第1章 三角形的初步认识 单元提优卷 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

第1章 三角形的初步认识 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，图中三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】略 2.对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】略 3.打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是(    ) A. 带去 B. 带去 C. 带去 D. 带去 【答案】A  【解析】略 4.如图，，，垂足分别为，，，为的中点，那么下列式子不能成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.如图，在中，，按以下步骤作图： 分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，交于点，连接若，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由作图可知为的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故选：． 由作图知为的垂直平分线，即可得，根据三角形外角的性质得，由可解答． 本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的尺规作图及中垂线的性质． 6.如图是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，支撑板的顶端恰好是托板的中点现量得，当，且射线恰好是的平分线时，点到直线的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：过点作，垂足为， 顶端恰好是托板的中点， ， 射线恰好是的平分线，，， ， 点到直线的距离是， 故选：． 过点作，垂足为，先利用线段的中点定义可得：，然后利用角平分线的性质即可解答． 本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7.如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点连接，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由作法得垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， ． 故选：． 利用基本作图得到垂直平分，垂直平分，则，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和用的代数式表示． 本题主要考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，利用基本作图判断、分别垂直平分和是解决问题的关键． 8.如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到． 过作于，由角平分线的性质推出，而，即可求出的面积． 【解答】 解：过作于， 平分，于点， ， ， 的面积． 故选C． 9.如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到：：，． 过作于，于，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到：：：，因此，由是中点，得到，求出，于是得到的值． 【解答】 解：过作于，于， 为的角平分线， ， ，， ：：：， ， 是中点， ， ， ． 故选：． 10.如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点有下列结论：；；；；其中正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断；推出，根据证明即可，即可判断；证明，得，，根据外角的性质可判断；通过等量代换可判断证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， 、分别平分、， ，， ， ，故结论正确； ， 又， ， ， ， 在和中， ，故结论正确； ，，， ， 在和中， ， ，， 是的外角， ， ，故结论错误； 又，， ， 即，故结论正确， 正确的个数是个． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，已知，，，则的长为          。 【答案】  【解析】略 12.如图所示，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动它们运动的时间为，则点的运动速度为          时，使得，，三点构成的三角形与，，三点构成的三角形全等． 【答案】或  【解析】略 13.如图所示，，且，，且，按照图中所标注的数据，实线所围成的图形的面积是          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点若，则 ______ 【答案】  【解析】解：为的中点， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ； ，， ， ， ， 等边对等角， ， ． 即的度数为． 故答案为：． 根据等腰三角形的判定得出，根据垂直平分线的性质得出，又根据等边对等角得出，再根据三角形的外角的性质得出，再根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出答案． 本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握． 15.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若是直线上的一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】如图，过点作于点，交于点，连接垂直平分，，，，即，解得． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知：如图所示，，求证：． 【答案】证明：如图，连结在和中， ．   【解析】略 18.本小题分 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为。 求的长。 分别连结，，，若的周长为，求的长。 【答案】(1)6   (2)5  【解析】 略  略 19.本小题分 如图，是的角平分线，、分别是和的高． 试说明垂直平分； 若，，，求的长． 【答案】证明：是的角平分线，、分别是和的高， ， 在与中， ， ≌， ， ， 垂直平分； 解：， ， ， ．  【解析】由角平分线的性质得，再由≌，得，从而证明结论； 由，代入计算即可． 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 20.本小题分 如图，已知在两条公路，的附近有，两个工厂，现准备在两条公路的交叉路口附近修建一个仓库，要求仓库到两个工厂的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请用尺规作出仓库的位置 【答案】作图见解析部分．  【解析】解：如图，点即为所求． 作线段的垂直平分线，作的角平分线交线段的垂直平分线于点，点即为所求． 本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.本小题分 如图，画，并画的平分线，将三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点，，试猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】解：  理由如下：如图，过点作，，垂足分别是，，则  因为平分，所以  因为，所以  因为，  所以  在和中，  因为  所以，所以．   【解析】略 22.本小题分 如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． 若，的周长为，则的长为______； 若，求的度数； 已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】；   ；   点在边的垂直平分线上，见解析．  【解析】直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ， 故答案为：； ， ， 直线垂直平分边， ， 等边对等角， 即的度数为； 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， 等量代换， 点在边的垂直平分线上． 由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； 由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； 由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23.本小题分 请根据如下问题开展探究： 【发现问题】如图，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】如图，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．       【问题拓展】如图，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 如图，在的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】解：如图中，延长  至点  ，使  ． 在  和  中，  ，   ，   ，  ，   ，   ，   ， ； 如图，延长  至  ，使  ，连接  ，  是中线，  ， 又  ，  ，   ，  ，  ，  ，  ，  ，  为中线，   ，  ，   ， 又  ，   ，  ， ，故正确，  ，故正确， 故答案为：； 证明：如图，延长  至  ，使  ，连接  ，  是  的中点，   ， 又  ，  ，   ，  ，  ，   ，   ，  与  互补，   ，   ， 又  ，  ，   ，  ，   ； ； 如图，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，   ，  ，   ，  ，  ，   ，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.本小题分 【数学理解】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图，中，，，，为上一点，当           时，与是偏等积三角形； 【数学应用】如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】如图，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)3  (2)如图2，过C作交的延长线于E，    ​​​​​​​与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， ；   (3)与是偏等积三角形． 理由：如图3，    ​​​​​​​， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形．   【解析】  连接，由与在、边上的高相等，可知当点为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； 【详解】解：如图，连接，    与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：；   过作交的延长线于，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解；   先证明，再由，，说明与不全等，作于点，交的延长线于点，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第 1 章三角形的初步认识单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，图中三角形的个数为( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 2.对于命题“如果∠1 + ∠2 = 90°，那么∠1 ≠ ∠2”，能说明它是假命题的反例是( ) A. ∠1 = ∠2 = 45° B. ∠1 = 50°，∠2 = 50° C. ∠1 = 50°，∠2 = 40° D. ∠1 = 40°，∠2 = 40° 3.打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( ) A.带①②去 B.带②③去 C.带③④去 D.带②④去 4.如图，�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，垂足分别为�，�，�� = �� = 2��，�为��的中点，那么下列式子不能成立 的是( ) A. �� = �� B. �� ⊥ �� C. �� = �� D. ∠��� = ∠��� 5.如图，在△ ���中，∠� = 90°，按以下步骤作图： ①分别以�，�为圆心，以大于12��的长为半径作弧，两弧相交于两点�，�；②作直线��交��于点�，交�� 于点�，连接��.若∠� = 15°，则∠���等于( ) A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60° 第 2 题 第 3题 第 4 题 第 5 题 6.如图 1 是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图 2 是其侧面结构 示意图.托板��可绕点�转动，支撑板��可绕点�转动，支撑板的顶端�恰好是托板��的中点.现量得�� = 10��，当�� ⊥ ��，且射线��恰好是∠���的平分线时，点�到直线��的距离是( ) A. 5�� B. 6�� C. 8�� D. 10�� 第 2页，共 6页 7.如图，在△ ���中，∠��� > 90°，分别以点�，�为圆心，以大于12��长为半径画弧，两弧交于点�，�. 作直线��，交��于点�.分别以点�，�为圆心，以大于12��长为半径画弧，两弧交于点�，�.作直线��，交�� 于点�.连接��，��.若∠��� = �，则∠��� =( ) A. 2� − 180° B. 2� − 90° C. 180° − � D. 90° − � 8.如图，��平分∠���，�� ⊥ ��于点�，点�在��上，若�� = 3，�� = 6，则△ ���的面积为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 9.如图，在△ ���中，�� = 4，�� = 7，�为��中点，��为△ ���的角平分线，△ ���的面积记为�1，△ ��� 的面积记为�2，则 �1 �2 为( ) A. 11 B. 223 C. 7 3 D. 22 5 10.如图，在△ ���中，∠��� = 90 ∘，▵���的角平分线��、��相交于点�，过�作�� ⊥ ��交��的延长线 于点�，交��于点�.有下列结论：①∠��� = 135 ∘；②▵��� ≌ ▵���；③∠��� = ∠���；④�� + �� = ��； 其中正确的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 7 题 第 8题 第 9 题 第 10 题 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11.如图，已知▵��� ≌ ▵���，�� = 9��，�� = 5��，则��的长为 ��。 12.如图所示，�� = 4��，�� = �� = 3��．∠��� = ∠��� = 60∘，点�在线段��上以 1��/�的速度由点� 向点�运动，同时，点�在线段��上由点�向点�运动.它们运动的时间为� � ，则点�的运动速度为 ��/� 时，使得�，�，�三点构成的三角形与�，�，�三点构成的三角形全等． 13.如图所示，�� ⊥ ��，且�� = ��，�� ⊥ ��，且�� = ��，按照图中所标注的数据，实线所围成的图形 的面积是 ． 第 3页，共 6页 14.如图，在△ ���中，��边的垂直平分线分别交��、��于点�、�，连接��，作�� ⊥ ��于点�，且�为�� 的中点.若∠� = 30°，则∠��� = ______°. 第 11 题 第 12 题 第 13 题 第 14 题 15.如图，��是△ ���的角平分线，�� ⊥ ��，垂足为�，�� = ��，△ ���和△ ���的面积分别为 50 和 38， 则△ ���的面积为 ． 16.如图，在△ ���中，��的垂直平分线��分别交��，��于点�，�.若�是直线��上的一动点，�是直线�� 上的一动点，�� = 7，�� = 3，�� = 5，�� ⊥ ��，则�� + ��的最小值为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 64 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 8 分)已知：如图所示，�� = ��，�� = ��.求证：∠� = ∠�． 18.(本小题 8 分)如图，在▵���中，边��的垂直平分线�1交��于点�，边��的垂直平分线�2交��于点�，�1 与�2相交于点�，▵���的周长为 6。 (1)求��的长。 (2)分别连结��，��，��，若▵���的周长为 16，求��的长。 第 4页，共 6页 19.(本小题 8 分)如图，��是△ ���的角平分线，��、��分别是△ ���和△ ���的高． (1)试说明��垂直平分��； (2)若�� = 8，�� = 6，�△��� = 28，求��的长． 20.(本小题 8 分)如图，已知在两条公路��，��的附近有�，�两个工厂，现准备在两条公路的交叉路口附 近修建一个仓库，要求仓库到两个工厂的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请用尺规作出仓库的位 置 21.(本小题 8 分)如图，画∠��� = 90°，并画∠���的平分线��，将三角尺的直角顶点落在��的任意一点� 上，使三角尺的两条直角边与∠���的两边分别相交于点�，�，试猜想��，��的大小关系，并说明理由． 第 5页，共 6页 22.(本小题 8 分)如图，在△ ���中，直线�垂直平分边��，分别交��，��于点�，�，连接��． (1)若�� = 9，△ ���的周长为 19，则��的长为______； (2)若∠��� = 90°，求∠���的度数； (3)已知点�在线段��上，且点�在边��的垂直平分线上，连接��，试判断点�是否在边��的垂直平分线上， 并说明理由． 23.(本小题 8 分)请根据如下问题开展探究： 【发现问题】(1)如图 1，在▵���中，�� = 6，�� = 4，求��边上的中线��的取值范围． 【问题解决】(2)如图 2，��是▵���的中线，��是△ ���的中线，且�� = ��，∠��� = ∠���，下列四个 选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①∠��� = ∠��� ②�� = 2�� ③∠��� = ∠��� ④�� = �� 【问题拓展】(3)如图 3，�� = ��，�� = ��，∠���与∠���互补，连接��、��，�是��的中点，求证： �� = 12��． (4)如图 4，在(3)的条件下，若∠��� = 90 ∘，延长��交��于点�，�� = 2，�� = 4，则▵���的面积是______． 第 6页，共 6页 24.(本小题 8 分) (1)【数学理解】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图 1，▵���中，�� = 6，�� = 9， �� = 10，�为��上一点，当�� = 时，▵���与▵���是偏等积三角形； (2)【数学应用】如图 2，▵���与▵���是偏等积三角形，�� = 2，�� = 6，且线段��的长度为正整数， 求��的长度； (3)【联系拓广】如图 3，四边形����是一片绿色花园，�� = ��，�� = ��，∠��� = ∠��� = 90 ∘ 0 ∘ < ∠��� < 90 ∘ ．▵���与▵���是偏等积三角形吗？请说明理由． 第1章三角形的初步认识单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，图中三角形的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 3.打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是(    ) A. 带去 B. 带去 C. 带去 D. 带去 4.如图，，，垂足分别为，，，为的中点，那么下列式子不能成立的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，按以下步骤作图： 分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，交于点，连接若，则等于(    ) A. B. C. D. 第2题 第3题 第4题 第5题 6.如图是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，支撑板的顶端恰好是托板的中点现量得，当，且射线恰好是的平分线时，点到直线的距离是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点连接，若，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点有下列结论：；；；；其中正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第7题 第8题 第9题 第10题 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，已知，，，则的长为          。 12.如图所示，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动它们运动的时间为，则点的运动速度为          时，使得，，三点构成的三角形与，，三点构成的三角形全等． 13.如图所示，，且，，且，按照图中所标注的数据，实线所围成的图形的面积是          ． 14.如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点若，则 ______ 第11题 第12题 第13题 第14题 15.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为          ． 16.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若是直线上的一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知：如图所示，，求证：． 18.本小题分如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为。 求的长。 分别连结，，，若的周长为，求的长。 19.本小题分如图，是的角平分线，、分别是和的高． 试说明垂直平分； 若，，，求的长． 20.本小题分如图，已知在两条公路，的附近有，两个工厂，现准备在两条公路的交叉路口附近修建一个仓库，要求仓库到两个工厂的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请用尺规作出仓库的位置 21.本小题分如图，画，并画的平分线，将三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点，，试猜想，的大小关系，并说明理由． 22.本小题分如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． 若，的周长为，则的长为______； 若，求的度数； 已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 23.本小题分请根据如下问题开展探究： 【发现问题】如图，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】如图，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．       【问题拓展】如图，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 如图，在的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 24.本小题分 【数学理解】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图，中，，，，为上一点，当           时，与是偏等积三角形； 【数学应用】如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度； 【联系拓广】如图，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$