第二章 有理数及其运算（知识清单）数学北师大版2024七年级上册

第二章 有理数及其运算 1.大于0的数叫 正数 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 负数 ． 2.数0既不是 正数 ，又不是 负数 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 相反 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 相反意义 的量． 5.有理数的分类： 6.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 7.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 8.绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 9.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 10.有理数的运算 (一)运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 11.科学记数法、近似数 （1）科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． （2）近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 易错点1 化简多重符号 1. 化简关键规则：核心是“奇负偶正”：数清负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个则为正。正号可直接忽略，不影响结果。例如，-(-(-6))有3个负号（奇数），结果为-6；+(+(-2))实际只有1个负号，结果为-2。 2. 易错注意事项 别漏数负号：多层括号易漏算，可逐层拆解，如-[-(-4)]先算内层-(-4)=4，再算外层-4。 区分符号与数值：化简只变符号，数字大小不变，如-(-|-3|)，先得|-3|=3，再化简为3。 例题1．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 易错点2 带“非”字的有理数的分类 1. 分类易错点总结 混淆“非正”“非负”与“正负”：非正数包括负数和0，非负数包括正数和0，不可漏掉0。如“非正有理数”≠负数，还含0。 误将“非整数”等同于分数：非整数是整数以外的有理数，即分数（包括正分数、负分数），注意不包含整数。 2. 注意事项总结 明确“非”的范围：“非”表示“不”，如非负数是“不是负数”，即正数和0，需包含边界值0。 分类不重不漏：按“非”字分类时，先确定对立面，再包含0，如非负整数=正整数+0，避免遗漏或重复。 例题2．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，0，，，，， (1)整数集合：{_______________________________……}； (2)负分数集合：{_______________________________……}； (3)非负有理数集合：{___________________________……}． 【答案】(1)，， (2)， (3)，，0，， 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的性质及有理数的乘方，熟练掌握整数、分数、正有理数的定义是解题的关键． （1）去绝对值，计算乘方后，根据整数的定义解答即可； （2）计算，根据分数的定义解答即可； （3）根据正有理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，属于整数，，属于整数，0属于整数， ∴整数集合：{，，} （2）解：，，，属于正分数，，属于负分数， ∴负分数集合：{， } （3）解：非负有理数集合：{，，0，，}． 易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值 1. 易错点总结 临界点遗漏：化简|a - b|时，未明确a = b这一临界点，只讨论a > b和a < b，忽略此时绝对值为0。 分类条件错误：判断符号时逻辑颠倒，如|x + 3|中，误将x > -3写成x ≥ -3，导致分类重叠。 2. 注意事项总结 先找零点：令绝对值内表达式为0，求出所有临界点，以此划分区间，确保不重不漏。 按区间定符号：在每个区间内确定表达式正负，再去绝对值，如x < -2时，|x + 2| = -(x + 2)，避免符号错误。 例题3．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)， (2)3或或1或 (3)1 【分析】（1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． （3）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴ ． 易错点4 绝对值的几何意义 1. 易错点总结 混淆距离与正负：误将|a - b|理解为a - b的正负，实际它表示数轴上a与b两点的距离，恒非负。如|3 - 5|是2，而非-2。 忽略多解情况：|x|=3表示x到原点距离为3，解为±3，易漏写其中一个解。 2. 注意事项总结 紧扣“距离”本质：任何数的绝对值是它到原点的距离，多个数时是两点间距离，与方向无关。 明确解的完整性：绝对值方程或不等式需考虑所有满足距离条件的数，如|x - 2|=1，解为x=3和x=1，避免漏解。 例题4．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 易错点5 含乘方的有理数的混合运算问题 一、易错点总结 1. 乘方符号易出错，如(-2)2 = 4，但-22 = -4，要区分底数是否带符号 。 2. 混合运算顺序易乱，未先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号也未先算括号内。 二、注意事项 1. 明确乘方符号规则，看准底数与指数关系。 2. 严格遵循“先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内”顺序运算 。 例题5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则进行计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （2）先计算有理数的乘方和括号内的，再计算乘法，然后计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错点6 程序流程图与有理数的混合运算 一、易错点总结 1. 对程序流程理解不清，未按顺序执行步骤，漏掉循环、判断环节，致运算逻辑错误。 2. 有理数运算时，符号、乘方及运算顺序易出错，像乘方底数符号、混合运算步骤混乱。 二、注意事项 1. 梳理程序流程，明确输入、运算、输出及条件判断顺序，分步分析。 2. 强化有理数运算规则，关注符号、乘方意义，严格依“先乘方，后乘除，再加减”运算 。 例题6．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题． (1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n； (2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值． 【答案】(1) (2)或0.5 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数运算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分或两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， ； （2）， 当时，， 当时，； 故m可能为或0.5． 易错点7 有理数的加减混合运算中的实际应用问题 一、易错点总结 1. 实际情境理解偏差，如工程、行程问题中，对工作量、路程等数量关系分析错误，导致列式出错。 2. 运算顺序与符号失误，乘方、乘除、加减混合时，顺序搞错或符号处理不当，使结果偏离实际。 二、注意事项 1. 精读题目，梳理实际问题里的数量关系，明确各量间运算逻辑。 2. 严格遵循有理数混合运算顺序，细致处理符号，运算后结合实际检验结果合理性 。 例题7．苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表： 与标准质量偏差/千克 0 1 2 筐数 15 9 8 7 11 (1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？ (2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？ 【答案】(1)4千克 (2)实际总质量是1490千克，多付了40元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数和有理数的加减混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）最重的一筐多了千克，最轻的一筐量少了千克，则两箱相差4千克； （2）先求得总质量，再乘以4元即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：最重的一筐与最轻的一筐相差4千克． （2）解：（千克）， 实际质量为（千克）， 水果超市多付了（元）． 答：实际总质量是1490千克，多付了40元． 易错点8 有理数的混合运算中的新定义型问题 一、易错点总结 1. 定义理解偏差：未能准确领会新定义的运算规则，比如对符号含义、运算优先级判断错误，导致后续列式和计算失误。 2. 运算习惯干扰：受常规有理数运算顺序和法则影响，在新定义运算中，仍按固有习惯计算，忽略新规则。 二、注意事项 1. 精准解读定义：仔细研读新定义，明确运算规则、涉及的符号意义，可通过简单示例加深理解。 2. 区分新旧运算：遇到新定义型问题，先将其与常规运算区分，严格依据新规则进行列式和计算。 例题8．我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次议程．读懂题意并理解新运算的定义式是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入数据即可算出结论； （2）先把（1）得到的的值代入，再根据新运算的定义式，代入数据即可算出结论． （3）根据新运算的定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ 又由（1）得， ∴ ． （3）解：∵ ∴ 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用有理数的加减运算的法则，有理数的除法的法则，乘方对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故符合题意； 故选：D． 2．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为23，则输出的结果是（    ） A．8 B．6 C．－4 D．10 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的加减乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键． 先将代入数值转换器计算，得到结果为，则需要再将代入数值转换器计算，得到的结果为6，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， 则． 故答案为：B． 3．定义新运算“*”，规定（其中）．例如，．则的值为（    ） A． B． C．4 D．64 【答案】A 【分析】本题考查新定义及有理数的混合运算，根据，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 4．化简： ． ． 比较大小： ． 【答案】 /0.75 【分析】本题主要考查了相反数与绝对值的定义和有理数大小的比较，首先根据相反数、绝对值的定义进行解答，再比较有理数的大小，即可求出答案． 【详解】，， ，，，，， ． 故答案为：，，． 5．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是根据程序列出算式． 先根据程序列出算式，再计算，根据结果判断能否输出，否则进入下一轮计算． 【详解】解：当输入的x为时， ， 输入的x为， ， 最后输出的结果y是， 故答案为：． 6．对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下含乘方的有理数混合运算，按照新定义的运算法则，进行解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 7．计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了运算的优先级以及基本的四则运算，同时涉及到乘方和括号内的运算．熟练掌握运算的优先级，即先乘方、再括号、然后乘除、最后加减，是解题的关键． （1）先进行乘方运算，然后进行括号内的运算，接着进行乘除运算，最后进行加减运算即可． （2）先进行括号内的运算，注意括号内还有乘法和减法，应先进行乘法运算，再进行减法运算，然后进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．对于任意有理数定义一种新运算：，例：．根据这个新的运算方法求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ． 9．把下列各数序号填在相应的集合中： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ (1)负数集合：__________________________________________ (2)分数集合：__________________________________________ (3)非正整数集合：_________________________________________ (4)有理数集合：__________________________________________ 【答案】(1)②③⑤⑦⑧ (2)④⑤⑨ (3)①②③⑦ (4)①②③④⑤⑥⑦⑨ 【分析】本题考查有理数的分类，涉及绝对值运算、乘方运算、相反数定义等知识，先将各数化简，再根据负数定义、分数定义、非正数定义及有理数定义逐个判定即可得到答案，熟记有理数分类是解决问题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，， 负数集合：②③⑤⑦⑧； （2）解：，，，，，， 分数集合：④⑤⑨； （3）解：，，，，，， 非正整数集合：①②③⑦； （4）解：，，，，，， 有理数集合：①②③④⑤⑥⑦⑨． 10．某校七年级一个综合实践小组今天到食堂进行实践活动，帮助食堂管理人员记账，食堂今天购进了筐萝卜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若萝卜每千克元，购买这筐萝卜总共应付款多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重千克； (2)与标准重量相比，筐萝卜总计超过千克； (3)购买这筐萝卜总共应付款元． 【分析】（）根据正、负数的意义，用超出质量最大的减去最小的，然后根据有理数的减法运算进行计算即可； （）用与标准质量的差值乘以对应的筐数，然后相加，根据有理数混合运算的方法计算，如果结果是正数，则超过，是负数，则不足； （）先求出总质量，然后乘以单价即可； 本题考查了正、负数的意义，有理数的混合运算，明确正、负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据表格可知，最轻的是差千克，最重的是超出千克， ∴（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：（千克）， ∵， ∴与标准重量相比，筐萝卜总计超过千克； （3）解：∵筐白萝卜为：（千克）， ∴（元）， ∴购买这筐萝卜总共应付款元． 11．（1）已知是最小的正整数，且、满足，则__________，__________，__________． （2）【阅读】 点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． 【应用】 数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么__________； 若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为__________． 当代数式取最小值时，相应的的值是__________． 【答案】（），，；（）；或；；． 【分析】本题考查了绝对值和偶次幂非负性，数轴上两点的距离，绝对值的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值和偶次幂非负性，有理数概念即可求解； （）根据阅读材料得出，然后再解绝对值方程即可； 根据表示点到和的距离之和即可求解； 根据表示点到，和的距离之和即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， ∴， 故答案为：，，； （）数轴上表示和的两点和之间的距离是， ∵， ∴， ∴或， 解得：或 故答案为：；或； ∵表示点到和的距离之和， ∴取最小值时，， 则的最小值为， 故答案为：； ∵表示点到，和的距离之和， ∴当时，最小值为， 故答案为：． 12．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求 的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即时，则＝＝； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设则＝． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是 ； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了化简绝对值和有理数除法，解题关键是会用分类讨论思想进行分情况解题； （1）根据或两种情况分类讨论，分别求解即可； （2）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b，c都是负数，两种情况分类讨论，分别求解即可； （3）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，得出求解即可． 【详解】（1）解：当时， ①a，b都是正数，即，则， ②当a，b都是负数时，即，则， 故答案为：． （2）解：当时， ①当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，不妨设，则， ②当a，b ，c都是负数，即，则， 故答案为：或． （3）解：当时， a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b ，c都是负数， ∵， ∴a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，不妨设 ，则 ， ，， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数及其运算 1.大于0的数叫 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 ． 2.数0既不是 ，又不是 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 的量． 5.有理数的分类： 6.数轴：规定了 、 和 的 ． 7.相反数：只有 的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 8.绝对值：（1)代数意义：一个 的绝对值是它本身；一个 的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的 ． 9.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1） ；（2） ：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) ．（4） ；（5) ． 10.有理数的运算 (一)运算法则： （1）加法法则：① 两数相加，取 符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的 两数相加，取绝对值 的加数的 ，并用较大的绝对值 较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得 ． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号 ，异号 ，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都 ． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；②正数的任何次幂都是 ，0的任何非零次幂都 ． (6)有理数的混合运算顺序：①先 ，再 ，最后 ；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① :a+b=b+a； ② :ab=ba； （2）结合律: ① ： (a+b)+c=a+(b+c)； ② ：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 11.科学记数法、近似数 （1）科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． （2）近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 易错点1 化简多重符号 1. 化简关键规则：核心是“奇负偶正”：数清负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个则为正。正号可直接忽略，不影响结果。例如，-(-(-6))有3个负号（奇数），结果为-6；+(+(-2))实际只有1个负号，结果为-2。 2. 易错注意事项 别漏数负号：多层括号易漏算，可逐层拆解，如-[-(-4)]先算内层-(-4)=4，再算外层-4。 区分符号与数值：化简只变符号，数字大小不变，如-(-|-3|)，先得|-3|=3，再化简为3。 例题1．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 易错点2 带“非”字的有理数的分类 1. 分类易错点总结 混淆“非正”“非负”与“正负”：非正数包括负数和0，非负数包括正数和0，不可漏掉0。如“非正有理数”≠负数，还含0。 误将“非整数”等同于分数：非整数是整数以外的有理数，即分数（包括正分数、负分数），注意不包含整数。 2. 注意事项总结 明确“非”的范围：“非”表示“不”，如非负数是“不是负数”，即正数和0，需包含边界值0。 分类不重不漏：按“非”字分类时，先确定对立面，再包含0，如非负整数=正整数+0，避免遗漏或重复。 例题2．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，0，，，，， (1)整数集合：{_______________________________……}； (2)负分数集合：{_______________________________……}； (3)非负有理数集合：{___________________________……}． 易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值 1. 易错点总结 临界点遗漏：化简|a - b|时，未明确a = b这一临界点，只讨论a > b和a < b，忽略此时绝对值为0。 分类条件错误：判断符号时逻辑颠倒，如|x + 3|中，误将x > -3写成x ≥ -3，导致分类重叠。 2. 注意事项总结 先找零点：令绝对值内表达式为0，求出所有临界点，以此划分区间，确保不重不漏。 按区间定符号：在每个区间内确定表达式正负，再去绝对值，如x < -2时，|x + 2| = -(x + 2)，避免符号错误。 例题3．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 易错点4 绝对值的几何意义 1. 易错点总结 混淆距离与正负：误将|a - b|理解为a - b的正负，实际它表示数轴上a与b两点的距离，恒非负。如|3 - 5|是2，而非-2。 忽略多解情况：|x|=3表示x到原点距离为3，解为±3，易漏写其中一个解。 2. 注意事项总结 紧扣“距离”本质：任何数的绝对值是它到原点的距离，多个数时是两点间距离，与方向无关。 明确解的完整性：绝对值方程或不等式需考虑所有满足距离条件的数，如|x - 2|=1，解为x=3和x=1，避免漏解。 例题4．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 易错点5 含乘方的有理数的混合运算问题 一、易错点总结 1. 乘方符号易出错，如(-2)2 = 4，但-22 = -4，要区分底数是否带符号 。 2. 混合运算顺序易乱，未先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号也未先算括号内。 二、注意事项 1. 明确乘方符号规则，看准底数与指数关系。 2. 严格遵循“先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内”顺序运算 。 例题5．计算： (1) (2) 易错点6 程序流程图与有理数的混合运算 一、易错点总结 1. 对程序流程理解不清，未按顺序执行步骤，漏掉循环、判断环节，致运算逻辑错误。 2. 有理数运算时，符号、乘方及运算顺序易出错，像乘方底数符号、混合运算步骤混乱。 二、注意事项 1. 梳理程序流程，明确输入、运算、输出及条件判断顺序，分步分析。 2. 强化有理数运算规则，关注符号、乘方意义，严格依“先乘方，后乘除，再加减”运算 。 例题6．小鹏做了一个如图所示的程序图，按要求完成下列各小题． (1)当小鹏输入的数为6时，求输出的结果n； (2)若小鹏某次输入数m后，输出的结果n为．请你写出m可能的2个值． 易错点7 有理数的加减混合运算中的实际应用问题 一、易错点总结 1. 实际情境理解偏差，如工程、行程问题中，对工作量、路程等数量关系分析错误，导致列式出错。 2. 运算顺序与符号失误，乘方、乘除、加减混合时，顺序搞错或符号处理不当，使结果偏离实际。 二、注意事项 1. 精读题目，梳理实际问题里的数量关系，明确各量间运算逻辑。 2. 严格遵循有理数混合运算顺序，细致处理符号，运算后结合实际检验结果合理性 。 例题7．苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表： 与标准质量偏差/千克 0 1 2 筐数 15 9 8 7 11 (1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？ (2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？ 易错点8 有理数的混合运算中的新定义型问题 一、易错点总结 1. 定义理解偏差：未能准确领会新定义的运算规则，比如对符号含义、运算优先级判断错误，导致后续列式和计算失误。 2. 运算习惯干扰：受常规有理数运算顺序和法则影响，在新定义运算中，仍按固有习惯计算，忽略新规则。 二、注意事项 1. 精准解读定义：仔细研读新定义，明确运算规则、涉及的符号意义，可通过简单示例加深理解。 2. 区分新旧运算：遇到新定义型问题，先将其与常规运算区分，严格依据新规则进行列式和计算。 例题8．我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的值为23，则输出的结果是（    ） A．8 B．6 C．－4 D．10 3．定义新运算“*”，规定（其中）．例如，．则的值为（    ） A． B． C．4 D．64 二、填空题 4．化简： ． ． 比较大小： ． 5．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 6．对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 三、解答题 7．计算 (1) (2) 8．对于任意有理数定义一种新运算：，例：．根据这个新的运算方法求的值． 9．把下列各数序号填在相应的集合中： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ (1)负数集合：__________________________________________ (2)分数集合：__________________________________________ (3)非正整数集合：_________________________________________ (4)有理数集合：__________________________________________ 10．某校七年级一个综合实践小组今天到食堂进行实践活动，帮助食堂管理人员记账，食堂今天购进了筐萝卜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若萝卜每千克元，购买这筐萝卜总共应付款多少元？（结果保留整数） 11．（1）已知是最小的正整数，且、满足，则__________，__________，__________． （2）【阅读】 点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离可以表示为． 【应用】 数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么__________； 若点为一动点，其对应的数为，则的最小值为__________． 当代数式取最小值时，相应的的值是__________． 12．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求 的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即时，则＝＝； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设则＝． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是 ； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$