17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固同步练习 2024--2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 一、勾股定理的的逆定理 1.现有两根长度分别为13cm和5cm的木棒，下列长度的木棒能跟这两根木棒拼成直角三角形的是（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 2.三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（　　） A. B. C.6，8，10 D.13，14，15 3.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α 4.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2+b2＞c2，则∠C为　     　． 5.如图，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，BD＝12，DC＝4，则∠DBA＝　      　． 6.如图所示，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）直接写出AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　  　，并求出△ABC的周长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 7.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=7，b=24，c=25； （2）a=，b=4，c=5； （3）a=，b=1，c=； （4）a=40，b=50，c=60. 二、逆命题与真假命题 1.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a+b＝0，则a2＝b2 B.若a﹣b＝0，则a2＝b2 C.若|a|﹣|b|＝0，则a2＝b2 D.若a＞b，则|a|＞|b| 2.关于命题：若|a|＞|b|，则a＞b．下列说法正确的是（　　） A.它是真命题 B.它是假命题，反例a＝3，b＝﹣4 C.它是假命题，反例a＝4，b＝3 D.它是假命题，反例a＝﹣4，b＝3 3.下列命题是真命题的是（　　） A.平行四边形对角线平分对角 B.菱形的对角线相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　   　；这个逆命题是       命题.（填写“真”或“假”） 5.写出命题“对顶角相等”的逆命题　       　；这个逆命题是           命题（填“真”或“假”）. 6.（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1＝∠　   　，∠2＝∠　    　（　   　 ）． ∵BE∥CF（　   　 ）， ∴∠1＝∠2（　                  　）． ∴∠ABC＝∠BCD（　            　）． ∴∠ABC＝∠BCD（            ）． ∴AB∥CD（　                 　 ）． （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 7.写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例． 三、勾股数 1.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　） A.4m2﹣1 B.4m2+1 C.m2﹣1 D.m2+1 2.下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A.2，2，3 B.3，4，5 C. D.9，40，41 3.下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　） A.0.3；0.4；0.5 B.1；； C.6；7；8 D.11；60；61 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 5.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　    　． 6.以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 7.已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0． 尝试 化简整式A． 发现 A＝B2，求整式B． 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值： 四、勾股定理的应用 1.如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A.6cm B.5cm C.4cm D.2cm 2.如图，有两棵树AB和CD（都与水平地面AC垂直），树AB高8米，树梢D到树AB的水平距离DE（DE⊥AB）的长度为8米，AE＝CD＝2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（　　） A.10米 B.9米 C.8米 D.7米 3.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 5.如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米，BC为1米．则滑道BD的长度为　  　． 6.如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路CA，CB相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示． （1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？ （2）现计划把河水从河道AB段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离． 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固（参考答案） 一、勾股定理的的逆定理 1.现有两根长度分别为13cm和5cm的木棒，下列长度的木棒能跟这两根木棒拼成直角三角形的是（　　） A.12cm B.11cm C.10cm D.9cm 【答案】A 【解析】由题意知，A中52+122＝169＝132，能构成直角三角形，符合题意； B中52+112＝146≠169＝132，不能构成直角三角形，不符合题意； C中52+102＝125≠169＝132，不能构成直角三角形，不符合题意； D中52+92＝106≠169＝132，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 2.三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（　　） A. B. C.6，8，10 D.13，14，15 【答案】D 【解析】A，∵（）2+12＝（）2， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； B，∵（）2+（）2＝（）2， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； C，∵62+82＝102， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； D，∵142+132≠152， ∴此三角形不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 3.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α 【答案】C 【解析】如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34， ∴BG2+BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α． 故选：C． 4.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2+b2＞c2，则∠C为　     　． 【答案】锐角 【解析】当a＝b＝c时，满足a2+b2＞c2， 当a＞b＞c时，满足a2+b2＞c2， 所以∠C是锐角． 5.如图，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，BD＝12，DC＝4，则∠DBA＝　      　． 【答案】45° 【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2， ∴∠ABC＝45°，BC＝＝4， ∵BD＝12，DC＝4， ∴BD2+BC2＝144+16＝160＝DC2， ∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°， ∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°． 6.如图所示，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）直接写出AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　  　，并求出△ABC的周长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）由勾股定理得AB＝＝5，BC＝＝10，AC＝＝5， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+10+5＝15+5． （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB＝5，BC＝10，AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． 7.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=7，b=24，c=25； （2）a=，b=4，c=5； （3）a=，b=1，c=； （4）a=40，b=50，c=60. 【答案】解：（1）72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形． （2）42+52=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形． （3）12+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形． （4）402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形． 二、逆命题与真假命题 1.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.若a+b＝0，则a2＝b2 B.若a﹣b＝0，则a2＝b2 C.若|a|﹣|b|＝0，则a2＝b2 D.若a＞b，则|a|＞|b| 【答案】C 【解析】A，逆命题为若a2＝b2，则a+b＝0，是假命题，不符合题意； B，逆命题为若a2＝b2，则a﹣b＝0，是假命题，不符合题意； C，逆命题为若a2＝b2，则|a|﹣|b|＝0，是真命题，符合题意； D，逆命题为若|a|＞|b|，则a＞b，是假命题，不符合题意． 故选：C． 2.关于命题：若|a|＞|b|，则a＞b．下列说法正确的是（　　） A.它是真命题 B.它是假命题，反例a＝3，b＝﹣4 C.它是假命题，反例a＝4，b＝3 D.它是假命题，反例a＝﹣4，b＝3 【答案】D 【解析】若|a|＞|b|，当a＞b＞0时，则a＞b；当a＜b＜0时，则a＜b，当b＝0时，a＞b或a＜b． 故选：D． 3.下列命题是真命题的是（　　） A.平行四边形对角线平分对角 B.菱形的对角线相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】D 【解析】A，平行四边形对角线不平分对角，故原命题为假命题； B，菱形的对角线不一定相等，故原命题为假命题； C，对角线相等的四边形不一定是矩形，故原命题为假命题； D，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，为真命题． 故选：D． 4.写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　   　；这个逆命题是       命题.（填写“真”或“假”） 【答案】两直线平行，内错角相等 真 【解析】命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为两直线平行，内错角相等. 5.写出命题“对顶角相等”的逆命题　       　；这个逆命题是           命题（填“真”或“假”）. 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 假 【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题. 6.（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1＝∠　   　，∠2＝∠　    　（　   　 ）． ∵BE∥CF（　   　 ）， ∴∠1＝∠2（　                  　）． ∴∠ABC＝∠BCD（　            　）． ∴∠ABC＝∠BCD（            ）． ∴AB∥CD（　                 　 ）． （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】解：（1）∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知） ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD（角平分线的定义）， ∵BE∥CF（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABC＝∠BCD（等量代换）， ∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． （2）两个互逆的真命题为 两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 7.写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例． 【答案】解：命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直． 原命题是假命题． 反例：如图1，∠CAB 的两边与∠CDB的两边分别垂直，但∠CAB+∠CDB＝180°，∠CAB与∠CDB不一定相等； 逆命题是假命题．反例：如图2，∠AOC＝∠BOD，但AB与CD不一定垂直． 三、勾股数 1.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　） A.4m2﹣1 B.4m2+1 C.m2﹣1 D.m2+1 【答案】D 【解析】∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1， ∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1， 故选：D． 2.下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A.2，2，3 B.3，4，5 C. D.9，40，41 【答案】A 【解析】A.∵22+22≠32，此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； B.∵32+42＝52，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C.∵12+12＝（）2，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D.∵92+402＝412，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3.下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（　　） A.0.3；0.4；0.5 B.1；； C.6；7；8 D.11；60；61 【答案】D 【解析】A.0.3，0.4，0.5，不是正整数，不符合勾股数的定义； B.1；；，不是正整数，不符合勾股数的定义； C.62+72≠82，不符合勾股数的定义； D.112+602＝612，符合勾股数的定义． 故选：D． 4.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 【答案】3，4，5（答案不唯一） 【解析】一组“勾股数”3，4，5（答案不唯一）． 故答案为：3，4，5（答案不唯一）． 5.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　    　． 【答案】25 【解析】设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x＝（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 6.以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（6，8，10），（8，15，17），（10，24，26）等． （1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数； （2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明． 【答案】解：（1）上述四组勾股数组的规律是32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262， 即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 所以第六组勾股数为14，48，50． （2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下： （n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2． 7.已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0． 尝试 化简整式A． 发现 A＝B2，求整式B． 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值： 【答案】解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1． 发现：∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0， ∴B＝n2+1， 当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17； 当n2﹣1＝35时，n2+1＝37． 四、勾股定理的应用 1.如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A.6cm B.5cm C.4cm D.2cm 【答案】C 【解析】由题意可知：AB＝16cm，DC垂直平分AB，DC＝6cm， ∴AC＝AB＝8cm，AD＝BD， 根据勾股定理可得：AD＝（cm）， ∴橡皮筋被拉长了：AD+BD﹣AB＝10+10﹣16＝4（cm）， 故选：C． 2.如图，有两棵树AB和CD（都与水平地面AC垂直），树AB高8米，树梢D到树AB的水平距离DE（DE⊥AB）的长度为8米，AE＝CD＝2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（　　） A.10米 B.9米 C.8米 D.7米 【答案】A 【解析】如图，连接BD，BE． 在Rt△DEB中，BE＝AB﹣AE＝8﹣2＝6（m），DE＝8 m， ∴BD＝＝＝10（m）． 故选：A． 3.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（　　） A.3米 B.6米 C.9米 D.10米 【答案】C 【解析】由题意可知，∠ACB＝90°， ∵AB＝15米，BC＝12米， ∴AC＝（米）， 故选：C． 4.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　   　米． 【答案】10 【解析】如图，设大树高为AB＝10米， 小树高为CD＝4米， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）， 在Rt△AEC中，AC＝＝10（米）， 故答案为：10． 5.如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米，BC为1米．则滑道BD的长度为　  　． 【答案】5米 【解析】设BD的长为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米， 由题意得∠BAD＝90°，AB＝CE＝3米， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＝32+（x﹣1）2， 解得x＝5，即滑道BD的长为5米． 6.如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路CA，CB相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示． （1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？ （2）现计划把河水从河道AB段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离． 【答案】解：（1）∵BC2+AC2＝62+82＝102＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴B地在C地的正北方向． （2）作CD⊥AB于D， 则CD的长是C，D两地的最短距离， ∵△ABC是直角三角形， ∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴C，D两点间的最短距离＝＝＝4.8（km）， 答：C，D两点间的最短距离是4.8 km． 7.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 学科网（北京）股份有限公司 $$