17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 2024--2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 一、勾股定理的的逆定理 1.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 2.已知线段a，b，c首尾相连后能构成直角三角形，若a＝1 cm，b＝ cm，则c的长为（　　） A. cm或2 cm B.1 cm或 cm C.cm D.cm 3.已知△ABC的三条边分别为a，b，c，三个角分别为∠A，∠B，∠C，则下列选项中不能判定它是直角三角形的为（　　） A.b2＝a2﹣c2 B.∠C＝∠A﹣∠B C.∠A：∠B：∠C＝3∶4∶5 D.a∶b∶c＝12∶13∶5 4.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝　　          ． 5.在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 　           　． 6.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 7.如图所示，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）直接写出AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　  　，并求出△ABC的周长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 二、勾股数 1.下列各组数为勾股数的是（　　） A.0.3，0.4，0.5 B.3，4，7 C.8，15，17 D.6，8，10 2.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　） A.4m2﹣1 B.4m2+1 C.m2﹣1 D.m2+1 3.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，2， B.，， C.1，1，2 D.9，12，15 4.观察下列勾股数 第一组：3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1； 第二组：5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1； 第三组：7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1； 第四组：9＝2×4+1，40＝2×4×（4+1），41＝2×4×（4+1）+1； …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　    　（只填数，不填等式） 5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　   　． 6.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数． 7.已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b，c为勾股数． 三、勾股定理的应用 1.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（　　）． A.6米 B.7米 C.8米 D.9米 2.如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向左移（　　） A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 3.如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以9节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（　　） A.9海里 B.12海里 C.15海里 D.30海里 4.某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 5.如图，14 m高的教学楼前有一棵6m高的大树，它们相距6 m，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行　   　m． 6.已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高l的长（结果取整数）. 7.中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/小时．现有一辆小汽车在我市一条街道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了6秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A之间距离为130米． （1）求B，C之间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 四、逆命题与真假命题 1.下列命题中正确的是（　　） A.互补的两个角是邻补角 B.如果两条直线与第三条直线相交，则同位角相等 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 D.在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c 2.下面命题：（1）同位角相等；（2）若x2＝y2，则x＝y．下列选项正确的是（　　） A.（1）（2）都是真命题 B.（1）（2）都是假命题 C.只有（1）是真命题 D.只有（2）是真命题 3.下列选项中，能说明命题“若a≤2，则a2≤4”是假命题的反例是（　　） A.a＝2 B.a＝1 C.a＝0 D.a＝﹣3 4.“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 　      　． 5.已知命题：等边三角形的各个内角都等于60°．这个命题的逆命题是 　                 　． 6.找出下列命题中互逆的命题（用序号表示）： （1）直角都相等； （2）同位角相等，两直线平行； （3）如果﹣a＞﹣b，那么a＜b； （4）两直线平行，同位角相等； （5）相等的角都是直角； （6）如果﹣b＞﹣a，那么a＞b． 7.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固（参考答案） 一、勾股定理的的逆定理 1.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m， ∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2， ∴以3m.4m.5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 2.已知线段a，b，c首尾相连后能构成直角三角形，若a＝1 cm，b＝ cm，则c的长为（　　） A. cm或2 cm B.1 cm或 cm C.cm D.cm 【答案】A 【解析】根据题意可得c＝＝＝2（cm） 或c＝＝＝（cm） ． 故选：A． 3.已知△ABC的三条边分别为a，b，c，三个角分别为∠A，∠B，∠C，则下列选项中不能判定它是直角三角形的为（　　） A.b2＝a2﹣c2 B.∠C＝∠A﹣∠B C.∠A：∠B：∠C＝3∶4∶5 D.a∶b∶c＝12∶13∶5 【答案】C 【解析】A，∵a2﹣c2＝b2，∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形，故本选项错误； B，∵∠C＝∠A﹣∠B， ∴∠B+∠C＝∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项错误； C，∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确； D，∵52+122＝132， ∴△ABC是直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 4.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝　　          ． 【答案】 【解析】∵BC＝2，DB＝1，CD＝， ∴DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2， ∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°， ∴∠CDA＝90°， ∵AB＝4，BD＝1， ∴AD＝3， ∴AC＝＝＝． 5.在△ABC中，AB＝5，BC＝a，AC＝b，如果a，b满足（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0，那么△ABC的形状是 　           　． 【答案】直角三角形 【解析】∵（a+5）（a﹣5）﹣b2＝0， ∴a2﹣52﹣b2＝0， 即a2＝52+b2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形．  6.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的面积与周长； （2）∠BCD是直角吗？ 【答案】解：（1）由勾股定理可得AB2=52+12=26，则AB=， ∵BC2=42+22=20， ∴BC=2， ∵CD2=22+12=5， ∴CD=， ∵AD2=12+42=17， ∴AD=， 故四边形ABCD的周长为++2++=++3+． 四边形ABCD的面积为5×5-×（1×5+4×2+2×1+4×1）-1×1=25-10.5=14.5． （2）∠BCD是直角，理由如下： 由（1）得BC2=20，CD2=5，连接BD（图略），则BD2=32+42=25， ∴DC2+BC2=BD2， ∴∠BCD=90°． 7.如图所示，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上． （1）直接写出AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　  　，并求出△ABC的周长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）由勾股定理得AB＝＝5，BC＝＝10，AC＝＝5， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+10+5＝15+5． （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB＝5，BC＝10，AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． 二、勾股数 1.下列各组数为勾股数的是（　　） A.0.3，0.4，0.5 B.3，4，7 C.8，15，17 D.6，8，10 【答案】C 【解析】A.0.3，0.4，0.5都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B.32+42≠72，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意； C.82+152＝172，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意； D.6，8，10都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　） A.4m2﹣1 B.4m2+1 C.m2﹣1 D.m2+1 【答案】D 【解析】∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1， ∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1， 故选：D． 3.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，2， B.，， C.1，1，2 D.9，12，15 【答案】D 【解析】A.，2，中，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B.，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C.∵12+12≠22，∴不能构成勾股数，不符合题意； D.∵92+122＝152，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 4.观察下列勾股数 第一组：3＝2×1+1，4＝2×1×（1+1），5＝2×1×（1+1）+1； 第二组：5＝2×2+1，12＝2×2×（2+1），13＝2×2×（2+1）+1； 第三组：7＝2×3+1，24＝2×3×（3+1），25＝2×3×（3+1）+1； 第四组：9＝2×4+1，40＝2×4×（4+1），41＝2×4×（4+1）+1； …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　    　（只填数，不填等式） 【答案】15，112，113 【解析】由题意得第7组勾股数是2×7+1＝15，2×7×（7+1）＝112，2×7×（7+1）+1＝113，即15，112，113． 5.观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　   　． 【答案】17 【解析】由题意得a2+1442＝1452， a2＝1452﹣1442， a＝17． 6.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数． 【答案】解：正确．理由： ∵m表示大于1的整数， ∴a，b，c都是正整数，且c是最大边， ∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2， ∴a2+b2＝c2， 即a，b，c为勾股数． 当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5． 7.已知a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，且n为整数（n≥2），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n≥2，且n为整数）， a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1， b2＝4n2， c2＝（n2+1）2， a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝c2， ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n≥2，且n为整数），是勾股数. 三、勾股定理的应用 1.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是（　　）． A.6米 B.7米 C.8米 D.9米 【答案】C 【解析】∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB构成的直角三角形的斜边， 又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米， ∴AB＝＝8（米）． 故选：C． 2.如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向左移（　　） A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 【答案】C 【解析】在直角△ABC中，已知AB＝25米，BC＝7米， 则由勾股定理得AC＝＝24（米）． ∵AC＝AA1+CA1， ∴CA1＝24﹣4＝20（米）． ∵在直角△A1B1C中，A1B1＝AB，且A1B1为斜边， ∴由勾股定理得CB1＝＝15（米）， ∴BB1＝CB1﹣CB＝15﹣7＝8（米）． 故选：C． 3.如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30°方向以9节（1节＝1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（　　） A.9海里 B.12海里 C.15海里 D.30海里 【答案】D 【解析】如图， 由题意得AO＝2×9＝18（海里），BO＝2×12＝24（海里），∠COB＝60°，∠AOC＝30°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°， 在Rt△AOB中，AB＝＝＝30（海里）， ∴此时两舰的距离是30海里． 故选：D． 4.某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　    　元． 【答案】680 【解析】由勾股定理得AB＝＝＝12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 5.如图，14 m高的教学楼前有一棵6m高的大树，它们相距6 m，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行　   　m． 【答案】10． 【解析】如图，设教学楼高为AB＝14 m，大树高为CD＝6 m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是长方形， 连接AC， ∴EB＝6 m，EC＝BD＝6 m，AE＝AB﹣EB＝14﹣6＝8（m）， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝＝10（m）， 故小鸟至少飞行10 m． 6.已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，计算高l的长（结果取整数）. 【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD=l, ∵AB=AC=88，BC=64， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴BD=BC=32． 在Rt△ABD中，AD==≈82，即l=82（mm）． ∴l的长约为82 mm. 7.中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/小时．现有一辆小汽车在我市一条街道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了6秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A之间距离为130米． （1）求B，C之间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】解：（1）由题意知，AB＝130米，AC＝50米， 且在Rt△ABC中，AB是斜边， 根据勾股定理AB2＝BC2+AC2， 可以求得BC＝120米＝0.12千米， （2）因为6秒＝时， 所以速度为＝72千米/时， 故该小汽车超速． 平均速度大于70千米/时． 四、逆命题与真假命题 1.下列命题中正确的是（　　） A.互补的两个角是邻补角 B.如果两条直线与第三条直线相交，则同位角相等 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 D.在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c 【答案】C 【解析】A，互补的两个角不一定是邻补角，故本选项说法错误，不符合题意； B，如果两条平行线与第三条直线相交，则同位角相等，故本选项说法错误，不符合题意； C，在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，说法正确，符合题意； D，在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2.下面命题：（1）同位角相等；（2）若x2＝y2，则x＝y．下列选项正确的是（　　） A.（1）（2）都是真命题 B.（1）（2）都是假命题 C.只有（1）是真命题 D.只有（2）是真命题 【答案】B 【解析】两直线平行，同位角相等，所以（1）为假命题； 若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，所以（2）为假命题． 故选：B． 3.下列选项中，能说明命题“若a≤2，则a2≤4”是假命题的反例是（　　） A.a＝2 B.a＝1 C.a＝0 D.a＝﹣3 【答案】D 【解析】选项A，B，C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合； 选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例． 故选：D． 4.“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 　      　． 【答案】两直线平行，同旁内角互补 【解析】“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行．将条件和结论互换得逆命题为两条直线平行，同旁内角互补． 5.已知命题：等边三角形的各个内角都等于60°．这个命题的逆命题是 　                 　． 【答案】三个角都是60°的三角形是等边三角形 【解析】命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形” ． 6.找出下列命题中互逆的命题（用序号表示）： （1）直角都相等； （2）同位角相等，两直线平行； （3）如果﹣a＞﹣b，那么a＜b； （4）两直线平行，同位角相等； （5）相等的角都是直角； （6）如果﹣b＞﹣a，那么a＞b． 【答案】解：直角都相等的逆命题是相等的角都是直角， ∴（1）和（5）是互逆命题； 同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等； ∴（2）和（4）是互逆命题； ∴互逆的命题有：（1）和（5），（2）和（4）． 7.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】解：（1）此命题的条件为a＝b， 结论为|a|＝|b|． （2）此命题的逆命题为如果|a|＝|b|，那么a＝b． （3）此命题的逆命题是假命题， 当a，b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如a＝2，b＝﹣2时，|2|＝|﹣2|，而2≠﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $$