第5章 勾股定理与实数（单元测试·基础卷）数学青岛版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 勾股定理与实数·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．下列写法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 5．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 9．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在，，，，0中，无理数的个数是 个． 11．若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为 ． 12．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 13．方程的解是 ． 14．比较大小：（1） 6；（2） 3 15．若与互为相反数，则 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）将下列各数填入相应的集合内． ，，，0，，，，，3.14，， (1)有理数集合{                         } (2)无理数集合{                         } (3)负实数集合{                         } 17．（本题6分）求下列各式中的值： (1) (2) 18．（本题6分）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米．如果保持梯子底端位置（点）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 19．（本题6分）已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 20．（本题7分）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 21．（本题8分）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分； (1)求a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，则的算术平方根． 22．（本题8分）周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． (1)求风筝的垂直高度； (2)要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 23．（本题8分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷． 【数学应用】 （1）在如图1的数轴上作出表示的点； 【生活应用】 （2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 24．（本题10分）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 25．（本题10分）如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 勾股定理与实数·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】解：当a最大时，； 当8最大时，，不是正整数，不符合题意； 所以a的值为10． 故选：C． 2．下列写法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式正确，符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选；C． 3．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、由设， ∴，而， ∴，故不是直角三角形，本选项符合题意； B、，得，故是直角三角形，本选项不符合题意； C、由设，由三角形内角和定理可得：， ∴， 解得：， ∴，故是直角三角形，本选项不符合题意； D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本选项不符合题意；． 故选A． 4．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 5．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【解析】解：设正方形边长为， 则面积， 解得：， ， ， 边长介于和之间， 故选：D． 6．若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：∵， ∴，则． 故选：C． 7．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【解析】解：，，，…， ， 故选：D． 8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 9．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵正方形的面积为6，且， ∴， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：，故B正确． 故选：B． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在，，，，0中，无理数的个数是 个． 【答案】2 【解析】解：在所给数中，，是无理数，共2个， 故答案为：2． 11．若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， 故答案为：． 12．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 【答案】 【解析】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度=（尺）， 答：芦苇长尺． 故答案为： 13．方程的解是 ． 【答案】 【解析】解：， ， ， ， 方程的解是． 故答案为：． 14．比较大小：（1） 6；（2） 3 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 15．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【解析】与互为相反数， ， ， 解得 ∴． 故答案为：． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）将下列各数填入相应的集合内． ，，，0，，，，，3.14，， (1)有理数集合{                         } (2)无理数集合{                         } (3)负实数集合{                         } 【答案】(1)，，0，，，3.14，， (2)，，， (3)，，，， 【解析】（1）解：，， ∴有理数集合{，，0，，，3.14，}； （2）无理数集合{，，，} （3）负实数集合{，，，，} 17．（本题6分）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：或． 18．（本题6分）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米．如果保持梯子底端位置（点）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【答案】 【解析】解：由题得，， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 19．（本题6分）已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)直角三角形，理由见解析 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 20．（本题7分）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米． 【解析】（1）解：米，米，米， ， ， ； （2）解：， ， （米）， （米）． 21．（本题8分）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分； (1)求a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，则的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）解：根据题意，可得，； 解得，； 因为， 所以， 因为是的整数部分， 所以； 所以，，． （2）解：由（1）知的整数部分为3， 则， 所以， 则3的算术平方根为． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方根、算术平方根、立方根的定义、二次根式的运算．能正确得出关于、的方程是解（1）的关键，能估算出的范围是解（2）的关键． 22．（本题8分）周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． (1)求风筝的垂直高度； (2)要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 【答案】(1)m (2)m 【解析】（1）解：由题意可知m，m，，m． 在中，由勾股定理， 得， m（负值已舍去）， m． 答：风筝的垂直高度为m． （2）如答图，风筝沿方向下降m至处，保持不变，连结，此时m． 在中，m， m， 小明应该往回收风筝线m． 【点睛】本题主要考查勾股定理的概念，关键是观察图形找到数量关系．通过已知直角三角形的两边，利用勾股定理求出第三边，即可解答． 23．（本题8分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷． 【数学应用】 （1）在如图1的数轴上作出表示的点； 【生活应用】 （2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）解：如图，点即为所作； （2）解：设秋千绳索的长为，由题意，可得，四边形为矩形，，，， ， 在中， 解得， 答：秋千绳索的长为． 24．（本题10分）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【解析】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 25．（本题10分）如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)不能剪出满足题意的长方形，见解析 (3)能，大正方形的边长为，见解析 【解析】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设小正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． （2）解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 不能剪出满足题意的长方形； （3）解：一共有5个边长为1的小正方形， 组成的大正方形的面积为5， 该大正方形的边长为，示意图如下： 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 勾股定理与实数·基础通关（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C C A D D C D B B 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 2 11. 12. 13 13. 14. 15. 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分） 【答案】（1）解：，， ∴有理数集合{，，0，，，3.14，}；（2分） （2）无理数集合{，，，}（4分） （3）负实数集合{，，，，}（6分） 17．（本题6分） 【答案】（1）解：， ， ， 解得：；（3分） （2）解：， ， ， 解得：或．（6分） 18．（本题6分） 【答案】解：由题得，，（1分） 在中，，， ，（3分） 在中，，， ，（5分） ．（6分） 19．（本题6分） 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，，；（3分） （2）解：以，，为边构成的是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形．（6分） 20．（本题7分） 【答案】（1）解：米，米，米， ， ， ；（3分） （2）解：， ， （米）， （米）．（7分） 21．（本题8分） 【答案】（1）解：根据题意，可得，； 解得，； 因为， 所以， 因为是的整数部分， 所以； 所以，，．（4分） （2）解：由（1）知的整数部分为3， 则， 所以， 则3的算术平方根为．（8分） 22．（本题8分） 【答案】（1）解：由题意可知m，m，，m． 在中，由勾股定理， 得， m（负值已舍去）， m． 答：风筝的垂直高度为m．（4分） （2）如答图，风筝沿方向下降m至处，保持不变，连结，此时m． 在中，m， m， 小明应该往回收风筝线m．（8分） 23．（本题8分） 【答案】（1）解：如图，点即为所作； （2分） （2）解：设秋千绳索的长为，由题意，可得，四边形为矩形，，，， ， （5分） 在中， 解得， 答：秋千绳索的长为．（8分） 24．（本题10分） 【答案】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为．（5分） （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．（10分） 25．（本题10分）如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设小正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为．（2分） （2）解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 不能剪出满足题意的长方形；（7分） （3）解：一共有5个边长为1的小正方形， 组成的大正方形的面积为5， 该大正方形的边长为，示意图如下： （10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第5章 勾股定理与实数·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．下列写法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 5．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 8．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 9．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在，，，，0中，无理数的个数是 个． 11．若一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为 ． 12．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺． 13．方程的解是 ． 14．比较大小：（1） 6；（2） 3 15．若与互为相反数，则 ． 3、 解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）将下列各数填入相应的集合内． ，，，0，，，，，3.14，， (1)有理数集合{                         } (2)无理数集合{                         } (3)负实数集合{                         } 17．（本题6分）求下列各式中的值： (1) (2) 18．（本题6分）如图是某小区两面直立的墙壁之间的安全通道的示意图，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米．如果保持梯子底端位置（点）不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为米．求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 19．（本题6分）已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 20．（本题7分）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米． (1)求证：． (2)求的长． 21．（本题8分）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分； (1)求a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，则的算术平方根． 22．（本题8分）周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． (1)求风筝的垂直高度； (2)要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 23．（本题8分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷． 【数学应用】 （1）在如图1的数轴上作出表示的点； 【生活应用】 （2）如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 24．（本题10分）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 25．（本题10分）如图，把图（1）中两个面积为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图（2）． (1)大正方形的边长为______； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为？若能，求出长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； (3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边长的长度；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$