径，画弧交延长线于点E； （5）根据两点之间线段最短，连接、，交点即为所求点O． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所取； （4）解：如图所示，线段DE即为所求； （5）解：如图所示，点O即为所求． ； 题型七 线段的有关计算 【例1】如图，，点P是直线上一点，若，求线段的长． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差，根据，求出的长，分点P在点B左侧和点P在点B右侧进行讨论求解即可． 【详解】解：因为，， 所以． 当点P在点B左侧时，． 当点P在点B右侧时，． 因此，线段AP的长为或． 【变式1-1】如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 【变式1-2】如图，点C是的中点，D，E分别是线段，上的点，且，，若． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差倍分； （1）由线段中点的含义可得，，进一步可得答案； （2）求解，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴. 【变式1-3】如图，点C，D在线段上，点C为中点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，由题意可得，求出，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：因为点C是的中点，， 所以， 因为， 所以， 所以． 题型八 钟面角 【例1】如图，当时钟显示时，时针与分针所成锐角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，先由时钟一周有个大格，则每一个大格对应的度数是，再利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数即可得到答案．熟练掌握钟面角求法是解决问题的关键． 【详解】解：时钟一周有个大格，则每一个大格对应的度数是， 当时钟显示时，时针与分针所成锐角的度数是， 故答案为：． 【变式1-1】每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【答案】/165度 【分析】本题考查钟面角，钟面上一大格是30度，中午11点30分时，时针在11和12中间，分针指向6，时针与分针所夹角（小于平角）占5.5个大格，由此可解． 【详解】解：， 时针与分针所夹角（小于平角）的度数为， 故答案为：． 【变式1-2】当时钟指向时，时针与分针的夹角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，解题关键是明确时钟的相应时刻的时针与分针位置． 根据钟表的一周，分成个大格，求出每个大格的度数是，根据时针与分针的格数解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1-3】（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 题型九 方位角 【例1】如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是(    ) A．北偏西方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】B 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，正确求出是解题的关键． 先根据题意得到，再由方位角的定义求出，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵射线与射线成角， ∴， ∵是北偏东方向的一条射线， ∴， ∴，即的方位角是北偏西方向， 故选：B． 【变式1-1】如图，A地在B地的北偏西方向，则B地在A地的（   ）方向 A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏东 【答案】D 【分析】此题考查了方向角．根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等即可求解． 【详解】解：A地在B地的北偏西方向，则B地在A地的南偏东方向， 故选：D． 【变式1-2】小明与小亮要到科技馆参观，小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则小亮家位于科技馆的（    ） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，作，则，再求出即可，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作， 则， ∴， ∴小亮家位于科技馆的北偏西方向， 故选：． 【变式1-3】操场上，如果小明在小莉的北偏东方向，则小莉在小明的 方向（填具体方位角）． 【答案】南偏西 【分析】本题考查方向角，解题的关键是掌握方向角的定义和方向的相对性．据此解答即可． 【详解】解：如果小明在小莉的北偏东方向，则小莉在小明的南偏西方向． 故答案为：南偏西． 题型十 度分秒换算 【例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查度，分，秒之间的转化，根据度，分，秒之间的换算关系，进行计算即可． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 【变式1-1】 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角度的单位，将角度转化是解题的关键． 先根据度分秒之间的关系将化为，然后再比较大小． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确，按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确， 故选：D． 【变式1-3】 ° ′． 【答案】 34 42 【分析】本题主要考查角的度量，根据度，分，秒间的相互转化进行计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：34，42． 题型十一 角平分线的有关计算 【例1】如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】已知点在直线上，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平角与的关系得到和的和，再由角平分线求出，进而算出． （2）通过设未知数表示相关角，依据角平分线性质和角的和为列方程，求解得出 ． 本题主要考查了角平分线的性质以及角的和差关系，熟练掌握角平分线将角分成相等的两部分，利用角的和差构建方程或直接计算是解题的关键． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为是的平分线，， 所以． 所以． （2）解：因为， 所以设，则． 所以． 因为是的平分线，， 所以． 由， 得，解得． 所以． 【变式1-2】如图，已知平分平分． (1)求的度数； (2)如果，那么是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）先根据角的和差关系求出的度数，进而求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：， ， _______， _____________________． ∵点A，O，B在一条直线上， ______________． 平分， ______________． ______________． 【答案】；；；60；180；120；；60；； 【分析】本题考查了角的和差，有关角平分线的计算；由角的和差得 ，由角平分线得，即可求解；能熟练利用角的和差，角平分线的定义求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ． ∵点A，O，B在一条直线上， ． 平分， ， ． 故答案为：；；；60；180；120；；60；；． 题型十二 余角和补角 【例1】如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两角互余及互补的定义．利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 的余角为：，的补角为：， 故答案为：，． 【变式1-1】如图，直线，相交于点，与互余，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的定义，根据度数之和为90度的两个角互余得到，再由已知条件得到，则，据此利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角，根据互余的定义，若两个角的和为，则这两个角互余，由此可解． 【详解】解：∵与互余，且， ． 故选A． 【变式1-3】已知一个角比它的余角的倍多，则这个角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，一元一次方程的应用，设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为，再由这个角比它的余角的3倍多列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为． 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（    ） A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，结合三视图与原几何体的关系即可解决问题 【详解】解：结合三视图与原几何体的关系可得：该几何体为圆锥， 故选：D． 2．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么搭成该几何体所需的小正方体的个数的情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题主要考查了由小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据两个视图可确定该几何体分为上下两层，上面一层只有一个小正方体，下面一层最少有3个小正方体，最多有6个小正方体，据此可得答案． 【详解】解：由主视图和左视图可知，该几何体分为上下两层，上面一层只有一个小正方体， 下面一层最少有3个小正方体，最多有6个小正方体， ∴搭成该几何体所需的小正方体的个数的情况有4种， 故选：B． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25六年级下·山东泰安·期中）一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，涉及方位角的概念，根据题意，准确由方位角得到图中各个角度求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·福建宁德·期末）将一副三角板按如图所示放置，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算问题，根据角的和差关系得出，再根据角度的和差关系即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 6．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是（    ）    A．路 B．兴 C．复 D．中 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键． 先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案． 【详解】解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，所以第5格朝上的字是“路”． 故选A． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期中）已知线段，点在直线上，且，则线段等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分点C在线段上和点C在线段的延长线上，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点C在线段上时， ∵，， ∴； 如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上所述，线段的长为或， 故选：C． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的定义及其表示方法，正确认识角和记忆角的表示方法是解决本题的关键． 根据角的表示方法进行判断即可． 【详解】解：根据角的表示方法可知，选项C的表示同一角， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若一个角的余角是，那么这个角的度数是 ． 【答案】/55度 【分析】此题主要考查了余角，根据余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角进行计算即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】/54度 【分析】利用三角板已知角的度数，通过角的和差关系来求解 ，先找出与、相关的已知角，再计算．本题主要考查了角的和差运算，熟练掌握利用已知角的度数及角之间的和差关系求解未知角是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ，， ， 又， ． 故答案为： 11．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）2021年5月29日20时55分，中国在文昌航天发射场用长征七号遥三运载火箭成功发射天舟二号货运飞船．时，时针与分针的较小夹角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时针1分钟转是解题的关键．根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴时，时针与分针夹角是度， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，，点C为线段的中点，点D在线段上，且，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段中点的计算，掌握线段中点的定义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 根据线段中点的定义可得，再求出，即可得解． 【详解】∵，点C为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题 13．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C，请按下列要求作图： (1)画线段，画射线； (2)作线段，使点C为线段的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）连接即可作线段；连接并延长即可作射线； （2）以为圆心，为半径画弧与射线另一个交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段，画射线即为所求： （2）解：如图，线段即为所求． 14．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）在同一平面内已知，平分平分． (1)当，求的度数； (2)在做题过程中聪聪同学认为就算不知道的度数，也能求的度数，请你在的度数未知的情况下，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到，再结合角平分线定义推出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意得到，再结合角平分线定义表示出，最后根据代换求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ∴，， ∴； （2）解：， ∴， 平分平分， ∴，， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 2．（2025·安徽·模拟预测）如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图，找到从左面看所得到的图形与题干图形对应即可，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别． 【详解】 解：的左视图为， 故选：B． 3．（2025·广东东莞·三模）如图，该几何体是由六个大小相同的小立方块搭成的，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图，熟悉掌握三视图的特点是解题的关键． 根据主视图的画法判断即可． 【详解】解：由题意可得：主视图为： ， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和与差，角的平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 利用角的平分线的性质，可设，则，结合角的和差求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 5．（2025·黑龙江牡丹江·二模）由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据题意可得最下面一层有4个小立方体，中间一层最多有2个，上面一层最多有2个，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下： ∴这种几何体所需小正方体个数最多是， 故选：C． 6．（24-25七年级下·山东东营·期中）如图，两个直角和有公共顶点O， 下列结论： ①； ②； ③； ④若平分， 则平分 ． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角度之间的和差运算，角平分线的定义．根据，得出，则，即可判断①；无法判断，即可判断②；易得，即可推出，即可判断③；根据平分，得出，进而得出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，即，故①正确，符合题意； 当时，，否则不成立，故②不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④，共3个． 故选：C． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 由余角得定义即可判断①；设，则，那么，则，即可判断②③；由于则 ，进而得到，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角，故①正确； 设， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故③正确，②错误； ∵，即， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题 9．（2025·宁夏银川·二模）随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为  设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 （结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 【答案】 【分析】本题考查了由几何体的三视图确定该几何体的形状，几何体的表面积，根据题意列出算式，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：该帐篷所需布料的面积为， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】6或14 【分析】本题考查两点间的距离，根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 如图2，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：6或14． 11．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 12．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了求一个锐角的余角，度、分、秒的转换，首先根据余角的定义可得：的余角是，再把秒转化为分、分转化为度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 13．（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）如图1，直线经过点O，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，其它条件不变，求度数（用含  的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据平角的定义得，由角平分线定义得：，根据角的差可得结果； （2）根据平角的定义和角平分线的定义可得：，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以，     所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以 ． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$