6 期末达标测试卷-【全程突破】2025-2026学年九年级数学全一册同步训练（人教版2012）
2025-09-05
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级核心知识，涵盖概率计算、图形变换、二次函数、圆的性质、方程求解及几何证明，从基础概念到综合应用层层递进，帮助学生构建完整知识体系。
其亮点在于融入《数书九章》史料题和销售利润应用题，通过旋转作图、圆的切线证明等题型，培养几何直观、推理能力与应用意识。题型分层设计，教师可高效检测学情，学生能提升综合解题能力。
内容正文：
九年级数学全一册（R）课件
期末达标测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球、3个红球，则任意摸出一球是红球的概率是( )
A. B.
C. D.
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C
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2.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.温州博物馆 B.西藏博物馆 C.广东省博物馆 D.湖北省博物馆
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A
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3.在下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为(－2，－1)的是( )
A.y＝(x－2)2＋1 B.y＝－(x－2)2－1
C.y＝(x＋2)2＋1 D.y＝－(x＋2)2－1
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D
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4.如图，☉O的弦AB＝6，C为AB的中点，且OC＝4，则☉O的半径是( )
A.8
B.6
C.5
D.4
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第4题图
C
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5.下列事件中，属于随机事件的是( )
A.抛一枚硬币，前2次都是反面，第3次是正面
B.掷一枚骰子，朝上那面出现的点数是7点
C.太阳从东方升起
D.用长度分别是3 cm，3 cm，1 cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三
角形
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A
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6.如图，△ABC内接于☉O中，AB＝AC，＝60°，则∠B＝( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
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第6题图
D
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7.一个三角形的底比高长2厘米，且它的面积是12平方厘米，那么它的底
是( )
A.5 cm B.7 cm
C.4 cm D.6 cm
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D
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8.一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为( )
A.4 B.5
C.6 D.8
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C
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9.一个圆锥的底面半径和母线长是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两个根，则此圆锥的侧面积是( )
A.2 B.2π
C.4 D.4π
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B
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10.二次函数y＝ax2＋bx＋1与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
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A
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二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.设m，n分别为一元二次方程x2－3x－2 025＝0的两个实数根，则mn＝ ___________.
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－2 025
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12.点P(－1，3)关于原点对称的点P'的坐标是 .
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(1，－3)
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13.把抛物线y＝－(x－2)2－2先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为 .
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y＝－x2
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14.《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2 000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石.
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15.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A'B'CD'的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为 .
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π－2
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三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16.解下列方程：
(1)x2＋4x＋2＝0； (2)(2x＋1)2＝－3(2x＋1).
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解：x2＋4x＝－2，
x2＋4x＋4＝2，
(x＋2)2＝2，
x＋2＝±，
解得x1＝－2＋，
x2＝－2－；
解： (2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0，
(2x＋1)(2x＋1＋3)＝0，
2x＋1＝0或2x＋1＋3＝0，
解得x1＝－，
x2＝－2.
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17.为了落实“2·15”专项行动，某校决定在每天的大课间活动中，开展篮球、足球、排球、羽毛球四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种球类运动项目.
(1)甲同学从中任意选择一种球类运动项目，则选中“羽毛球”项目的概率为 ；
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(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率.
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解：分别用A，B，C，D表示篮球、足球、排球、羽毛球，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的情况有12种，
∴甲、乙两名学生在一个大课间参加不同球类运动项目的概率是＝.
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18.如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1.
(1)画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的△A'B'C'；
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解：如图，△A'B'C'即为所求；
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(2)请直接写出A'，B'，C'三点的坐标.
解：由直角坐标系中图形的位置可知，A'(4，0)，B'(0，1)，C'(2，2).
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四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19.某商家购进一批产品，成本为10元/件，分为线上和线下两种销售方式.调查发现：售价为12元/件时，线下月销量为1 200件，售价每件每增加1元，线下月销量就减少100件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为500件，且每件产品商家需多付2元快递费.设线下月销量y件，售价为每件x元.
(1)求y关于x的函数关系式；
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解：由题意得y＝1 200－100(x－12)＝－100x＋2 400，
∴y关于x的函数关系式为y＝－100x＋2 400.
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(2)求当x为多少时，线上和线下的月利润共可达到8 000元，且让顾客得到更多优惠.
解：根据题意，得线上和线下的月利润总和为(x－2－10)×500＋(x－10)
(－100x＋2 400)＝－100x2＋3 900x－30 000，
依题意，得－100x2＋3 900x－30 000＝8 000，
解得x1＝19，x2＝20.
∵要让顾客得到更多优惠，∴x＝19，
∴当x为19时，线上和线下的月利润共可达到8 000元，且让顾客得到更多优惠.
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20.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE.
(1)将△ADE旋转，使得D，E，B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE；
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证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB，
即∠EAC＝∠DAB.
在△ABD和△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴DB＝EC.
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解：由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠DBA＝∠ECA.
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
即∠ABC＋(∠BCE＋∠ACE)＝90°，
∴∠ABC＋∠DBA＋∠BCE＝90°，
即∠DBC＋∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°.
(2)在(1)的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长.
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∵BC＝10，BE＝6，
∴EC＝＝＝8.
∵DB＝EC，
∴DE＝DB－BE＝EC－BE＝8－6＝2.
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21.如图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，E，O均在格点上.图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以点O为圆心，OE长为半径的☉O，试只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.
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(1)在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴；
解：如图①所示，取格点M，N，作直线MN，则直线MN即为所求(答案不唯一)；
图①
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(2)在图②中，画出经过点E的☉O的切线.
解：如图②所示，取格点G，H，作直线GH，则直线GH即为所求.
图②
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五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
22.(综合探究)如图，☉O是四边形ABCD的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB，交BA的延长线于点P，AD平分∠PAC.
(1)如图1，若AC为☉O的直径，求证：PD与☉O相切；
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证明：如图1，连接OD.
图1
∵DP⊥AB，
∴∠DPA＝90°，
∴∠PAD＋∠PDA＝90°.
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∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠DAC.
∵OA＝OD，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠PAD，
∴∠ODA＋∠PDA＝90°，即∠ODP＝90°，
∴OD⊥PD.
∵OD为☉O的半径，
∴PD与☉O相切.
图1
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解：∵AC为☉O的直径，
∴∠ABC＝90°.
∵＝，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°.
∵PD⊥AB，PD⊥OD，
∴OD∥AB，
(2)在(1)的条件下，若＝，求∠PDC的度数；
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∴∠AOD＝∠BAC＝45°，
∴∠ACD＝∠AOD＝22.5°.
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACD＝22.5°.
由(1)得∠ODP＝90°，
∴∠PDC＝∠ODP＋∠ODC＝112.5°.
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∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAC＝∠BDC.
∵AD平分∠PAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝∠DAP＝60°，
∴∠DBC＝∠DAH＝60°.
又∵AH＝AD，BC＝CD，
(3)如图2，若BC＝CD，求证：AB＋AD＝AC.
证明：如图2，在AC上截取AH＝AD，连接DH，BD，
图2
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∴△ADH和△BDC是等边三角形.
∴AD＝HD，BD＝CD，∠ADH＝∠BDC＝60°，
∴∠ADB＝∠HDC，
∴△ADB≌△HDC(SAS)，
∴AB＝CH，
∴AB＋AD＝CH＋AH＝AC.
图2
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解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过
A(－1，0)，C(0，3)两点，
23.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(－1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
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∴解得
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
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解：由抛物线的对称性得，
点B关于抛物线对称轴的对称点是点A，
∴BM＝AM，
∴｜MB－MC｜＝｜MA－MC｜，
∴当A，C，M三点共线时，｜MA－MC｜最大，
如图，连接AC，并延长AC交抛物线的对称轴于点M，连接BM，
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得｜MB－MC｜的值最大，求点M的坐标；
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设直线AC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，
把A(－1，0)，C(0，3)代入，
得解得
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
当x＝1时，y＝3＋3＝6，
∴点M的坐标为(1，6).
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(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
解：存在.
根据题意，得点D(1，0)，
∴CD2＝32＋12＝10，
设P(1，t)，则PC2＝12＋(t－3)2，PD2＝t2，
①当PC＝CD时，12＋(t－3)2＝10，
解得t1＝6，t2＝0(此时点P与D重合，舍去)，
∴P(1，6)；
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②当CD＝PD时，10＝t2，解得t＝±，
∴P1(1，)，P2(1，－)；
③当PC＝PD时，12＋(t－3)2＝t2，解得t＝，
∴P.
综上所述，点P的坐标为(1，6)或(1，)或(1，－)或.
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