2.1 代数式 预习学案2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第三章 整式及其加减 1. 代数式 知识点预习 一、代数式的定义与意义 1. 代数式的定义 用运算符号（+, -, ×, ÷, 乘方）把 数 和 字母 连接而成的式子。单独一个数或字母也是代数式（如 5, -3, a）。 2. 意义 一般化表示数量关系：如拼摆 x 个正方形需小棒根数 ； 简化实际问题建模：如门票费 （成人 x 名，学生 y 名）。 示例：李华去年年龄：；5年后年龄：； 商品售价：（成本 a 元，提价15%后八折）。 3. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 二、代数式的分类 4. 单项式 定义：数与字母的 乘积（如 ）。 系数：数字因数（如  的系数是 -15）； 次数：所有字母指数的和（如 是 2次， 是 4次）； 特例：单独一个数（如 5）是 0次单项式；π 是常数，不作为字母。 5. 多项式 定义：几个单项式的 和（如 ）。 项：组成多项式的每个单项式（如 的项是）； 次数：次数最高的项的次数（如  是 3次多项式）。 6. 整式：单项式与多项式统称整式。 三、代数式的实际应用 7. 列代数式解决实际问题 8. 求代数式的值 代入具体数值计算，按照代数式中的运算顺序计算。 四、探究规律与拓展 9. 代数式的值随字母变化 10. “数值转换机”程序 五、总结： 代数式是数与字母的运算组合，用于抽象表示数量关系；单项式与多项式是整式的两类，需掌握系数、次数、项的概念； 实际应用的关键：将问题转化为代数式并求值。 学习建议： 多练习从实际问题中抽象代数式（如商品折扣、几何体积）；用表格探究代数式值的变化规律，理解函数思想萌芽。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列说法错误的是（　　） A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 B．是多项式 C．πxy2的系数是π D．﹣22xab2的次数是6 2．在代数式x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，，7x3中，整式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．代数式2a﹣b表示的意义是（　　） A．a与b的差的2倍 B．a的2倍与b的差 C．a与b的差 D．a与b的2倍的差 4．已知m＝4n﹣4，则（m﹣4n）2﹣3（m﹣4n）﹣10的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．18 D．﹣38 5．一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 6．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为18的是（　　） A．x＝3，y＝2 B．x＝2，y＝3 C．x＝3，y＝﹣2 D．x＝2，y＝﹣3 7．多项式3x|m|y3﹣（m+1）x+2是四次三项式，n是最高次项的系数，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 8．在特定的实验装置和相对稳定的条件下，对玉米植株进行了连续1小时光照处理，测得植株体内有机物增加了a毫克；还进行了连续1小时黑暗处理，测得植株内有机物减少了b毫克．在光照强度、温度等条件不变情况下，对植株进行光照和黑暗处理共24小时，则光照处理的时间最少应超过（　　）（用含有a、b的式子表示）小时，该植株体内才能积累有机物． A． B． C． D． 9．受新冠疫情和国际形势影响，某油品价格在一个月内两次上涨，其中第二次上涨率是第一次上涨率的一半．若第一次上涨前价格为a元，第二次上涨率为x，则经历两次上涨后的价格为（　　） A．a（1+3x）2 B．a（1+3x） C．a（1+x）2 D．a（1+x）（1+2x） 10．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为（y﹣12）cm； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（x﹣y+4）cm； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题预习（24分） 11．请写出一个只含有字母a的二次三项式 　 　 ． 12．“x的3倍与y的差”用代数式表示为 　　 ． 13．单项式﹣πx2y3的次数是 　　 ． 14．代数式为二次　　 项式． 15．如果x2﹣3x＝2，那么2x2﹣6x+2020＝ 　　 ． 16．如图，已知AB//CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝m°，则∠CDE＝　　 度．（用含m的代数式表示） 三、解答题预习（46分） 17．已知x+2y＝1，求2x+4y+1的值． 18．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m＝2，求代数式（a+b）3+m﹣（﹣cd）2的值． 19．已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求mn的值． 20．如图，某种T形零件尺寸如图，请用代数式表示阴影部分的周长，并计算当x＝24，y＝15时代数式的值． 21．如图所示的是一个运算程序： （1）当x＝9时，求输出的值； （2）若某数x只经过一次运算就能输出结果，求x的取值范围． 22．某商场为了促销商品，推出了两种优惠方案． 方案一：购买商品满500元，超出部分打八折； 方案二：一律按原价的九折优惠． （1）当购买商品原价为880元时，分别求出两个方案所需价钱，哪种方案更优惠？ （2）已知某商品的原价为x元（x＞500），试说明随着商品价格的变化，哪种方案更优惠？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第三章 整式及其加减 1. 代数式 知识点预习 一、代数式的定义与意义 1. 代数式的定义 用运算符号（+, -, ×, ÷, 乘方）把 数 和 字母 连接而成的式子。单独一个数或字母也是代数式（如 5, -3, a）。 2. 意义 一般化表示数量关系：如拼摆 x 个正方形需小棒根数 ； 简化实际问题建模：如门票费 （成人 x 名，学生 y 名）。 示例：李华去年年龄：；5年后年龄：； 商品售价：（成本 a 元，提价15%后八折）。 3. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。 二、代数式的分类 4. 单项式 定义：数与字母的 乘积（如 ）。 系数：数字因数（如  的系数是 -15）； 次数：所有字母指数的和（如 是 2次， 是 4次）； 特例：单独一个数（如 5）是 0次单项式；π 是常数，不作为字母。 5. 多项式 定义：几个单项式的 和（如 ）。 项：组成多项式的每个单项式（如 的项是）； 次数：次数最高的项的次数（如  是 3次多项式）。 6. 整式：单项式与多项式统称整式。 三、代数式的实际应用 7. 列代数式解决实际问题 8. 求代数式的值 代入具体数值计算，按照代数式中的运算顺序计算。 四、探究规律与拓展 9. 代数式的值随字母变化 10. “数值转换机”程序 五、总结： 代数式是数与字母的运算组合，用于抽象表示数量关系；单项式与多项式是整式的两类，需掌握系数、次数、项的概念； 实际应用的关键：将问题转化为代数式并求值。 学习建议： 多练习从实际问题中抽象代数式（如商品折扣、几何体积）；用表格探究代数式值的变化规律，理解函数思想萌芽。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列说法错误的是（　　） A．2x2﹣3xy﹣1是二次三项式 B．是多项式 C．πxy2的系数是π D．﹣22xab2的次数是6 【解答】解：A、2x2﹣3xy﹣1是二次三项式，故A选项不符合题意； B、，是一个多项式，故B选项不符合题意； C、单项式πxy2的系数是π，故C选项不符合题意； D、﹣22xab2的次数是4，故D选项符合题意， 故选：D． 2．在代数式x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，，7x3中，整式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：在代数式x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，，7x3中，其中x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，7x3是整式，共有5个， 故选：D． 3．代数式2a﹣b表示的意义是（　　） A．a与b的差的2倍 B．a的2倍与b的差 C．a与b的差 D．a与b的2倍的差 【解答】解：代数式意义可以a的2倍与b的差， 故选：B． 4．已知m＝4n﹣4，则（m﹣4n）2﹣3（m﹣4n）﹣10的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．18 D．﹣38 【解答】解：∵m＝4n﹣4， ∴m﹣4n＝﹣4， ∴当m﹣4n＝﹣4时，原式＝（﹣4）2﹣3×（﹣4）﹣10＝18． 故选：C． 5．一个正方形的边长是a，若边长增加2，则这个正方形的面积增加了（　　） A．4 B．2a C．2a+4 D．4a+4 【解答】解：根据题意，得（a+2）2﹣a2＝4a+4． 故选：D． 6．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为18的是（　　） A．x＝3，y＝2 B．x＝2，y＝3 C．x＝3，y＝﹣2 D．x＝2，y＝﹣3 【解答】解：A．∵3＞2，即x＞y， ∴输出结果为（3×2）2＝62＝36， ∴此选项不符合题意； B．∵2＜3，即x＜y， ∴输出结果为2×32＝2×9＝18， ∴此选项符合题意； C．∵3＞﹣2，即x＞y， ∴输出结果为[3×（﹣2）]2＝（﹣6）2＝36， ∴此选项不符合题意； D．∵2＞﹣3，即x＞y， ∴输出结果为[2×（﹣3）]2＝（﹣6）2＝36， ∴此选项不符合题意； 故选：B． 7．多项式3x|m|y3﹣（m+1）x+2是四次三项式，n是最高次项的系数，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【解答】解：由条件可知|m|+3＝4， ∴m＝±1， ∵m+1≠0， ∴m≠﹣1， ∴m＝1， 故选：A． 8．在特定的实验装置和相对稳定的条件下，对玉米植株进行了连续1小时光照处理，测得植株体内有机物增加了a毫克；还进行了连续1小时黑暗处理，测得植株内有机物减少了b毫克．在光照强度、温度等条件不变情况下，对植株进行光照和黑暗处理共24小时，则光照处理的时间最少应超过（　　）（用含有a、b的式子表示）小时，该植株体内才能积累有机物． A． B． C． D． 【解答】解：设光照处理x小时，则黑暗处理（24﹣x）小时． 根据题意，得ax﹣b（24﹣x）＞0， 解得x， ∴光照处理的时间最少应超过小时，该植株体内才能积累有机物． 故选：D． 9．受新冠疫情和国际形势影响，某油品价格在一个月内两次上涨，其中第二次上涨率是第一次上涨率的一半．若第一次上涨前价格为a元，第二次上涨率为x，则经历两次上涨后的价格为（　　） A．a（1+3x）2 B．a（1+3x） C．a（1+x）2 D．a（1+x）（1+2x） 【解答】解：根据题意可知第一次涨价率为2x， 则第一次上涨后的价格为a（1+2x）元， 所以第二次上涨后的价格为a（1+2x）（1+x）元． 故选：D． 10．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为（y﹣12）cm； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（x﹣y+4）cm； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵小长方形的较短的边长为4cm， ∴阴影A的较长边为（y﹣12）cm，较短边为（x﹣8）cm； 阴影B的较长边为12cm． ∵阴影A的较长边与小长方形的较长边相等， ∴小长方形的较长边为：（y﹣12）cm．小长方形的较短边为：x﹣（y﹣12）＝（x+12﹣y）cm． ∴①正确； ∵阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为： （x﹣8）+（x+12﹣y）＝2x﹣y+4． ∴②错误； ∵阴影A和阴影B的周长和为： 2×（y﹣12+x﹣8+12+x﹣y+12） ＝2×（2x+4） ＝4x+8， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值． ∴③正确； ∴阴影A和阴影B的面积和为： （y﹣12）（x﹣8）+12（x+12﹣y） ＝xy﹣8y﹣12x+96+12x+144﹣12y ＝xy﹣20y+240， ∵当x＝20时， xy﹣20y+240＝20y﹣20y+240＝240， ∴当x＝20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． ∴④正确． 综上，正确的结论有：①③④， 故选：C． 二、填空题预习（24分） 11．请写出一个只含有字母a的二次三项式 　a2+2a+1（答案不唯一）　 ． 【解答】解：由多项式的定义可得只含有字母a的二次三项式， 例如：a2+2a+1，答案不唯一． 故答案为：a2+2a+1（答案不唯一）． 12．“x的3倍与y的差”用代数式表示为 　3x﹣y　 ． 【解答】解：表示“x的3倍与y的差”的代数式为3x﹣y． 故答案为：3x﹣y． 13．单项式﹣πx2y3的次数是 　5　 ． 【解答】解：由题意可得，2+3＝5， 故答案为：5． 14．代数式为二次　二　 项式． 【解答】解：多项式由二个单项式组成． 故答案为：二． 15．如果x2﹣3x＝2，那么2x2﹣6x+2020＝ 　2024　 ． 【解答】解：∵x2﹣3x＝2， ∴2x2﹣6x＝4． ∴2x2﹣6x+2020＝4+2020＝2024． 故答案为：2024． 16．如图，已知AB//CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝m°，则∠CDE＝　m　 度．（用含m的代数式表示） 【解答】解：∵AB//CD， ∴∠E＝∠ABE+∠CDE； ∠F＝∠ABF+∠CDF． ∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE， ∴∠ABF＝2∠ABE；∠CDE＝∠CDF． 又∵2∠E﹣∠F＝m°， ∴2（∠ABE+∠CDE）﹣（∠ABF+∠CDF）＝m°， 即：2∠ABE﹣∠ABF+2∠CDE﹣∠CDF＝m°， ∠CDF＝m°， ∴∠CDFm°， 故答案为：m． 三、解答题预习（46分） 17．已知x+2y＝1，求2x+4y+1的值． 【解答】解：由条件可知2x+4y+1＝2（x+2y）+1＝2×1+1＝3． 18．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m＝2，求代数式（a+b）3+m﹣（﹣cd）2的值． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1； 又∵m＝2， ∴原式＝03+2﹣（﹣1）2 ＝0+2﹣1 ＝1． 19．已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求mn的值． 【解答】解：由已知可得，m＝2+4＝6，n， 则mn＝6×（）＝﹣3． 20．如图，某种T形零件尺寸如图，请用代数式表示阴影部分的周长，并计算当x＝24，y＝15时代数式的值． 【解答】解：根据题意和图中的数据可知阴影部分的周长为： 2（x+x+0.5x）+（y+y+3y+3y）＝5x+8y． 原式＝5×24+8×15＝240． 21．如图所示的是一个运算程序： （1）当x＝9时，求输出的值； （2）若某数x只经过一次运算就能输出结果，求x的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝9时，9×2﹣3＝15＜23， 15×2﹣3＝27＞23，输出； （2）2x﹣3≥23， 2x≥26， 解得x≥13． 22．某商场为了促销商品，推出了两种优惠方案． 方案一：购买商品满500元，超出部分打八折； 方案二：一律按原价的九折优惠． （1）当购买商品原价为880元时，分别求出两个方案所需价钱，哪种方案更优惠？ （2）已知某商品的原价为x元（x＞500），试说明随着商品价格的变化，哪种方案更优惠？ 【解答】解：（1）当购买商品原价为880元时， 方案一需：500+（880﹣500）×80%＝804（元）； 方案二需：880×90%＝792（元）； ∵804元＞792元， ∴方案一更优惠． （2）某商品的原价为x元（x＞500）， 方案一所需价钱：500+（x﹣500）×80%＝0.8x+100（元）； 方案二所需价钱：0.9x（元）； ①由0.8x+100＞0.9x，解得x＜1000； ②由0.8x+100＝0.9x，解得x＝1000； ③由0.8x+100＜0.9x，解得x＞1000． ∴当x＜1000时，方案二更优惠； 当x＝1000时，方案一和方案二一样优惠； 当x＞1000时，方案一更优惠． 学科网（北京）股份有限公司 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