2.5.有理数的混合运算 预习学案 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 5. 有理数的混合运算 知识点预习 一、混合运算顺序规则 1. 遵循 “三级四步” 原则： 第一级：括号（由内向外，先小 ( )，再中 [ ]，后大 { }）； 第二级：乘方（如 (-3)2 = 9）； 第三级：乘除（从左到右依次计算）； 第四级：加减（从左到右依次计算）。 口诀：“括号→乘方→乘除→加减” 示例：3+22×()=3+4×()=3− = 二、典型运算技巧 2. 灵活运用运算律 运算律 应用场景 示例 分配律 简化含括号的复杂运算 9 × [ -2/3 + (-5/9) ] = 9×(-2/3) + 9×(-5/9) = -6 -5 = -11 结合律 分组凑整（整十、整百） (-4) × 5 × (-0.25) = [(-4)×(-0.25)] × 5 = 1 × 5 = 5 相反数消去 互为相反数的数配对简化 7 + (-3) - (-3) = 7 + 0 = 7 3. 符号快速处理 乘方优先定号：如 (-2)3 = -8（奇次方为负），(-3)2 = 9（偶次方为正）； 连乘除看负号个数：负号奇数个 → 结果负；负号偶数个 → 结果正。 三、实际应用：24点游戏 4. 规则与策略 目标：用4张牌（红色为负，黑色为正）通过+ - × ÷和括号凑出24或-24； 技巧：优先凑出24的因数组合（如3×8、4×6、12×2）；利用括号改变运算顺序（如7 × (3 + 3 ÷ 7) = 24）；巧用1的特性（如A（1） × 任何数 = 原数）。 示例：牌组 [7, 3, -3, 7] → 7 × [3 - (-3) ÷ 7] = 24 牌组 [3, 3, 8, 8] → 8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24 四、计算器使用与近似数 5. 计算器操作要点 科学记数法输入：3 × 1016 输入为 3e16； 分数转小数：按 ◀ 键切换显示格式。 6. 近似数处理 四舍五入规则：根据精确度要求保留小数位； 实际应用：计算圆柱体积（V = πr²h），测量值精确到0.1 cm，结果取整。 五、总结： 7. 顺序是根基：牢记“括号→乘方→乘除→加减”； 策略是利器：24点游戏锻炼逆向思维与运算灵活性； 工具助验证：计算器处理复杂计算，注意近似数取舍。 8. 学习建议： 每日练习2道混合运算题巩固顺序规则；用扑克牌玩24点游戏提升数感与策略思维！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下面四个算式的计算结果为负数的是（　　） A．（﹣1）﹣（﹣2） B．（﹣1）×（﹣2） C．（﹣1）+（﹣2） D．（﹣1）÷（﹣2） 【解答】解：A、原式＝﹣1+2＝1，不合题意； B、原式＝2，不合题意； C、原式＝﹣3，符合题意； D、原式，不合题意， 故选：C． 2．甲，乙，丙，丁，戊五个人进行五子棋比赛，每两人都要赛一局，规定胜者得2分，平局各得1分，负者得0分．比赛结束后，甲共得4分，乙共得6分，丙共得4分，丁共得2分，那么戊得了多少分？（　　） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 【解答】解：∵胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，且2+0＝1+1， ∴每进行一局比赛共积2分， ∴戊得了24﹣6﹣4﹣2＝4（分）． 故选：B． 3．32×32+32×32+32×32的结果是（　　） A．34 B．35 C．36 D．38 【解答】解：原式＝3×（32×32）＝31+2+2＝35， 故选：B． 4．小明买了一瓶水，喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个瓶子的内直径是8cm．根据图中标出的数据，小明用算式“3.14×（8÷2）2×（10+6）”计算的是（　　） A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余的水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 【解答】解：由算式“3.14×（8÷2）2×（10+6）”可知，算式表示的是瓶子的容积， 故选：B． 5．有个运行程序如图所示，则下列满足该程序的x，y的值是（　　） A．x＝3，y＝5 B．x＝2，y＝2 C．x＝1，y＝2 D．x＝5，y＝4 【解答】解：由程序图可知：2（x+1）+y•（﹣1）＝3， 即2x﹣y＝1． A．当x＝3，y＝5时，2x﹣y＝6﹣5＝1＝1，故满足，选项正确； B．当x＝2，y＝2时，2x﹣y＝4﹣2＝2≠1，故不满足，选项错误； C．当x＝1，y＝2时，2x﹣y＝2﹣2＝0≠1，故不满足，选项错误； D．当x＝5，y＝4时，2x﹣y＝10﹣4＝6≠1，故不满足，选项错误； 故选：A． 6．定义一种新运算“◎”：a◎b＝b2﹣a，则等式5◎x＝4中x的值为（　　） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3 【解答】解：∵a◎b＝b2﹣a，5◎x＝4， ∴x2﹣5＝4， 解得x＝±3， 故选：D． 7．二进制数字由0，1构成，传统的三进制数字由0，1，2构成．例如，十进制数99化为二进制、三进制数过程如下： 99＝1×26+1×25+0×24+0×23+0×22+1×21+1×20＝11000112； 99＝1×34+0×33+2×32+0×31+0×30＝102003． 三进制数211023化为二进制为（　　） A．11001002 B．11010002 C．11100002 D．110010002 【解答】解：将三进制数211023化为十进制为： 所以200÷2＝100……0， 100÷2＝50……0， 50÷2＝25……0， 25÷2＝12……1， 以此类推， 有1÷2＝0……1， ∴将三进制数211023化为二进制为110010002． ∴D选项符合， 故选：D． 8．在一次数学活动课上，刘老师在四张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是4，5，6，7中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，一定不是刘老师在卡片上写的数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【解答】解：最小的和为4，最大的和为7，故a+b＝4，c+d＝7． 若a＝1，则b＝3（因1+3＝4）．此时c≥3，d≥3，且c+d＝7．可能的组合为c＝3，d＝4，即四个数为1，3，3，4．此时所有和为1+3＝4，1+4＝5，3+3＝6，3+4＝7，满足条件． 若a＝2，则b＝2（因2+2＝4）．此时c≥2，d≥2，且c+d＝7．可能的组合为c＝3，d＝4，即四个数为2，2，3，4．此时所有和为2+2＝4，2+3＝5，2+4＝6，3+4＝7，满足条件． 故选：D． 9．德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 时间 强度方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 1250 1100 1000 750 800 高强度 1700 2000 2250 2000 1250 休息 0 0 0 0 0 小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（　　） A．若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B．若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C．小博这5天最少共跑步3050m D．小博这5天最多共跑步5600m 【解答】解：A．若小博每天都选择“低强度”方案，则5天共跑步：1250+1100+1000+750+800＝4900m，结论正确，故不符合题意； B．∵“高强度”要求前一天必须“休息”，第一天可选择“高强度”方案，小博第2天休息， ∴第3天选择“高强度”方案，要使跑步最多，小博第一天必选择“高强度”方案，因此他这5天最多共跑步：1700+0+2250+750+800＝5500m，结论正确，故不符合题意； C.5天最少跑步，则必须选择“低强度”方案，由于第1天不能休息且不能连续两天及以上时间休息，若选择第2天、第4休息时，共跑步：1250+0+1000+0+800＝3050m，若选择第2天、第5天休息，共跑步：1250+0+1000+750+0＝3000m，所以，这5天最少跑步为3000m，结论错误，符合题意； D.5天最多跑步，则第1天必须选择“高强度”方案，若后面不休息，共跑步：1700+1100+1000+750+800＝5350m，若选择第2天休息，共跑步：1700+0+2250+750+800＝5500m，若选择第3天休息，共跑步：1700+1100+0+2000+800＝5600m，若选择第4天休息，共跑步：1700+1100+1000+0+800＝4600m，所以，这5天最多跑步为5600m，结论正确，不符合题意； 故选：C． 10．将图1中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x， 如图1中是周长为40的长方形，可得y+（3x+y）+y+x+y＝20， 解得：x+y＝5， 将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示， 如图，图2中长方形的周长为58， ∴AB+x+y+x+y+2x+y+y﹣x＝29， ∴AB＝29﹣3x﹣4y， 根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形ABCD的周长， ∴2（AB+AD） ＝2×（29﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x） ＝2×（29﹣x﹣y） ＝58﹣2（x+y） ＝58﹣2×5 ＝48， 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　﹣7　 ． 【解答】解：∵m、n互为相反数，c、d互为倒数， ∴m+n＝0，cd＝1， ∴m+n+3cd﹣10 ＝0+3×1﹣10 ＝0+3﹣10 ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 12．计算：0.583×202.3+2.036×202.3+7.381×202.3＝　2023　 ． 【解答】解：原式＝（0.583+2.036+7.381）×202.3 ＝10×202.3 ＝2023． 故答案为：2023． 13．已知a*b＝2a+3b，则　7　 ． 【解答】解：根据新定义可得：原式＝27． 故答案为：7． 14．如图是一个数值转换机的示意图，当输入﹣3时，输出的结果是　28　 ． 【解答】解：把x＝﹣3代入得：（﹣3）2×3﹣1+2＝27﹣1+2＝28， 故答案为：28 15．甲、乙两家文具店以定价4元，出售同样一种作业本．甲店打七五折出售，乙店按“买四送一”的方式出售．王新要买10本这样的作业本，到　甲　 店买更省钱，可以省　2　 元钱． 【解答】解：由题意可得， 在甲店购买需要的钱数为：4×10×0.75＝30（元）， 10÷（4+1）＝2， 在乙店购买需要的钱数为：4×（4×2）＝32（元）， ∵30＜32，32﹣30＝2（元）， ∴到甲店买更省钱，可以省2元， 故答案为：甲，2． 16．学校在科技节活动中有一个数学寻宝游戏．奖品放在一个上锁的宝箱中，宝箱的密码锁有红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键，只有按照正确颜色顺序依次按动按键才能打开宝箱获得奖品．游戏的线索如下：a．每个按键颜色对应一个数字（数字为1﹣60的整数）；b．每两个按键颜色代表的数字之和如表所示；c．按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱． 按键颜色 红、黄 黄、蓝 蓝、绿 绿、紫 紫、红 数字之和 62 55 73 68 42 （1）小明思考后立刻正确说出了对应数字最大的按键颜色，这个颜色是 　绿　 ； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是：　绿黄红蓝紫　 ． 【解答】解：（1）红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键所对应的数字和： （62+55+73+68+42）÷2 ＝300÷2 ＝150， 红：150﹣55﹣68＝27， 黄：62﹣27＝35， 蓝：55﹣35＝20， 绿：73﹣20＝53， 紫：68﹣53＝15， ∵53＞35＞27＞20＞15， ∴这个颜色是绿． 故答案为：绿； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是：绿黄红蓝紫． 故答案为：绿黄红蓝紫． 三、解答题预习（46分） 17．计算：． 【解答】解：原式＝﹣1﹣0.5（2﹣9） ＝﹣1（﹣7） ＝﹣1 ． 18．简便计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1） ＝9+1 ＝10． （2） ； （3） ； （4） ＝9﹣6+15 ＝18． 19．粮库三天内发生粮食进出库的吨数如下：+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20．（其中“+”表示进库，“﹣”表示出库） （1）经过这三天，仓库管理员结算发现库里还存粮480吨，那么三天前库里存粮多少吨？ （2）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这三天要付多少装卸费？ 【解答】解：（1）480+20+38﹣34+15+32﹣26＝525（吨）， 即三天前库里存粮525吨； （2）（26+32+15+34+38+20）×5 ＝165×5 ＝825（元）， 即这三天要付825元装卸费． 20．应用题 （1）为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ （2）典典打算每天跳绳600下，有一天前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 【解答】解：（1）120×8÷（120+40）＝6（天）， 8﹣6＝2（天）， 答：可以提前2天修完． （2）（600﹣240）÷（240÷2） ＝360÷120 ＝3（分钟）， 答：还要跳3分钟才能完成任务． 21．阅读下列材料： 在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，，再把所得结果相加． 思路2：先求出和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． （1）上述三种思路中，不正确的是思路 　1　 ； （2）请选择一种正确的思路计算：． 【解答】解：（1）用分别除以，，再把所得结果相加是错误的， 故答案为：1； （2）∵ ＝﹣90﹣28+63+50 ＝﹣118+113 ＝﹣5， ∴． 22．定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值． 【解答】解：（1）（﹣4）*2 ＝（﹣4）2+（﹣4）×2 ＝16﹣8 ＝8； （2）因为a*2＝1，a≠0， 所以a2+2a＝1， 所以1﹣a2＝2a， 所以a*（﹣1） ＝a﹣1+a×（﹣1） ＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 5. 有理数的混合运算 知识点预习 一、混合运算顺序规则 1. 遵循 “三级四步” 原则： 第一级：括号（由内向外，先小 ( )，再中 [ ]，后大 { }）； 第二级：乘方（如 (-3)2 = 9）； 第三级：乘除（从左到右依次计算）； 第四级：加减（从左到右依次计算）。 口诀：“括号→乘方→乘除→加减” 示例：3+22×()=3+4×()=3− = 二、典型运算技巧 2. 灵活运用运算律 运算律 应用场景 示例 分配律 简化含括号的复杂运算 9 × [ -2/3 + (-5/9) ] = 9×(-2/3) + 9×(-5/9) = -6 -5 = -11 结合律 分组凑整（整十、整百） (-4) × 5 × (-0.25) = [(-4)×(-0.25)] × 5 = 1 × 5 = 5 相反数消去 互为相反数的数配对简化 7 + (-3) - (-3) = 7 + 0 = 7 3. 符号快速处理 乘方优先定号：如 (-2)3 = -8（奇次方为负），(-3)2 = 9（偶次方为正）； 连乘除看负号个数：负号奇数个 → 结果负；负号偶数个 → 结果正。 三、实际应用：24点游戏 4. 规则与策略 目标：用4张牌（红色为负，黑色为正）通过+ - × ÷和括号凑出24或-24； 技巧：优先凑出24的因数组合（如3×8、4×6、12×2）；利用括号改变运算顺序（如7 × (3 + 3 ÷ 7) = 24）；巧用1的特性（如A（1） × 任何数 = 原数）。 示例：牌组 [7, 3, -3, 7] → 7 × [3 - (-3) ÷ 7] = 24 牌组 [3, 3, 8, 8] → 8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24 四、计算器使用与近似数 5. 计算器操作要点 科学记数法输入：3 × 1016 输入为 3e16； 分数转小数：按 ◀ 键切换显示格式。 6. 近似数处理 四舍五入规则：根据精确度要求保留小数位； 实际应用：计算圆柱体积（V = πr²h），测量值精确到0.1 cm，结果取整。 五、总结： 7. 顺序是根基：牢记“括号→乘方→乘除→加减”； 策略是利器：24点游戏锻炼逆向思维与运算灵活性； 工具助验证：计算器处理复杂计算，注意近似数取舍。 8. 学习建议： 每日练习2道混合运算题巩固顺序规则；用扑克牌玩24点游戏提升数感与策略思维！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下面四个算式的计算结果为负数的是（　　） A．（﹣1）﹣（﹣2） B．（﹣1）×（﹣2） C．（﹣1）+（﹣2） D．（﹣1）÷（﹣2） 2．甲，乙，丙，丁，戊五个人进行五子棋比赛，每两人都要赛一局，规定胜者得2分，平局各得1分，负者得0分．比赛结束后，甲共得4分，乙共得6分，丙共得4分，丁共得2分，那么戊得了多少分？（　　） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 3．32×32+32×32+32×32的结果是（　　） A．34 B．35 C．36 D．38 4．小明买了一瓶水，喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个瓶子的内直径是8cm．根据图中标出的数据，小明用算式“3.14×（8÷2）2×（10+6）”计算的是（　　） A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余的水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 5．有个运行程序如图所示，则下列满足该程序的x，y的值是（　　） A．x＝3，y＝5 B．x＝2，y＝2 C．x＝1，y＝2 D．x＝5，y＝4 6．定义一种新运算“◎”：a◎b＝b2﹣a，则等式5◎x＝4中x的值为（　　） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3 7．二进制数字由0，1构成，传统的三进制数字由0，1，2构成．例如，十进制数99化为二进制、三进制数过程如下： 99＝1×26+1×25+0×24+0×23+0×22+1×21+1×20＝11000112； 99＝1×34+0×33+2×32+0×31+0×30＝102003． 三进制数211023化为二进制为（　　） A．11001002 B．11010002 C．11100002 D．110010002 8．在一次数学活动课上，刘老师在四张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是4，5，6，7中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，一定不是刘老师在卡片上写的数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 9．德胜中学初一年级举办“悦跑”活动，小博同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，如表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：m）． 时间 强度方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 1250 1100 1000 750 800 高强度 1700 2000 2250 2000 1250 休息 0 0 0 0 0 小博定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案）；第1天不能休息且不能连续两天及以上时间都休息．小博根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（　　） A．若小博每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步4900m B．若小博第2天休息，则他这5天最多共跑步5500m C．小博这5天最少共跑步3050m D．小博这5天最多共跑步5600m 10．将图1中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．44 B．48 C．46 D．50 二、填空题预习（24分） 11．已知m、n互为相反数，c、d互为倒数，则m+n+3cd﹣10的值为 　 　 ． 12．计算：0.583×202.3+2.036×202.3+7.381×202.3＝　 　 ． 13．已知a*b＝2a+3b，则　 　 ． 14．如图是一个数值转换机的示意图，当输入﹣3时，输出的结果是　 　 ． 15．甲、乙两家文具店以定价4元，出售同样一种作业本．甲店打七五折出售，乙店按“买四送一”的方式出售．王新要买10本这样的作业本，到　 　 店买更省钱，可以省　 　 元钱． 16．学校在科技节活动中有一个数学寻宝游戏．奖品放在一个上锁的宝箱中，宝箱的密码锁有红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键，只有按照正确颜色顺序依次按动按键才能打开宝箱获得奖品．游戏的线索如下：a．每个按键颜色对应一个数字（数字为1﹣60的整数）；b．每两个按键颜色代表的数字之和如表所示；c．按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱． 按键颜色 红、黄 黄、蓝 蓝、绿 绿、紫 紫、红 数字之和 62 55 73 68 42 （1）小明思考后立刻正确说出了对应数字最大的按键颜色，这个颜色是 　 　 ； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是：　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．计算：． 18．简便计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．粮库三天内发生粮食进出库的吨数如下：+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20．（其中“+”表示进库，“﹣”表示出库） （1）经过这三天，仓库管理员结算发现库里还存粮480吨，那么三天前库里存粮多少吨？ （2）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这三天要付多少装卸费？ 20．应用题 （1）为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ （2）典典打算每天跳绳600下，有一天前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 21．阅读下列材料： 在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1：用分别除以，，再把所得结果相加． 思路2：先求出和，再用除以这个和． 思路3：先算，再求所得结果的倒数． （1）上述三种思路中，不正确的是思路 　 　 ； （2）请选择一种正确的思路计算：． 22．定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$