11 初中数学学业水平考试模拟卷-【全程突破】2025-2026学年九年级数学全一册同步训练（人教版2012）
2025-11-05
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教辅
内容正文：
九年级数学全一册（R）课件
初中数学学业水平考试模拟卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.根据《九章算术》记载，中国人最早使用负数，下列负数中最大的是( )
A.－ B.－1
C.－2 D.－π
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2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题.以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
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A B C D
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3.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. B.
C. D.
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B
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4.关于x的一元二次方程x2－x＋－1＝0有实数根，则m的取值范围
是( )
A.m＞5 B.m＜5
C.m≥5 D.m≤5
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5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是( )
A.100°
B.110°
C.115°
D.120°
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第5题图
A
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6.在高中的有机化学中，存在一种CnHy的有机物，其中y和n满足某种函数关系，如CH4，CH3CH2CH3，CH3CH2CH2CH3，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知y与n满足函数关系式( )
A.y＝2n B.y＝2n＋2
C.y＝2n2 D.y＝3n
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7.设(2a＋3b)2＝(2a－3b)2＋A，则A＝( )
A.6ab B.12ab
C.18b2 D.24ab
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8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
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C
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9.一把直尺和一个含45°角的三角尺按如图所示方式叠合在一起，若∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
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第9题图
B
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10.如图，在平面直角坐标系中，有两条顶点(点P和点Q)都在x轴上的抛物线，这两条抛物线与在x轴上方且与x轴平行的直线交于A，B，C，D四点，AB＝11，BC＝6，CD＝7，则PQ的长度为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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第10题图
D
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解析：如图，过点P作PE⊥AD于点E，过Q作QF⊥AD于点F，
易证得四边形PQFE是矩形，
∴PQ＝EF.
∵AB＝11，BC＝6，CD＝7，
∴AC＝17，BD＝13.
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∵点P，Q分别为两条抛物线的顶点，
∴根据抛物线的对称性可知AE＝CE＝AC＝，BF＝DF＝BD＝，
∴EF＝AD－AE－DF＝11＋6＋7－－＝9，
∴PQ＝9.
故选：D.
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二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.分解因式：ab2－36a＝ .
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a(b＋6)(b－6)
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12.瓷砖镶嵌是一种充满艺术美的技艺，如图是放置的正方形瓷砖ABCD，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合.若点A的坐标为(－2，－2)，则点C的坐标为 .
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(2，2)
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13.若一组数据5，1，x，6，2的众数是6，则这组数据的中位数是 .
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14.已知扇形的圆心角为100°，所对的弧长为，则此扇形的面积是 .
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15.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，∠BAD＝45°，点E是AD的中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，则图中阴影部分面积为 (结果保留π).
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解析：如图，连接DF，BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵∠BAD＝45°，
∴∠ADC＝135°.
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∵以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，
∴∠FDC＝90°，
∴∠ADF＝∠ADC－∠FDC＝135°－90°＝45°，
∴∠BAD＝∠ADF，
∴AF＝DF，∠DFB＝90°.
又∵DF＝BF，
∴AF＝BF＝DF＝AD×＝3，
∴S△AFD＝S△ABD.
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∵E为AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S阴影＝S△AFD＋S扇形FDB－S△ABE＝S扇形FDB＝＝π.
故答案为π.
∴S△ABE＝S△AFD，
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三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16.计算：－－｜－｜＋.
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解：原式＝3－2－＋1＝2－1.
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17.在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1，2，－1，现将三张卡片放入一个不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字.
(1)第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
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(2)用画树状图或列表的方法求两次抽出的卡片上的数字都为正数的概率.
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的数字都为正数的结果有
4种，
所以两次抽出的卡片上的数字都为正数的概率为.
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18.如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)实践与操作：尺规作图：作边AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，DE即为所求.
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(2)应用与计算：连接AD，若∠ABC＝38°，求∠CAD的度数.
解：如图，连接AD，∵∠C＝90°，∠ABC＝38°，
∴∠CAB＝180°－∠C－∠ABC＝52°.
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠ABC＝38°，
∴∠CAD＝∠CAB－∠DAB＝14°.
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四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19.如图，直线y＝kx＋3与x轴、y轴分别交于点C，B，与反比例函数y＝的图象交于点A，D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接OA，OD，若A(－2，n)，S△OAB∶S△ODE＝1∶2.
(1)求反比例函数的表达式；
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解：∵直线y＝kx＋3与x轴、y轴分别交于点C，B，
∴当x＝0时，y＝3，即B(0，3).
∵A(－2，n)，
∴S△OAB＝×3×2＝3.
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∵S△OAB∶S△ODE＝1∶2，
∴S△ODE＝6，
∵点D在反比例函数y＝的图象上，设D(xD，yD)，
∴S△ODE＝·xD·(－yD)＝－·xDyD，
∵yD＝，
∴S△ODE＝－，
∴－＝6，解得m＝－12，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
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解：∵点A(－2，n)在反比例函数y＝－的图象上，
∴n＝－＝6，即A(－2，6)，
解得k＝－，
∴y＝－x＋3，
当y＝0时，0＝－x＋3，
将点A(－2，6)代入y＝kx＋3，得6＝－2k＋3，
∴x＝2，即点C的坐标为(2，0).
(2)求点C的坐标.
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20.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨.
(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
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解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得解得
答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货吨.
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(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大、小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车运货一次花费130元，每辆小货车运货一次花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
解：设大货车有m辆，则小货车(10－m)辆，
依题意，得解得≤m≤10，
∴m＝8，9，10.
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设总运费为W元，则W＝130m＋100(10－m)＝30m＋1 000，
∵30＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝8时，运费最少.
答：货运公司应安排大货车8辆，小货车2辆最节省费用.
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21.综合与实践
主题：装饰锥形草帽.
素材：母线长为25 cm、高为20 cm的锥形草帽(如图1)和五张颜色不同(红、橙、黄、蓝、紫)且足够大的卡纸.
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步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1∶2∶1∶2∶3的比例剪成半径为25 cm的扇形.
步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽.
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计算与探究：
(1)计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
解：设底面圆的半径为r cm，
∵a＝25 cm，h＝20 cm，
∴r＝＝＝15 cm.
∵＝2πr，
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∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为216°×＝24°.
∴n＝216.
∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1∶2∶1∶2∶3的比例剪成半径为25 cm的扇形，
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(2)如图2，根据(1)的计算过程，直接写出圆锥的高h、母线长a与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系： .
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五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
22.(综合探究)如图，AB为☉O直径，P为AB延长线上一点，过点P作☉O切线，切点为C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC，BC.
(1)如图1，求证：CB平分∠PCD；
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证明：如图1，连接OC，
图1
∵PC是☉O的切线，
∴∠PCO＝90°，即∠PCB＋∠BCO＝90°.
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBO，
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∴∠PCB＋∠CBO＝90°.
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＋∠CBO＝90°，
∴∠PCB＝∠BCD，
∴CB平分∠PCD.
图1
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∵DK＝DB，CD⊥AB，
∴BC＝KC，∠BCD＝∠KCD.
由(1)知∠BCD＝∠PCB，
∴∠PCB＝∠BCD＝∠KCD，
∴∠BCK＝2∠PCB.
(2)如图2，E为AB下方☉O上一点，且∠ACE＝2∠PCB，连接EB.求证：AD＝BD＋EB；
证明：如图2，在线段DA上取点K，
使得DK＝DB，连接CK，
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图2
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∵∠ACE＝2∠PCB，
∴∠BCK＝∠ACE，
∴∠ACK＝∠BCE.
∵＝，
∴∠CAK＝∠CEB.
在△ACK和△ECB中，
图2
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∴△ACK≌△ECB(AAS)，
∴AK＝BE.
∵AD＝AK＋DK，
∴AD＝BE＋BD.
图2
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∵CD⊥AB，
∴∠BCD＋∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCD.
(3)如图3，在(2)问的条件下，在CP上取一点F，连接BF，使AB＝2CF，过点B作BF的垂线交AC于点G，若AG＝28，BF＝13，求CE的长度.
解：如图3，连接OC，过点F作FR⊥BC于点R，
则∠CRF＝90°，
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠CRF，∠BAC＋∠ABC＝90°.
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图3
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由(1)知∠BCD＝∠PCB，
∴∠BAC＝∠FCR，
∴△ABC∽△CFR，
∵AB＝2CF，
∴AC＝2CR，BC＝2FR.
∵BF⊥BG，
∴∠GBF＝90°，
∴＝＝.
图3
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∴∠GBF＝∠GCB＝∠BRF＝90°，
∴∠FBR＝90°－∠CBG，∠BGC＝90°－∠CBG，
∴∠FBR＝∠BGC，
∴△BRF∽△GCB，
∵BC＝2FR，BF＝13，
∴GC＝2BR，BG＝2BF＝26.
设BR＝t，则GC＝2t，
∵AG＝28，
图3
∴＝＝.
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∴AC＝AG＋GC＝28＋2t，
∴CR＝AC＝14＋t，
∴BC＝CR＋BR＝14＋2t.
在Rt△BCG中，BC2＋GC2＝BG2，
∴(14＋2t)2＋(2t)2＝262，
解得t1＝5，t2＝－12(不合题意，舍去)，
∴AC＝28＋2t＝28＋2×5＝38.
由(2)知△ACK≌△ECB，
∴CE＝AC＝38.
图3
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23.在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC.
(1)求抛物线的解析式；
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解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
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(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在.
∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3).
∵B(3，0)，
∴OC＝3＝OB，
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图1
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∴∠OBC＝45°.
设直线BC的解析式为y＝kx＋3(k≠0)，把B(3，0)代入，
得0＝3k＋3，
解得k＝－1，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，
如图1，过点P作PE⊥x轴，交BC于点D，则∠PEB＝90°.
设点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，则点D的坐标为(m，－m＋3)，
∴PD＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－＋.
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图1
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∵PQ⊥BC，
∴∠PQD＝90°＝∠PEB.
∵∠PDQ＝∠BDE，
∴∠DPQ＝∠OBC＝45°，
∴当PD最大时，PQ最大.
∴PQ＝PD·cos 45°＝PD，
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∵PD＝－＋，－1＜0，
∴当m＝时，PD有最大值，为，此时PQ最大，为，
∴点P的坐标为.
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(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
解：点M的横坐标xM的取值范围是≤xM≤0或3≤xM≤.
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解析：设M(t，－t＋3)，则xN＝t，
当点N恰好在抛物线上时，则N(t，－t2＋2t＋3)，
∴MN＝－t＋3＋t2－2t－3＝t2－3t，
当MN＝2时，则t2－3t＝2，
∵线段MN与抛物线有交点，
解得t1＝，t2＝，
∴点M的横坐标xM的取值范围是≤xM≤0或3≤xM≤.
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