第3章 一元一次不等式（单元测试·提升卷）数学浙教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 一元一次不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+2 B．﹣2x+5＜﹣2y+5 C． D．2x﹣3＜2y﹣3 2．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1 3．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3 4．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（　　） A． B． C． D． 5．如果关于x的分式方程3有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 6．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a 8．已知a，b为实数，则解集可以为﹣2＜x＜2的不等式组是（　　） A． B． C． D． 9．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 10．关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是　 　 ． 12．若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是　 　 ． 13．如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x的最小是 　 　 ． 14．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金　 　 元． 15．使得不等式组对唯一的整数k成立的最大正整数n为 　 　 ． 16．满足的不同的有序整数组（x，y，z）的个数为　 　 ． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求k的取值范围； （2）化简：|2k﹣1|+|k﹣2|． 18．对于实数x，y定义一种新运算． 规定：Y（x，y）＝ax+by（其中a，b为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：Y（2，3）＝2a+3b，已知Y（1，2）＝4，Y（3，﹣4）＝2． （1）求a，b的值； （2）在（1）的条件下，若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤12，求m的取值范围． 19．某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是采购员记录的前两次采购数量和金额（每次采购这两种实验器材的单价都不变），如下表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）若购买这两种实验器材共40件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过1500元，请问共有几种采购方案？ 20．阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程． 对于含绝对值的不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于含绝对值的不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3． 问题解决： （1）求出含绝对值的不等式|x|＞2的解集． （2）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝﹣m﹣1的解满足|x+y|＜2，其中m是正数，求m的取值范围． 21．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元． （1）求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 22．阅读下面材料： 分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的： 根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ① 或 ② 解不等式组①得x＞3， 解不等式组②得x． 所以原不等式的解集为x＞3或x． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 23．对于实数x、y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a、b均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对． （1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝　 　 ，L（，）＝　 　 ； （2）已知L（x，y）＝3x+2y，若正格线性数L（m，m﹣2），求满足不等式组的所有m的值． 24．试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组的解集为2＜x＜5． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 一元一次不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+2 B．﹣2x+5＜﹣2y+5 C． D．2x﹣3＜2y﹣3 【考点】不等式的性质 【分析】根据x＜y，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵x＜y， ∴x+5＜y+5，但是x+5不一定小于x+2，x+5有可能等于或大于x+2， ∴选项A不符合题意； ∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴﹣2x+5＞﹣2y+5， ∴选项B不符合题意； ∵x＜y， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵x＜y， ∴2x＜2y， ∴2x﹣3＜2y﹣3， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1 【考点】不等式的解集 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【解答】解：由题意，得 a+1＜0， 解得a＜﹣1， 故选：B． 【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3 【考点】不等式的解集 【分析】原不等式组无解，即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集． 【解答】解：∵关于x的不等式组无解， ∴a≤3． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的解集．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 4．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组 【分析】易得学生总人数，不空也不满意思是一个宿舍人数在1人和5人之间，关系式为：总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数≥1；总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数≤5，把相关数值代入即可． 【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住， ∴学生总人数为（4x+19）人， ∵一间宿舍不空也不满， ∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间， ∴列的不等式组为： 故选：D． 【点评】考查列不等式组，理解“不空也不满”的意思是解决本题的突破点，得到相应的关系式是解决本题的关键． 5．如果关于x的分式方程3有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【考点】解一元一次不等式组；解分式方程 【分析】把a看作已知数表示出不等式组的解集，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积． 【解答】解：， 由①得：x≤2a+4， 由②得：x＜﹣2， 由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3， 分式方程去分母得：a﹣3x﹣3＝1﹣x， 把a＝﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6＝1﹣x，即x，符合题意； 把a＝﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5＝1﹣x，即x＝﹣3，不合题意； 把a＝﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4＝1﹣x，即x，符合题意； 把a＝0代入整式方程得：﹣3x﹣3＝1﹣x，即x＝﹣2，不合题意； 把a＝1代入整式方程得：﹣3x﹣2＝1﹣x，即x，符合题意； 把a＝2代入整式方程得：﹣3x﹣1＝1﹣x，即x＝﹣1，不合题意； 把a＝3代入整式方程得：﹣3x＝1﹣x，即x，符合题意； ∴符合条件的整数a取值为﹣3，﹣1，1，3，之积为9， 故选：D． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值． 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B． 【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 7．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：不等式组的解集是2﹣3a＜x＜21， 因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17． 所以可以得到16≤2﹣3a＜17， 解得﹣5＜a． 故选：C． 【点评】正确解出不等式组的解集，正确确定2﹣3a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 8．已知a，b为实数，则解集可以为﹣2＜x＜2的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组 【分析】可根据不等式组解集的求法得到正确选项． 【解答】解：方法一：A、所给不等式组的解集为﹣2＜x＜2，那么a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得x，x，∴原不等式组无解，同理得到把2个数的符号全部改变后也无解，故错误，不符合题意； B、所给不等式组的解集为﹣2＜x＜2，那么a，b同号，设a＞0，则b＞0，解得x，x，解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；故错误，不符合题意； C、理由同上，故错误，不符合题意； D、所给不等式组的解集为﹣2＜x＜2，那么a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得x，x，∴原不等式组有解，可能为﹣2＜x＜2，把2个数的符号全部改变后也如此，故正确，符合题意．故选：D． 方法二：可在解集中取x＝0代入各选项中，可见只有选项D成立．故选：D． 【点评】此题考查学生逆向思维，由解来判断不等式，是一道好题；用到的知识点为：大小小大中间找；大大小小无解． 9．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 【考点】不等式的性质 【分析】由已知条件，根据不等式的性质求得b0和a；然后根据不等式的基本性质求得2 和当a＞0时，0；当a＜0时，；据此作出选择即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣2， ∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a， 又∵a≥2b， ∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a， 移项，得 ﹣3b≥2，3a≥﹣4， 解得，b0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a； 由a≥2b，得 2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）； A、当a＞0时，0，即的最小值不是，故本选项错误； B、当a＜0时，，有最小值是，无最大值；故本选项错误； C、有最大值2；故本选项正确； D、无最小值；故本选项错误． 故选：C． 【点评】主要考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 10．关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】先解不等式组，得出0＜t≤1，再求出a的取值范围，再由式子的值是整数，可求出符合条件的a个数． 【解答】解：解不等式0得x＜t， 解不等式2的x＞﹣2， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴0＜t≤1， ∴0＜21t≤21， ∵21t＝2a+12， ∴0＜2a+12≤21， ∴﹣6＜a≤4.5， ∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴要使的值是整数的a的值为﹣3，3，﹣4，4，共4个， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是　1＜x+y＜5　 ． 【考点】不等式的性质 【分析】利用不等式的性质解答即可． 【解答】解：∵x﹣y＝3， ∴x＝y+3， 又∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞﹣1． 又∵y＜1， ∴﹣1＜y＜1，…① 同理得：2＜x＜4，…② 由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4 ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5； 故答案为：1＜x+y＜5． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围． 12．若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是　k＞3　 ． 【考点】解一元一次不等式；解二元一次方程组 【分析】先解关于x、y的方程组，然后将x、y的值代入4x+7y＞2，最后解关于k的一元一次不等式即可． 【解答】解： 由①×2﹣②×3，并解得 y；③ 由①×3+②×2，得 13x＝3k+1，解得 x；④ 把③④代入4x+7y＞2，得 472， 不等式的两边同时除以2，得 271， 不等式是两边同时乘以13，得 2×（3k+1）+7×（k﹣4）＞13， 去括号，得 13k﹣26＞13， 移项，得 13k＞39， 不等式的两边同时除以13，得 k＞3； 故答案为：k＞3． 或①×2﹣②得到：4x+7y＝2k﹣4， 由题意2k﹣4＞2， ∴k＞3． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的解法．学生往往在解不等式时不注意移项要改变符号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 13．如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x的最小是 　22　 ． 【考点】一元一次不等式组的应用 【分析】分x为奇数和偶数两种情况，分别求解，再比较作出判断即可． 【解答】解：若x为奇数，根据题意，得：x×4+13＞100， 解得：x， 所以此时x的最小整数值为23； 若x为偶数，根据题意，得：x×5＞100， 解得：x＞20， 所以此时x的最小整数值为22， 综上，输入的最小正整数x是22 故答案为22． 【点评】考查一元一次不等式组的应用；读懂图意，找到关于x的两个关系式是解决本题的关键． 14．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金　3520　 元． 【考点】一元一次不等式的应用 【分析】若只租甲种客车需要360÷40＝9辆．若只租乙种客车需要8辆，但有一辆不能坐满．只租甲种客车正好坐满，这种方式一定最贵．因而两种客车用共租8辆．两种客车的载客量大于360，根据这个不等关系，就可以求出两种客车各自的数量，进而求出租金． 【解答】解：若只租甲种客车需要360÷40＝9辆．若只租乙种客车需要8辆，因而两种客车用共租8辆． 设甲车有x辆，乙车有8﹣x辆，则40x+50（8﹣x）≥360， 解得：x≤4， 整数解为0、1、2、3、4． 汽车的租金W＝400x+480（8﹣x）即W＝﹣80x+3840 W的值随x的增大而减小，因而当x＝4时，W最小． 故取x＝4，W的最小值是3520元． 故答案为：3520． 【点评】本题是一次函数与不等式相结合的问题，能够通过条件得到两种客车共租8辆，是解决本题的关键． 15．使得不等式组对唯一的整数k成立的最大正整数n为 　144　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】根据题目中的不等式，先变形，然后即可得到，再根据k是唯一的整数，可以得到n的取值范围，然后通过计算可以得到唯一的整数k，从而可以得到n的最大正整数值． 【解答】解：∵， ∴， ∴1， ∴，k是唯一的整数， ∴且， ∴， ∴n≤144， 当n＝144时，由，可得126＜k＜128， ∴k可取唯一的整数127， 由上可得，n的最大值是144， 故答案为：144． 【点评】本题考查一元一次不等式的组的整数解，解答本题的关键是找出不等关系成立的条件，求出n的最大值，注意求得的n一定使得整数k具有唯一性 16．满足的不同的有序整数组（x，y，z）的个数为　500　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】分别求出x＝2015、2016、…2024对应的y、z的值，即可得出答案． 【解答】解：第一、当x＝2015时，0≤y+z≤9，2y+4z≤9， 此时2y+4z取0，2，4，6，8，y+z取0，1，2，…，9，共50组； 第二、当x＝2016时，﹣1≤y+z≤8，﹣1≤2y+4z≤8， 此时2y+4z取0，2，4，6，8，y+z取﹣1，0，…，8，共50组； 同理当x＝2017、2018、…、2024，每种情况，有y、z恒有50种， 故共有500种， 故答案为：500． 【点评】本题考查了不等式的整数解的应用，能根据求出结果得出规律是解此题的关键． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求k的取值范围； （2）化简：|2k﹣1|+|k﹣2|． 【考点】解一元一次不等式组；绝对值；二元一次方程组的解 【分析】（1）首先解关于x，y的方程组，根据解是非负数即可得到一个关于k的不等式组，从而求得k的范围； （2）根据k的范围确定2k﹣1和k﹣2的符号，然后根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可求解． 【解答】解：（1）， ①+②得：4x＝8k﹣4，即x＝2k﹣1③， 将③代入②得：y＝﹣4k+4， 则原方程组的解为：； ∵原方程组的解均为非负数， ∴， 解得：． （2）∵， ∴2k﹣1＞0，k﹣2＜0， ∴|2k﹣1|+|k﹣2|． ＝2k﹣1+2﹣k ＝k+1． 【点评】本题是考查二元一次方程组的解法，一元一次不等式组，利用方程组的解为非负数，建立不等式组，利用不等式组的解得范围化简绝对值是解题关键． 18．对于实数x，y定义一种新运算． 规定：Y（x，y）＝ax+by（其中a，b为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：Y（2，3）＝2a+3b，已知Y（1，2）＝4，Y（3，﹣4）＝2． （1）求a，b的值； （2）在（1）的条件下，若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤12，求m的取值范围． 【考点】解一元一次不等式；实数的运算；二元一次方程组的解；解二元一次方程组 【分析】（1）根据新定义列出方程组，求解即可； （2）由题意得出，两式相交即可得到﹣x﹣y＝3m+3，即x+y＝﹣3m﹣3，利用x+y≤12得出关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）由题意， 解方程组得， ∴a的值为2，b的值为1； （2）在（1）的条件下，a＝2，b＝1， ∴关于x，y的二元一次方程组化为， ①+②得，﹣x﹣y＝3m+3， ∴x+y＝﹣3m﹣3， ∵x+y≤12， ∴﹣3m﹣3≤12， 解得m≥﹣5， ∴m的取值范围是m≥﹣5． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算，准确理解新定义，熟练掌握计算法则是解题的关键． 19．某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是采购员记录的前两次采购数量和金额（每次采购这两种实验器材的单价都不变），如下表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）若购买这两种实验器材共40件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过1500元，请问共有几种采购方案？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（40﹣m）件，根据题意列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元． （2）设购进A型实验器材m件， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取25，26， 当m＝25时，40﹣25＝15（件）； 当m＝26时，40﹣26＝14（件）， 方案一：A型实验器材25件，B型实验器材15件， 方案二：A型实验器材26件，B型实验器材14件， 即：共有2种采购方案． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 20．阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程． 对于含绝对值的不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于含绝对值的不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3． 问题解决： （1）求出含绝对值的不等式|x|＞2的解集． （2）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝﹣m﹣1的解满足|x+y|＜2，其中m是正数，求m的取值范围． 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组；绝对值；二元一次方程的解；在数轴上表示不等式的解集 【分析】（1）根据题中提供的方法进行解答即可； （2）根据题中提供的方法进行解答即可． 【解答】解：（1）根据绝对值的定义得：x＞2或x＜﹣2． 故答案为：x＞2或x＜﹣2； （2）∵|x+y|＜2， ∴﹣2＜x+y＜2， ∵x+y＝﹣m﹣1， ∴﹣2＜﹣m﹣1＜2， 解得﹣3＜m＜1， 又∵m是正数， ∴0＜m＜1． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组、绝对值、二元一次方程的解、在数轴上表示不等式的解集，理解题中的方法是解题的关键． 21．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元． （1）求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少3万元，可列方程组求解． （2）设购买A型号设备x台，则B型为（10﹣x）台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式； （3）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：； （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，根据题意得， 12x+9（10﹣x）≤100， ∴x， ∵x取非负整数， ∴x＝0，1，2，3 ∴10﹣x＝10，9，8，7 ∴有四种购买方案： ①A型设备0台，B型设备10台； ②A型设备1台，B型设备9台； ③A型设备2台，B型设备8台． ④A型设备3台，B型设备7台； （3）由题意：220x+180（10﹣x）≥1880， ∴x≥2， 又∵x， ∴x为2，3． 当x＝2时，购买资金为12×2+9×8＝96（万元）， 当x＝3时，购买资金为12×3+9×7＝99（万元）， ∴为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型号设备少3万元和根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1880吨，等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式求解． 22．阅读下面材料： 分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的： 根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ① 或 ② 解不等式组①得x＞3， 解不等式组②得x． 所以原不等式的解集为x＞3或x． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式 【分析】根据题意把原不等式化为两个不等式组的形式，求出两不等式组的解集即可． 【解答】解：原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①得，所以该不等式组的解集为x＜2； 解不等式组②得，所以该不等式组无解． 所以原不等式的解集为x＜2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 23．对于实数x、y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a、b均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对． （1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝　5　 ，L（，）＝　3　 ； （2）已知L（x，y）＝3x+2y，若正格线性数L（m，m﹣2），求满足不等式组的所有m的值． 【考点】解一元一次不等式组；实数的运算 【分析】（1）利用题意计算进而求出答案； （2）根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【解答】解：（1）∵L（x，y）＝x+3y， ∴L（2，1）＝2+3×1＝5，L（，）33， 故答案为：5，3； （2）∵L（x，y）＝3x+2y， ∴L（m，m﹣2）＝3m+2（m﹣2）＝5m﹣4， ∴， 解得：2≤m， ∵m和m﹣2均为正整数， ∴m的值有3，4，5，6． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，以及新定义，根据题意得出正确等式是解题关键． 24．试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组的解集为2＜x＜5． 【考点】解一元一次不等式组 【分析】先把原不等式组化简，根据不等式组的解集为2＜x＜5可确定a﹣2≠0，且3b+5≠0，再分别根据a﹣2＞0，a﹣2＜0，或3b+5＞0，3b+5＜0，组成不等式组，根据x的取值范围即可列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可． 【解答】解：① 因为①的解为2＜x＜5，所以a﹣2≠0，且3b+5≠0， （1）若，则①， 从，解得，符合要求； （2）若，则①， 这显然不是2＜x＜5，不合要求； （3）若，则①， 这不合要求， （4）若，则①， 从而，解得， 这与a﹣2＜0矛盾！不合要求！ 综上所述，． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及解二元一次方程组，有一定的难度，解答此题时关键要根据不等式的基本性质分类讨论，不要漏解． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 一元一次不等式·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D D B C D C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．1＜x+y＜5 12．k＞3 13．22 14．3520 15．144 16．500 三、解答题（共9小题，共72分） 17．解：（1）， ①+②得：4x＝8k﹣4，即x＝2k﹣1③， 将③代入②得：y＝﹣4k+4， 则原方程组的解为：； ∵原方程组的解均为非负数， ∴， 解得：．（3分） （2）∵， ∴2k﹣1＞0，k﹣2＜0， ∴|2k﹣1|+|k﹣2|． ＝2k﹣1+2﹣k ＝k+1．（3分） 18．解：（1）由题意， 解方程组得， ∴a的值为2，b的值为1；（3分） （2）在（1）的条件下，a＝2，b＝1， ∴关于x，y的二元一次方程组化为， ①+②得，﹣x﹣y＝3m+3， ∴x+y＝﹣3m﹣3， ∵x+y≤12， ∴﹣3m﹣3≤12， 解得m≥﹣5， ∴m的取值范围是m≥﹣5．（3分） 19．解：（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元．（4分） （2）设购进A型实验器材m件， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以取25，26， 当m＝25时，40﹣25＝15（件）； 当m＝26时，40﹣26＝14（件）， 方案一：A型实验器材25件，B型实验器材15件， 方案二：A型实验器材26件，B型实验器材14件， 即：共有2种采购方案．（4分） 20．解：（1）根据绝对值的定义得：x＞2或x＜﹣2． 故答案为：x＞2或x＜﹣2；（3分） （2）∵|x+y|＜2， ∴﹣2＜x+y＜2， ∵x+y＝﹣m﹣1， ∴﹣2＜﹣m﹣1＜2， 解得﹣3＜m＜1， 又∵m是正数， ∴0＜m＜1．（5分） 21．解：（1）根据题意得：， 解得：；（3分） （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，根据题意得， 12x+9（10﹣x）≤100， ∴x， ∵x取非负整数， ∴x＝0，1，2，3 ∴10﹣x＝10，9，8，7 ∴有四种购买方案： ①A型设备0台，B型设备10台； ②A型设备1台，B型设备9台； ③A型设备2台，B型设备8台． ④A型设备3台，B型设备7台；（3分） （3）由题意：220x+180（10﹣x）≥1880， ∴x≥2， 又∵x， ∴x为2，3． 当x＝2时，购买资金为12×2+9×8＝96（万元）， 当x＝3时，购买资金为12×3+9×7＝99（万元）， ∴为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台．（4分） 22．解：原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①得，所以该不等式组的解集为x＜2；（5分） 解不等式组②得，所以该不等式组无解． 所以原不等式的解集为x＜2．（5分） 23．解：（1）∵L（x，y）＝x+3y， ∴L（2，1）＝2+3×1＝5，L（，）33， 故答案为：5，3；（5分） （2）∵L（x，y）＝3x+2y， ∴L（m，m﹣2）＝3m+2（m﹣2）＝5m﹣4， ∴， 解得：2≤m， ∵m和m﹣2均为正整数， ∴m的值有3，4，5，6．（7分） 24．解：① 因为①的解为2＜x＜5，所以a﹣2≠0，且3b+5≠0， （1）若，则①， 从，解得，符合要求；（3分） （2）若，则①， 这显然不是2＜x＜5，不合要求；（3分） （3）若，则①， 这不合要求，（3分） （4）若，则①， 从而，解得， 这与a﹣2＜0矛盾！不合要求！ 综上所述，．（3分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 一元一次不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+2 B．﹣2x+5＜﹣2y+5 C． D．2x﹣3＜2y﹣3 2．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1 3．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≤3 B．a≥3 C．a＜3 D．a＞3 4．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（　　） A． B． C． D． 5．如果关于x的分式方程3有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 6．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5≤a B．﹣5≤a C．﹣5＜a D．﹣5＜a 8．已知a，b为实数，则解集可以为﹣2＜x＜2的不等式组是（　　） A． B． C． D． 9．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 10．关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是　 　 ． 12．若关于x，y的方程组的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是　 　 ． 13．如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x的最小是 　 　 ． 14．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金　 　 元． 15．使得不等式组对唯一的整数k成立的最大正整数n为 　 　 ． 16．满足的不同的有序整数组（x，y，z）的个数为　 　 ． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求k的取值范围； （2）化简：|2k﹣1|+|k﹣2|． 18．对于实数x，y定义一种新运算． 规定：Y（x，y）＝ax+by（其中a，b为非零常数），我们称这种运算得到的结果为“和谐数”． 例如：Y（2，3）＝2a+3b，已知Y（1，2）＝4，Y（3，﹣4）＝2． （1）求a，b的值； （2）在（1）的条件下，若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤12，求m的取值范围． 19．某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是采购员记录的前两次采购数量和金额（每次采购这两种实验器材的单价都不变），如下表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）若购买这两种实验器材共40件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过1500元，请问共有几种采购方案？ 20．阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程． 对于含绝对值的不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于含绝对值的不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3． 问题解决： （1）求出含绝对值的不等式|x|＞2的解集． （2）已知关于x，y的二元一次方程x+y＝﹣m﹣1的解满足|x+y|＜2，其中m是正数，求m的取值范围． 21．为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元． （1）求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 22．阅读下面材料： 分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的： 根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ① 或 ② 解不等式组①得x＞3， 解不等式组②得x． 所以原不等式的解集为x＞3或x． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 23．对于实数x、y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a、b均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对． （1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝　 　 ，L（，）＝　 　 ； （2）已知L（x，y）＝3x+2y，若正格线性数L（m，m﹣2），求满足不等式组的所有m的值． 24．试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组的解集为2＜x＜5． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$