精品解析：河南省郑州市第四十七初级中学2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

郑州市第四十七初级中学东校区2024-2025学年上期八年级数学期末评价试卷 （满分：120分，时间：100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】解：A、3.14159是分数，是有理数，故该选项不符合题意； B、是有理数，故该选项不符合题意； C、是开方开不尽的数，故该选项符合题意； D、是分数，是有理数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知点在第四象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据象限确定坐标的符号，根据距离确定坐标的绝对值，得到点的坐标即可． 【详解】解： 点到轴的距离是， 点的纵坐标的绝对值为3 点到轴的距离是， 点的横坐标的绝对值为8， 点在第四象限， 横坐标是正的，纵坐标是负的， 点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，关键是理解第四象限点的特征：横坐标是正的，纵坐标是负的及点到坐标轴的距离与点的坐标关系． 3. 在巴黎奥运会中，中国代表队为祖国摘得多枚金牌，学生们参与运动的热情也空前高涨．某地为了鼓励学生学习奥运精神，开展了射击友谊赛，学校准备从甲，乙两名学生中选择一名参加比赛．已知这两名学生训练成绩的平均数相同，且方差分别是：，，根据以上数据，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用方差判断稳定性； 方差反应的是一组数据偏离平均值的水平，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵S，S， ∴， ∴乙的成绩比甲的成绩稳定． 故选：B． 4. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到y随x的增大而减小，比较判断选择即可． 【详解】∵点，都在直线上，且，， ∴y随x的增大而减小，， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ）（参考数据：，，，） A. 在到之间 B. 在到之间 C. 在到之间 D. 在到之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算．熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．由题意知，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∴， 故选：C． 6. 《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为， 最小长度为， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能是， 故选：． 7. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数y＝ax＋b图像分析可得a、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图像是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图像分析可得： A.由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，故此选项正确，符合题意； B. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； C. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； D. 由一次函数图像可知 ；正比例函数的图像可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像，注意：一次函数y＝kx＋b的图像有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图像经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图像经过第二、三、四象限． 8. 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据调整前和调整后分别列式，可列二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：∵调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，且早上的粮食是晚上的， ∴． ∵老翁从晚上的粮食中取千克放在早上投喂后， ∴早上粮食为千克，晚上粮食为千克， ∵调整后早上的粮食是晚上的， ∴， ∴可列方程组， 故选B． 9. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 10. 如图，，，则等于（ ） A. 100° B. 200° C. 180° D. 210° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键． 根据，，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念和最简二次根式的概念即可求解． 【详解】∵， ∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念． 12. “计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图（如图）．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为，则景点“蒙山氧吧”的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，先根据已知两点坐标确定每个方格的距离，再根据点的位置确定坐标． 【详解】解：“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，两点横向上相距2个方格， 每个方格距离为1， 由图可知，开化寺向左移动1个方格，向上移动4个方格到达景点“蒙山氧吧”， 景点“蒙山氧吧”的坐标为，即， 故答案为：． 13. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．本题根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该名志愿者的综合成绩为（分）， 故答案为：． 14. 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图2，小明安装了一块能自动调节方向的平面镜，某时刻，太阳光垂直于水平线照射，为了把太阳光反射到一座水平方向的洞口中去，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，垂线定义．根据平面镜反射光线的规律，可以求出，由垂线定义求出的度数，再由两直线平行内错角相等即可求出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 15. 如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则_____； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）解方程组：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和二次根式的混合运算． （1）根据加减消元法解二元一次方程组； （2）根据二次根式的混合运算法则计算． 【详解】解：（1） 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为； （2） ． 17. 如图，，． （1）求证：． （2）若的平分线交的延长线于点，且，．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线等知识，理解并掌握平行线的性质是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合易得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）过点作，易得，进而解得的值，再证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，进而求得的值，然后根据角平分线的定义确定的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 18. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器安全着陆于内蒙古四子王旗预定区域，首次实现月球背面采样返回．为了解学生对月球相关知识掌握情况，某校组织开展相关知识竞赛，现从该校七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取20名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩（单位：分，用表示）分为四个等级，分别是A：，B：，C：，D：． 抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 八年级C等级的学生成绩：87，81，86，83，88，82，89． 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 a 59.66 八年级 85.2 b 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，_______，_______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若该校七年级有800名学生参加测试，八年级有740名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）88，87.5，35 （2）八年级成绩更好，见解析 （3）536人 【解析】 【分析】此题考查了众数、中位数、平均数等统计量，样本估计总体等知识，熟练掌握众数、中位数、平均数等统计量是关键． （1）根据众数、中位数、百分比等定义进行解答即可； （2）根据中位数进行解答即可； （3）利用样本估计总体的方法计算即可． 【小问1详解】 解：∵七年级成绩中分出现的次数最多， ∴七年级成绩的众数分， 八年级A、B等级学生人数为（人）， 则其成绩的中位数（分）， C等级人数所占百分比为， 故答案为：88、87.5、35； 【小问2详解】 八年级成绩更好， ∵七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级， ∴八年级高分人数多于七年级， 所以八年级成绩更好（答案不唯一）； 【小问3详解】 （人）， 答：估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有人． 19. 如图，解答下列问题： （1）写出A，B，C三点的坐标． （2）若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ （3）找一点P，使得点P到A，B两点距离相等且直线垂直于． 【答案】（1），， （2）画图见解析；关于y轴对称 （3）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，写出点坐标，点关于坐标轴对称，线段垂直平分线的性质等知识，熟悉这些知识是关键． （1）根据题意观察得知A，B，C三点的坐标； （2）根据题意将A，B，C三点横坐标均乘以得到，，，依次连接并观察图形即可得到本题答案； （3）根据题意分析到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，且直线垂直于可知，过点A做一条的垂线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为本题答案． 【小问1详解】 解：根据坐标可知：，，； 【小问2详解】 解：∵各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘， ∴，，， 即，，， ∴将点坐标在平面直角坐标系中画图，如图所示： 通过观察得知与关于y轴对称； 【小问3详解】 解：∵点P到A，B两点距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵直线垂直于， ∴过点A作的垂线， ∴点P即为线段的垂直平分线与过A且垂直于的直线的交点， 点P即为所求． 20. 根据以下素材，完成任务． 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同． 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个，且这批礼盒全部按照原售价销售． （1）每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ （2）素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案． 【答案】（1）每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元 （2）水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元，根据每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒利润与销售两个水果礼盒的利润相同，再建立方程组求解即可； （2）设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个，再建立一次函数求解即可． 【小问1详解】 解：设每个水果礼盒售价x元，坚果礼盒售价y元， 根据题意，得 解得 答：每个水果礼盒售价150元，每个坚果礼盒售价240元． 【小问2详解】 解：设坚果礼盒进货m个，商场获得的利润为w元，则水果礼盒进货个 根据题意，得， ∵，． ∴w随m增大而增大 ∵， ∴当时，w有最大值． 此时． 答：商场第二次进货时，水果礼盒进货60个，坚果礼盒进货40个，可以获得最大利润. 21. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同． 在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为）和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形． （1）如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理； （2）一个零件的形状如图③，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图④所示，这个零件符合要求吗？ 【答案】（1）见解析 （2）这个零件不符合要求. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明及其逆定理：熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于四个小三角形的面积与小正方形的面积之和为数量关系即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断不是直角三角形，不是直角，进而可求解； 【小问1详解】 解：正方形面积表示为：， 根据图②，正方形面积可以表示为：， ， 即． 【小问2详解】 解：在中，， ∴是直角三角形，是直角， 中，，， 即， ∴不是直角三角形， 故不是直角， 因此，这个零件不符合要求． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求m的值及的解析式； （2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】（1），的解析式为 （2）或 （3）或或1 【解析】 【分析】（1）设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，即可求解； （2）设，进而根据题意列出方程，解方程求解即可； （3）根据题意，则或，进而即可求得的值 【小问1详解】 与交于点． 设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，可得， ，， 解得，， 的解析式为 【小问2详解】 设， ，令，则，令，则 ， 又 的面积是面积的2倍， 即 解得或 或 【小问3详解】 一次函数的图象为，且，，不能围成三角形， 或 当过点C（2,4）时,将点C坐标代入y=kx＋2并解得:k=l, 或或1 【点睛】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 23. （1）如图1，在中，点M在延长线上，点N在线段上，连接交于点D，和的平分线交于点P． ①若，，请你测量的度数为___________； ②猜想出、和之间的数量关系为___________，并证明； （2）如图2，在中，点M在线段上，点N在延长线上，连接交于点D，和的平分线交于点P，直接写出、和之间的数量关系为___________ 【答案】（1）①；②，见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）①连接，利用三角形内角和定理求得，结合平分线得，即可求得，则有； ②根据三角形内角和得，结合角平分得，则，则有； （2）连接，根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：（1）①如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴； ②猜想：； 在，中，，， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市第四十七初级中学东校区2024-2025学年上期八年级数学期末评价试卷 （满分：120分，时间：100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A 3.14159 B. C. D. 2. 已知点在第四象限，且到轴距离是，到轴的距离是，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 3. 在巴黎奥运会中，中国代表队为祖国摘得多枚金牌，学生们参与运动的热情也空前高涨．某地为了鼓励学生学习奥运精神，开展了射击友谊赛，学校准备从甲，乙两名学生中选择一名参加比赛．已知这两名学生训练成绩的平均数相同，且方差分别是：，，根据以上数据，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 4. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 5. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图，的值接近黄金比，则黄金比（ ）（参考数据：，，，） A. 在到之间 B. 在到之间 C. 在到之间 D. 在到之间 6. 《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图像的是（ ） A. B. C. D. 8. 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 10. 如图，，，则等于（ ） A. 100° B. 200° C. 180° D. 210° 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等） 12. “计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图（如图）．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为，则景点“蒙山氧吧”的坐标为_____ 13. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 14. 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图2，小明安装了一块能自动调节方向的平面镜，某时刻，太阳光垂直于水平线照射，为了把太阳光反射到一座水平方向的洞口中去，则的度数为______． 15. 如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则_____； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为_____． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）解方程组：； （2）计算：． 17. 如图，，． （1）求证：． （2）若的平分线交的延长线于点，且，．求的度数． 18. 2024年6月25日，嫦娥六号返回器安全着陆于内蒙古四子王旗预定区域，首次实现月球背面采样返回．为了解学生对月球相关知识的掌握情况，某校组织开展相关知识竞赛，现从该校七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取20名学生的成绩进行分析，将学生竞赛成绩（单位：分，用表示）分为四个等级，分别是A：，B：，C：，D：． 抽取的七年级学生的竞赛成绩：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 八年级C等级的学生成绩：87，81，86，83，88，82，89． 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 a 59.66 八年级 85.2 b 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，_______，_______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若该校七年级有800名学生参加测试，八年级有740名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 19. 如图，解答下列问题： （1）写出A，B，C三点的坐标． （2）若各顶点纵坐标不变，横坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ （3）找一点P，使得点P到A，B两点距离相等且直线垂直于． 20. 根据以下素材，完成任务． 素材一：春节，即农历新年，为了迎接春节，某商场出售春节限定水果礼盒和坚果礼盒．每个水果礼盒成本为120元，每个坚果礼盒成本为180元，每个坚果礼盒比每个水果礼盒售价贵90元，销售一个坚果礼盒的利润与销售两个水果礼盒的利润相同． 素材二：两种礼盒全部售完之后，商场决定第二次进货时同时购进两种礼盒共100个．坚果礼盒不超过40个，且这批礼盒全部按照原售价销售． （1）每个水果礼盒和坚果礼盒的售价各是多少？ （2）素材二中，若使销售完这批礼盒后商场获得最大的利润，请帮助商场设计进货方案． 21. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同． 在进行《勾股定理》一章《回顾与思考》时，李芳老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①，是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，，斜边长为）和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形． （1）如图②，是李明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理； （2）一个零件的形状如图③，按规定这个零件中和都应是直角．工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：）如图④所示，这个零件符合要求吗？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求m的值及的解析式； （2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 23. （1）如图1，在中，点M在延长线上，点N在线段上，连接交于点D，和的平分线交于点P． ①若，，请你测量的度数为___________； ②猜想出、和之间的数量关系为___________，并证明； （2）如图2，在中，点M在线段上，点N在延长线上，连接交于点D，和的平分线交于点P，直接写出、和之间的数量关系为___________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $