17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 一、勾股定理的的逆定理 1.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A.1，1，2 B.1，，2 C.4，5，6 D.2，， 2.下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8：16：17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形 3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A.∠A+∠B＝∠C B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C.a2＝c2﹣b2 D.a2∶b2∶c2＝5∶12∶17 4.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） ​​ 5.如图，在△ABC中，BC＝8，∠A＝45°．点D是AC边上一点，连接BD，若CD＝6，BD＝10，则线段AD＝　    　． ​ 6.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形． （2）求CE的长． 7.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 二、勾股数 1.在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（　　） A.3，4，6 B.7，24，25 C.6，8，10 D.9，12，15 2.下列数组中，不是勾股数的是（　　） A.3，4，5 B.9，12，15 C.7，24，25 D.1.2，2，2.5 3.下列各组数中，属于勾股数的一组是（　　） A.3，4， B.9，40，41 C.0.9，1.2，1.5 D.，， 4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝　   　． 5.观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 6.我们知道，3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 7.若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”． 观察下列两类“勾股数”： 第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；… 第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；… （1）请再写出两组勾股数，每类各写一组； （2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”． 三、勾股定理的应用 1.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A. B.8 C. D. 2.小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（　　） A.880米 B.1100米 C.1540米 D.1760米 3.如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　） ​ A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70° 4.如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽，则木柱长为 　   　尺． 5.如图，货车卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A，B，C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝1.6 m，BC＝1.2 m，则车高AC＝　  　m． 6.一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处.木杆折断之前有多高？ 7.在一棵树的5米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树15米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？ 四、逆命题与真假命题 1.下列命题中，是假命题的是（　　） A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.对顶角相等 C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 2.下列命题中，其逆命题是真命题的个数是（　　） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长为a，b，c（c为最长边）且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是对顶角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等. A.1 B.2 C.3 D.4 3.下面四组a，b的值，能说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的是 （　　） A.a＝2，b＝1 B.a＝﹣2，b＝1 C.a＝2，b＝﹣1 D.a＝3，b＝﹣2 4.“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 　      　． 5.判断一个命题是假命题，只用举出一个反例．请举例说明命题“如果a2＝b2，那么a＝b．”是假命题：a＝　  　，b＝　     　． 6.写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例． 7.写出下列命题的逆命题，并判断其真假． （1）等边三角形有一个角等于60°； （2）等腰三角形两腰上的高相等． 人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固（参考答案） 一、勾股定理的的逆定理 1.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A.1，1，2 B.1，，2 C.4，5，6 D.2，， 【答案】B 【解析】A，1+1＝2，不能构成三角形，则此项不符合题意； B，，能构成直角三角形，则此项符合题意； C，42+52＝41≠62，不能构成直角三角形，则此项不符合题意； D，，不能构成直角三角形，则此项不符合题意． 故选：B． 2.下列结论正确的是（　　） A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B.△ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90° C.若三角形的三边长之比为8：16：17，则该三角形是直角三角形 D.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故A说法错误，不符合题意； △ABC的三边长满足BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，故B说法错误，不符合题意； 若三角形的三边长之比为8：16：17，其三边不符合勾股定理的逆定理，则该三角形不是直角三角形，故C说法错误，不符合题意； 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则∠C＝180°×＝90°，则△ABC是直角三角形，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 3.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A.∠A+∠B＝∠C B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C.a2＝c2﹣b2 D.a2∶b2∶c2＝5∶12∶17 【答案】B 【解析】A，∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意； B，∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5， ∴设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， ∴3x+4x+5x＝180， 解得x＝15， ∴∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； C，∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意； D，∵a2∶b2∶c2＝5∶12∶17 ∴a∶b∶c＝∶∶， ∴设a＝x，b＝x，c＝x， ∵（x）2+（x）2＝（x）2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 4.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） ​​ 【答案】①④ 【解析】①∵AB2＝22+42＝20， ∴AB＝25，故正确； ②∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，故错误； ③S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，故错误； ④设点A到直线BC的距离为h， ∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5， 则×5×h＝5， 解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，故正确； 故答案为：①④． 5.如图，在△ABC中，BC＝8，∠A＝45°．点D是AC边上一点，连接BD，若CD＝6，BD＝10，则线段AD＝　    　． ​ 【答案】2 【解析】依题意可知CD2+BC2＝36+64＝100，BD2＝100， ∵CD2+BC2＝BD2， ∴∠C＝90°， ∵∠A＝45°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝BC＝8， ∴AD＝AC﹣CD＝2． 故答案为：2． 6.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形． （2）求CE的长． 【答案】（1）证明 ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． （2）解 设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝8﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2， 解得x=，所以CE的长为． 7.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 【答案】解：（1）由勾股定理可得AB2=52+12=26，则AB=， ∵BC2=42+22=20， ∴BC=2， ∵CD2=22+12=5， ∴CD=， ∵AD2=12+42=17， ∴AD=， 故四边形ABCD的周长为++2++=++3+． 四边形ABCD的面积为5×5-×（1×5+4×2+2×1+4×1）-1×1=25-10.5=14.5． （2）∠BCD是直角，理由如下： 由（1）得BC2=20，CD2=5，连接BD（图略），则BD2=32+42=25， ∴DC2+BC2=BD2， ∴∠BCD=90°． 二、勾股数 1.在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（　　） A.3，4，6 B.7，24，25 C.6，8，10 D.9，12，15 【答案】A 【解析】A，32+42≠62，故A符合题意； B，72+242＝252，故B不符合题意； C，62+82＝102，故C不符合题意； D，92+122＝152，故D不符合题意． 故选：A． 2.下列数组中，不是勾股数的是（　　） A.3，4，5 B.9，12，15 C.7，24，25 D.1.2，2，2.5 【答案】D 【解析】52＝32+42，152＝92+122，252＝72+242， ∴A，B，C均为勾股数，不符合题意； D选项中各数不全是整数，故不是勾股数，符合题意． 故选：D． 3.下列各组数中，属于勾股数的一组是（　　） A.3，4， B.9，40，41 C.0.9，1.2，1.5 D.，， 【答案】B 【解析】直角三角形三边a.b.c满足a2+b2＝c2的关系其中c最大． 选项A有根号，不是勾股数，故选项A错误，不符合题意； 选项B中92+402＝412，且9，40，41均为正整数，故选项B正确，符合题意； 选项C中0.92+1.22＝1.52，符合勾股定理，但不是正整数，故选项C错误，不符合题意； 选项D中，不符合勾股数，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 4.若a，12，13是一组勾股数，则a＝　   　． 【答案】5 【解析】∵52+122＝132， ∴a＝5， 故答案为：5． 5.观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑨组勾股数：　   　． ①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41． 【答案】19，180，181 【解析】∵①3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1， ②5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1， ③7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1，…， ∴第n组勾股数为： a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， ∴第⑨组勾股数为a＝2×9+1＝19，b＝2×9×（9+1）＝180，c＝2×9×（9+1）+1＝181，即19，180，181． 故答案为：19，180，181． 6.我们知道，3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 【答案】解：∵k是正整数， ∴3k，4k，5k都是正整数， ∵（3k）2+（4k）2=（5k）2， ∴3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数； 因为a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， 所以ak，bk，ck是三个正整数， 且a2+b2=c2， 因为（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2， 所以ak，bk，ck是一组勾股数． 7.若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”． 观察下列两类“勾股数”： 第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；… 第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；… （1）请再写出两组勾股数，每类各写一组； （2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”． 【答案】解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）； 第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）． （2）当a为奇数时，b=，c=； 当a为偶数时，b=，c=； 证明：当a为奇数时，a2+b2＝a2+()2 =a2+===()2=c2， ∴（a，b，c）是“勾股数”． 当a为偶数时，a2+b2＝a2+()2=()2=c2， ∴（a，b，c）是“勾股数”． 三、勾股定理的应用 1.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A. B.8 C. D. 【答案】D 【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x， 则x2＝62+22＝40， 所以x＝2， 所以风车的外围周长为4（BD+AC）＝4×（2+3）＝8+12． 故选：D． 2.小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（　　） A.880米 B.1100米 C.1540米 D.1760米 【答案】B 【解析】∵小明家到书店所用的时间为＝10（分钟）， 又∵小明的速度为＝110（米/分钟）， 故小明家距离书店的距离为110×10＝1100（米）． 故选：B． 3.如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　） ​ A.北偏东40° B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70° 【答案】B 【解析】∵OA＝6，OB＝8，AB＝10， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠AOB＝90°， 由题意得：90°﹣40°＝50°， ∴点B在点O的北偏东50°方向， 故选：B． 4.如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽，则木柱长为 　   　尺． 【答案】 【解析】设木柱长为x尺，根据题意得： AB2+BC2＝AC2， 则x2+82＝（x+3）2， 解得：x＝． 答：木柱长为尺． 故答案为：． 5.如图，货车卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A，B，C在一条直线上，AC⊥A1C，经过测量A1C＝1.6 m，BC＝1.2 m，则车高AC＝　  　m． 【答案】3.2 【解析】∵AC⊥A1C，∴∠A1CB＝90°， 在Rt△A1CB中， ∵A1C＝1.6 m，BC＝1.2 m， ∴ A1B＝＝2（m）， ∵挡板AB折落在地面A1处， ∴AB＝A1B＝2 m， ∵点A，B，C在一条直线上， ∴AC＝AB+BC＝2+1.2＝3.2（m）． 6.一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处.木杆折断之前有多高？ 【答案】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， ∴折断的部分长为 =5， ∴折断前高度为5+3=8（米）． 7.在一棵树的5米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树15米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？ 【答案】解：由题意知BC+AC＝20（米）． 设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为20米． 由勾股定理得x2+152＝[20﹣（x﹣5）]2， 解得x＝8． ∴这棵树高8米． 四、逆命题与真假命题 1.下列命题中，是假命题的是（　　） A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.对顶角相等 C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 【答案】C 【解析】A，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意； B，对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； C，两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，符合题意； D，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，正确，是真命题，不符合题意． 故选：C． 2.下列命题中，其逆命题是真命题的个数是（　　） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长为a，b，c（c为最长边）且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是对顶角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】①逆命题为两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②逆命题为如果一个三边长为a，b，c（c为最长边）的三角形是直角三角形，那么a2+b2＝c2，是真命题； ③逆命题为如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题； ④逆命题为如果两个实数平方相等，那么它们相等，是假命题. 故选：B． 3.下面四组a，b的值，能说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题的是 （　　） A.a＝2，b＝1 B.a＝﹣2，b＝1 C.a＝2，b＝﹣1 D.a＝3，b＝﹣2 【答案】B 【解析】A，a＝2，b＝1，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例； B，a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2，但不满足a＞b，故能作为证明原命题是假命题的反例； C，a＝2，b＝﹣1，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例； D，a＝3，b＝﹣2，满足a2＞b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例． 故选：B． 4.“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 　      　． 【答案】两直线平行，同旁内角互补 【解析】“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行．将条件和结论互换得逆命题为两条直线平行，同旁内角互补． 5.判断一个命题是假命题，只用举出一个反例．请举例说明命题“如果a2＝b2，那么a＝b．”是假命题：a＝　  　，b＝　     　． 【答案】2 ﹣2（答案不唯一） 【解析】当a＝2，b＝﹣2时，a2＝b2，而a≠b， 说明命题“如果a2＝b2，那么a＝b．”是假命题． 6.写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例． 【答案】解：命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直． 原命题是假命题． 反例：如图1，∠CAB 的两边与∠CDB的两边分别垂直，但∠CAB+∠CDB＝180°，∠CAB与∠CDB不一定相等； 逆命题是假命题．反例：如图2，∠AOC＝∠BOD，但AB与CD不一定垂直． 7.写出下列命题的逆命题，并判断其真假． （1）等边三角形有一个角等于60°； （2）等腰三角形两腰上的高相等． 【答案】解：（1）逆命题是有一个角等于 60°的三角形是等边三角形．它是假命题． （2）逆命题是有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形．它是真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$