专题06 因式分解（5类40道）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学下学期

**基本信息** 因式分解专题期末试题汇编，覆盖5大高频考点，精选江西多地期末真题，注重基础辨析与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|32题|判断因式分解定义、参数求解、分解正确性、综合分解（考点01-04）|基础题占比大，聚焦核心概念辨析| |解答题|8题|阅读材料题（分组分解、配方等，考点05）|结合实际情境，考查知识迁移与创新应用|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06因式分解 ☆5大高频考点概览 考点01判断是否是因式分解 考点02利用因式分解求参数 考点03判断因式分解是否正确 考点04提取公因式和公式法综合因式分解 考点05因式分解相关阅读材料题 目目 考点01 判断是否是因式分解 1.(24-25八下·江西景德镇一中期末)下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（) A.6x2y3=2x2.3y B.r+2x41+2 C.x2-9=(x-3)(x+3 D.(x+2)(x-3=x2-x-6 2.(2425八下·江西吉安青原区·期末)下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.m(a+b)=ma+mb B.a2-a-2=aa-1-2 C.-4a2+9b2=-2a+3b)(2a+3b) 3.(2425八下·江西科技学院附属中学期末)下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是() A.2(x-y)=2x-2y B.y2-4y+4=(y-2)2 C.x2-2x-3=x(x-2)-3 D.6m2n2=2m2.3n2 4.(24-25八下江西吉安第八中学期末)下列由左到右的变形，属于因式分解的是() A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.（a+b)2=a2+2ab2+b2 C.a2+2ab=(a+b)2-b2 D.2x2+3x-2=(2x-1(x+2) 5.(2425八下江西吉安峡江县期末)下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是()· A.x(x-1)=x2-x B.x2-4x+4=(x-22 C.x2+3x+3=x(x+3)+3 D.(x+y)(x-y)=x2-y2 6.(2425八下江西上饶鄱阳县四十里街镇第二中学期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 () A.-2x+2y=-（2x-2y) B.x2+2x+1=x(x+2)+1 1/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.x+1(x+3)=x2+4x+3 D.x3-x=x(x+1)(x-1 7.(24-25八下江西鹰潭余江区·期末)下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是() A.x2+5x-1=x(x+5-1 B.16x2y=2x2.8yC.(x+2)x-2=x2-4D. am an =a(m+n) 8.(24-25八下江西上饶万年县期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.2xx+1=2x2+2x B.（x+1)x+1)=x2+2x+1 C.x2-2x+1=(x-1)2 D.x2+2x+4=xx+2)+4 目目 考点02 利用因式分解求参数 9.(24-25八下江西南昌东湖区·期末)若多项式x2+ax-b因式分解的结果是(x-2)(x+5),则a+b= 10.(24-25八下江西南昌立德学校期末)若多项式x2-ax+12可分解为x-3)(x+b),则a+b的值为 11.(24-25八下·江西上饶鄱阳县四十里街镇第二中学期末)己知多项式2x2+bx+c分解因式为 2(x-3)x+1),则b、C的值为() A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2 C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6 12.(24-25八下江西九江田家炳实验中学期末)已知x2-4x+3=(x-1)(x-a),则a的值为() A.1 B.3 C.-3 D.-1 13.(24-25八下·江西赣州蓉江新区赣州第十三中学·期末)若x2-ax-1可以分解为(x-2)(x+b),那么a+b的 值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 14.(24-25八下·江西吉安吉州区期末)若二次三项式分解因式为x2+ax+2=（x-2)(x-1,则a的值为 15.(24-25八下·江西白鹭洲中学教育集团期末)关于x的二次三项式x2+x-6因式分解的结果是 (x+3)(x-2),则m=. 16.(24-25八下·江西赣州蓉江新区·期末)己知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为x+1),则n的 值 2/7 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 目目 考点03 判断因式分解是否正确 17.(24-25八下江西景德镇期末)下列因式分解正确的是() A.ax+ay+a=a(x+y) B.a2-9=(a+3)(a-3 C.a2+2ab-b2=(a-b)2 D.a2+4=(a+2 18.(24-25八下江西九江期末)下列因式分解正确的是() A.ax+ab=a(x+b) B.m4-1=(m+1)2(m-12 C.x2-4x-4=(x-22 D.x2-y2-1=(x+y+1(x-y-1 19.(24-25八下·江西吉安遂川县期末)下列因式分解正确的是（) A.a2-4ab+4b2=(a-2b2 B.x2+4y2=(x+2y)2 C.a2-b2=(a-b2 D.2ab2-4a'b=ab(2b-4a) 20.(2425八下·江西九江永修县第三中学等校期末)下列因式分解正确的是() A.m2+n2=(m+n)(m-n) B.x2+2x-1=(x-1)2 C.a2-a=a(a-1) D.a2+2a+1=a(a+2)+1 21.(2425八下·江西景德镇乐平期末)下列各式中，从左到右因式分解正确的是() A.ax+ay+a=a(x+y) B.x2-4x+3=(x+2)x-2)+3 C.(a-b)2=a2-b2 D.y2+4y+4=(y+2) 22.(24-25八下·江西丰城第一中学期末)下列各式分解因式正确的是() A.x2-4=(x+4)(x-4) B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.3mx-6my =3m(x-6y) D.ax+a=a(x+1) 23.(2425八下·江西赣州崇义县期末)下列因式分解正确的是() A.x2-x=x(x+1) B.a2-3a-4=(a+4)(a-1 C.a2-2ab+b2=(a+b)2 D.x2-y2=(x+y)(x-y) 24.(24-25八下·江西南昌民德学校期末)下列因式分解正确的是() A.2a2+4a=a2a+4 B.a2-b2=(a+b)(a-b）C.-a2+2ab-b2=(a-b)2 3/7 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D. ax2-a=a(x2-1) 目目 考点04 提取公因式和公式法综合因式分解 25.(2425八下江西吉安吉州区·期末)因式分解：ma2-mx2= 26.(2425八下·江西吉安峡江县期末)把多项式2y2-72分解因式的结果是 27.(24-25八下·江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)因式分解：ma2-6ma+9m=· 28.(24-25八下.江西吉安吉安县期末)因式分解：2-2x2= 29.(24-25八下江西上饶信州区期末)因式分解：2m2-2=, 30.(24-25八下·江西南昌立德学校期末)因式分解：x2y-36y= 31.(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·期末)因式分解：3a-3ax2= 32.(24-25八下.江西宜春.期末)分解因式2x2-4x+2= 目目 考点05 因式分解相关阅读材料题 33.(24-25八下·江西赣州赣县区期末)【阅读理解】 例题：若m2+2mn+2n2-4n+4=0,求m和n的值； 解：由题意得：（m2+2mn+n2)+(n2-4n+4)=0, ∴(m+n2+(n-22=0, m+n=0 m=-2 (n-2=0’解得 n=2 【问题解决】 (1)若x2+4xy+5y2-4y+4=0,求x+y的值： (2)若a,b,c是ABC的边长，满足a2+b2=12a+8b-52,c是ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是 哪几个数？ 34.(24-25八下·江西上饶铅山县期末)请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把am+an+bm+bn分解因式，它的各项没有公因式.不能提取公因式.这是四项式.也不能直接用公式 法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式.即 am+an+bm +bn (am+an+(bm+bn=a(m+n)+b(m+n=(m+n(a+b. 这种因式分解的方法叫做分组分解法.利用分组分解法可以把多项式分解因式.又如： 4/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2-y2+2x-2y=(x+y)(x-y+2(x-y)=x-y)(x+y+2) a2-6ab+9b2-c2=(a-3b)-c2=(a-3b+c(a-3b-c. (1)分解因式：x2-2xy+y2-4: (2)分解因式：x2-4y2+2x+4y; (3)已知a2+b2-10a+4b+29=0,求a+b的值. 35.(24-25八下·江西金溪县第二中学期末)先阅读下面的内容，然后再解答问题. 例：已知m2+2mn+2n2-2n+1=0.求m和n的值. 解：：m2+2mn+2n2-2n+1=0, .m2+2mn+n2+n2-2n+1=0. .(m+n)2+(n-12=0. m+n=0 n-1=0‘ m=-1 解这个方程组，得： n=1 解答下面的问题： ()如果x2+y2-8x+10y+41=0成立.求(x+y)2016的值； (2)已知a,b,c为ABC的三边长，若a2+b2+c2=ab+bc+ca,试判断ABC的形状，并证明. 36.(24-25八下·江西南昌一中等部分联考期末)学习了公式法a2±2ab+b2=(a±b)后，老师向同学们提出 了如下问题： ①将多项式x2+4x+3因式分解： x2+4x+3=x2+4x+4-1=(x+22-1=(x+2+10(x+2-1)=(x+3)(x+1. ②求多项式x2+4x+3的最小值. 由①，得x2+4x+3=(x+2-1,因为(x+2)≥0，所以(x+2)2-1≥-1.所以当x=-2时，x2+4x+3的 值最小，且最小值为-1. 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式x2+4x-21因式分解： (2)求多项式m2+8m-15的最小值. 5/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(24-25八下·江西鹰潭余江区·期末)阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式 变形为a(x+m+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的 配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值， 最小值等， 例如：f4-5=44-份-5+2-9*2++2-到-+x-, 例如：求代数式x2+4x+6的最小值， 原式=x2+4x+4+2=(x+22+2. (x+2)2≥0， ·当x=-2时，x2+4x+6有最小值是2 根据以上材料，解答下列问题 (1)分解因式（利用配方法）：x2+2x-8; (2)求多项式4x2+4x-3的最小值； (3)已知a,b,c是ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求ABC的周长. 38.(24-25八下·江西景德镇期末)先阅读材料，再回答问题： 分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1. 解：将“a-b”看成整体，令a-b=M,则原式=M2-2M+1=(M-12,再将a-b=M还原，得到：原式 =(a-b-12. 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想.请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：9+6(x+y+(x+y)2= (2)因式分解：x2-2xy+y2-z2; (3)若n为正整数，则(n+2)(n+3)(n2+5n+9的值为某一个正整数的平方.请说明理由. 39.(24-25八下·江西宜春第三中学期末)第一步：阅读材料，掌握知识. 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a,再把它的后两项 分成一组，提出公因式b,从而得：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n),这时，由于am+n+b(m+n】 中又有公因式(m+n),于是可提出(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有： 6/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 am+an+bn+bn=am+an+(bm+bn=am+n+bm+n=m+n)a+b).这种方法称为分组分解法. 第二步：理解知识，尝试填空 (1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)= 第三步：应用知识，解决问题 (2)因式分解：x2y-9y-2x2+18. 第四步：提炼思想，拓展应用. (3)已知三角形的三边长分别是a、b、c,且满足a2+2b2+c2=2b(a+c,试判断这个三角形的形状，并 说明理由， 40.(24-25八下·江西赣州石城县·期末)阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2这样的式子叫做 完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完 全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的 数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数 式的最大值、最小值等 例如：分解因式x2+2x-3. 原式=x2+2x+1-1-3=(x+1)2-4=x+1+2)(x+1-2)=（x+3)(x-1). 由上式可知：x2+2x-3=(x+1)2-4,因为不论x取何值，(x+1)2≥0，所以当x+1=0,即x=-1时，x2+2x-3的 最小值是-4. 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题. (1)利用配方法分解因式：x2-6x-27; (2)根据上面解题思路可知多项式x2-6x-27有最小值，即当x=-时，最小值是_， (3)已知a、b、c分别是ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a(b+c=0,请判断ABC的形状，并说明理由. 7/7 专题06 因式分解 5大高频考点概览 考点01判断是否是因式分解 考点02利用因式分解求参数 考点03判断因式分解是否正确 考点04 提取公因式和公式法综合因式分解 考点05 因式分解相关阅读材料题 ( 地 城 考点01 判断是否是因式分解 )1．(24-25八下·江西景德镇一中·期末)下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 2．(24-25八下·江西吉安青原区·期末)下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省吉安市青原区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，掌握将一个多项式转化为几个整式的积的形式叫作因式分解成为解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，左边是单项式乘以多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，右边是单项式与数的差，不是整式的积，不符合因式分解，不符合题意． C．，左边为多项式，右边是两个二项式的积，且通过平方差公式验证成立，属于因式分解，符合题意． D．，右边含有分式，不符合整式乘积的要求，不是因式分解，不符合题意． 故选：C． 3．(24-25八下·江西科技学院附属中学·期末)下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、是整式的乘法运算，不属于因式分解； 、是因式分解； 、是整式恒等变形，不属于因式分解； 、是单项式的恒等变形，不属于因式分解； 故选：． 4．(24-25八下·江西吉安第八中学·期末)下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A是整式乘法，不符合因式分解； 选项B是整式乘法，且右边表达式有误（应为），但仍不是因式分解； 选项C右边不是乘积形式； 选项D左边是多项式，右边是整式乘积，符合因式分解定义， 故选：D． 5．(24-25八下·江西吉安峡江县·期末)下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B．左边是多项式，右边是整式的平方（即积的形式），属于因式分解； C．右边不是积的形式，而是和的形式，不是因式分解； D．左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解． 故选：B． 6．(24-25八下·江西上饶鄱阳县四十里街镇第二中学·期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，分解不彻底； 选项B：，不是积的形式，不是因式分解； 选项C：，是整式乘法，不是因式分解； 选项D：，右边是整式的积，且等式成立，是因式分解； 故选：D． 7．(24-25八下·江西鹰潭余江区·期末)下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 8．(24-25八下·江西上饶万年县·期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B. 是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C. 把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； D. 等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． ( 地 城 考点0 2 利用因式分解求参数 )9．(24-25八下·江西南昌东湖区·期末)若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 10．(24-25八下·江西南昌立德学校·期末)若多项式可分解为，则的值为_______________． 【答案】3 【详解】解：由得，与多项式比较系数，得： ， 解得：， ∴； 故答案为3． 11．(24-25八下·江西上饶鄱阳县四十里街镇第二中学·期末)已知多项式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 12．(24-25八下·江西九江田家炳实验中学·期末)已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 13．(24-25八下·江西赣州蓉江新区赣州第十三中学·期末)若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 14．(24-25八下·江西吉安吉州区·期末)若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 15．(24-25八下·江西白鹭洲中学教育集团·期末)关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 16．(24-25八下·江西赣州蓉江新区·期末)已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 【答案】6 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． ( 地 城 考点0 3 判断因式分解是否正确 )17．(24-25八下·江西景德镇·期末)下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省景德镇市2024—2025学年下学期6月八年级数学期末考试试卷 【分析】解：A、：提取公因式后，原式应为，选项漏掉常数项，分解错误； B、：利用平方差公式，，分解正确； C、：完全平方公式展开为，与原式符号不符，分解错误； D、：展开得，与原式不符，分解错误， 故选：B． 18．(24-25八下·江西九江·期末)下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原分解错误，不符合题意； C、，原分解错误，不符合题意； D、，原分解错误，不符合题意； 故选A． 19．(24-25八下·江西吉安遂川县·期末)下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A． ，故本选项正确，符合题意；     B． 不能因式分解，故本选项错误，不符合题意； C． ，故本选项错误，不符合题意；     D． ，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 20．(24-25八下·江西九江永修县第三中学等校·期末)下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．，不是因式分解； B．，不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，不是因式分解． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 21．(24-25八下·江西景德镇乐平·期末)下列各式中，从左到右因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故原式分解因式错误，不合题意； B、故原式分解因式错误，不合题意； C、，不是因式分解，不合题意； D．，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 22．(24-25八下·江西丰城第一中学·期末)下列各式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A．，故错误． B．的右边不是乘积的形式，不是因式分解，故错误． C．，故错误． D．，正确． 故选D． 23．(24-25八下·江西赣州崇义县·期末)下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确； 故选：D 24．(24-25八下·江西南昌民德学校·期末)下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，而选项A中的还能提取公因式，未分解彻底，故A错误； ，选项B分解正确且彻底，故B正确； ，选项C中符号错误，故C错误； ，因式还可以继续分解为，选项D中未分解彻底，故D错误． 故选：B． ( 地 城 考点0 4 提取公因式和公式法综合因式分解 ) 25．(24-25八下·江西吉安吉州区·期末)因式分解：__________． 【答案】 【来源】江西省吉安市吉州区2024-2025学年下学期期末八年级数学试题 【详解】解：， 故答案为：． 26．(24-25八下·江西吉安峡江县·期末)把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【来源】江西省吉安市峡江县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【详解】解： ， 故答案为：． 27．(24-25八下·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)因式分解： ______． 【答案】 【详解】原式 ， 故答案为：． 28．(24-25八下·江西吉安吉安县·期末)因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 29．(24-25八下·江西上饶信州区·期末)因式分解：_____． 【答案】 2 【详解】解：原式. 30．(24-25八下·江西南昌立德学校·期末)因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：原式 故答案为：． 31．(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·期末)因式分解：______． 【答案】 【详解】解：； 故答案为． 32．(24-25八下·江西宜春·期末)分解因式____________ ． 【答案】 【详解】解：, ， ， 故答案为：． ( 地 城 考点0 5 因式分解相关阅读材料题 )33．(24-25八下·江西赣州赣县区·期末)【阅读理解】 例题：若，求和的值； 解：由题意得：， ， ，解得 【问题解决】 (1)若，求的值； (2)若是的边长，满足是的最长边，且为偶数，则可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， ． ． ． ，， ． （2）解：， ， ， ∴，， 解得：， ， 即， 又为最长边， ． 为偶数， 或． 34．(24-25八下·江西上饶铅山县·期末)请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 35．(24-25八下·江西金溪县第二中学·期末)先阅读下面的内容，然后再解答问题． 例：已知．求和的值． 解：∵， ∴． ∴． ∴． 解这个方程组，得：． 解答下面的问题： (1)如果成立．求的值； (2)已知为的三边长，若，试判断的形状，并证明． 【答案】(1)1 (2)等边三角形，证明见解析 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 36．(24-25八下·江西南昌一中等部分联考·期末)学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，多项式取得最小值为． 37．(24-25八下·江西鹰潭余江区·期末)阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，是的三边长， ∴的周长为． 38．(24-25八下·江西景德镇·期末)先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 39．(24-25八下·江西宜春第三中学·期末)第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有：．这种方法称为分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________ 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）（3）等边三角形，见解析 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）原式 （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴且 ∴且 ∴ ∴这个三角形是等边三角形． 40．(24-25八下·江西赣州石城县·期末)阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形，证明见解析． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $