沪教版（上海）八年级第一学期 第十一讲 一元二次方程综合

第十一讲 一元二次方程综合 知识精讲 知识点1 一元二次方程的定义及有关概念 一元二次方程 ， 是一元二次方程的重要组成部分，因为只有当 时方程 才是一元二次方程；若 它是一元一次方程. 【例题1】当 取何值时，方程 是关于 的一元二次方程？ 【解析】当 且 时，方程是关于 的一元二次方程，解得 . 知识点2 一元二次方程的解法 【例题2】用适当的方法解下列一元二次方程. （1） （2） （3） （4 ） （5） （6） 【解析】（1）采用因式分解法，将方程变形利用平方差公式解得 （2）采用因式分解法，解得 （3）直接开平方法，解得 （4）利用因式分解法，解得 （5）采用公式法， （6）化成一般形式采用因式分解法， 【例题3】如果x2－10x+y2－16y+89=0，求 的值. 【解析】 x2－10x+y2－16y+89=0 配方得（X-5)2+(Y-8)2=0 所以X=5 ，Y=8 所以 得值是 . 知识点3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的情况可由 来判定，把 叫做根的判别式，通常用“ ”来表示，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；当 时，方程有两个实数根，反之也成立. 【例题4】已知关于 的一元二次方程 （其中 ），请问：该方程是否一定有实数根？如果有，请解这个方程；如果没有，请说明理由. 【解析】把原方程化为一般式， ， ， 因为 ，所以 ，即 ，原方程有两个不相等的实数根. 由求根公式易得 ，即原方程的根是 知识点4 一元二次方程根的应用 【例题5】一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今年每台售价为12150元，每年的降价百分率相同. 求每年降价的百分率是多少？ 如果张莹是在去年购买这种笔记本电脑的，那么与今年的售价相比，她多付了多少钱？ 【解析】（1）设平均买年的降价百分率为 .根据题意列方程 ， 解得 （舍去）.所以 10％.答：略. （2） （元）， （元） 答：略. 【课堂练习】 若 是方程 的根，则 =__________. 已知 是方程 的一个根，则 =___________. 若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的非负整数值是_________. 若方程 有两个相等的正数根，那么 =___________. 方程 的解是__________. 方程 的解是__________. 方程 ，当 _______时是一元一次方程，当 _______时是一元二次方程. 因式分解： =__________. 若三个连续正整数中间的一个数的9倍比另两个数的积大9，则这三个整数和是_______. 一元二次方程 有等根，则 =___________. 已知下列方程：① ，② ，③ （ 为常数），④ （ 为常数，且 ）.其中一元二次方程的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 若 ，则关于 的一元二次方程 的根的情况是 （ ） A 无实根 B 有两个负根 C 有一正根，一负根，且正根的绝对值比负根的绝对值大 D 有一正根，且负根的绝对值比正根的绝对值大 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A B C D 若 是 的根（ ），则 （ ） A B C D 以上都不对 解下列方程： （2） （4） （6） （8） 已知关于 的方程 ，当 为何值时，方程有两个实数根？ 某公司决心使明年的销售总额比去年的销售总额翻两番，这样销售总额平均每年上涨的百分比是多少？ 参考答案： 2