2.4.有理数的乘方 预习学案2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 4. 有理数的乘方 知识点预习 一、乘方的定义与要素 1. 概念 乘方：求 n 个相同因数a 的积的运算（即）。 幂：乘方的结果。 2. 组成部分 名称 符号 含义 示例 底数 相同的因数 中底数是 -3 指数 相同因数的个数 中指数是 3 幂 运算结果 32 读法：读作“a 的 n次方”或“a 的 n 次幂”。 二、乘方运算规则 3. 符号法则 底数符号 指数奇偶性 结果符号 示例 正数 任意 正 (+) 负数 偶数 正 (+) 负数 奇数 负 (-) 0 任意（） 0 三、科学记数法 4. 定义 将大于10或小于-10的数表示为：(, 为整数) 5. 应用场景 大数：人口数量（如14.4亿 = 1.44×109) 小数：微观粒子质量（需扩展至负指数，本节主要讨论大数） 6. 转化步骤 移动小数点：将原数小数点左移至 1位整数（如40,000,000 → 4.0）； 确定指数 n：小数点移动的位数即为 n（如4.0移动7位 → )； 写结果：（如40,000,000 = 4×1074)。 四、总结： 乘方是缩简重复乘法的工具，重点掌握符号规则与运算优先级； 科学记数法是表达大数的科学方式，关键抓住 aa 的范围和 nn 的确定； 实际应用（如细胞分裂、折纸）体现指数增长的威力，需通过练习深化理解。 学习建议：熟记 “奇负偶正” 符号口诀；用移动小数点法快速确定科学记数法的指数 n。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，十天的时间为864000秒，将数据864000用科学记数法表示为（　　） A．86.4×104 B．8.64×104 C．8.64×105 D．0.864×106 【解答】解：864000＝8.64×105． 故选：C． 2．45表示（　　） A．4个5相乘 B．5个4相乘 C．5与4的积 D．5个4相加的和 【解答】解：45表示5个4相乘． 故选：B． 3．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（　　） A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16 【解答】解：∵（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b， ∴（﹣2）2＝a，b3＝8，cb＝a， ∴a＝4，b＝2， ∴c2＝4， ∴c＝±2． 故选：C． 4．已知，若m＝2025，n＝（　　） A．2025 B．4050 C．34060 D．34049 【解答】解：∵， ∴9m＝3n， （32）m＝3n， 32m＝3n， ∴32×2025＝3n， 34050＝3n， n＝34050÷3＝34049， 故选：D． 5．已知a2＝9，b3＝﹣8，求|a+b|的值为（　　） A．1 B．5 C．1或5 D．无法确定 【解答】解：∵a2＝9，b3＝﹣8， ∴a＝±3，b＝﹣2， 当a＝3时， |a+b|＝|3﹣2|＝1， 当a＝﹣3时， |a+b|＝|﹣3﹣2|＝5， 综上，原式的值为1或5， 故选：C． 6．已知43+43+43+43＝4m，34×34×34×34＝3n，则m+n的值为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 【解答】解：∵43+43+43+43＝4m， ∴4×43＝4m， ∴44＝4m， ∴m＝4． ∵34×34×34×34＝3n， ∴316＝3n， ∴n＝16． ∴m+n＝20． 故选：D． 7．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意； C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意； D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．若23×23＝2m，32+32+32＝3n，则m﹣n的值是（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．3 【解答】解：∵23×23＝2m，32+32+32＝3n， ∴26＝2m，27＝3n， ∴m＝6，n＝3， ∴m﹣n＝6﹣3＝3． 故选：D． 9．（　　） A． B． C． D． 【解答】解：原式， 故选：A． 10．计算的式子为（　　） A．2×10+212 B．210+2×12 C．2×10+2×12 D．210+212 【解答】解：2×10+212． 故选：A． 二、填空题预习（24分） 11．截止到2025年4月6日，我国动漫电影《哪吒之魔童闹海》的票房排行世界第五，共计155.8亿元，155.8亿用科学记数法表示为　1.558×1010　 ． 【解答】解：155.8亿＝15580000000＝1.558×1010． 故答案为：1.558×1010． 12．若a，b为实数，且（a+3）2+|b﹣3|＝0，则 　﹣1　 ． 【解答】解：∵（a+3）2+|b﹣3|＝0， ∴a+3＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣3，b＝3， ∴1． 故答案为：﹣1． 13．一个数的平方是4，则这个数是 　±2　 ． 【解答】解：∵4的平方根是±±2， ∴这个数是±2． 答案为：±2． 14．一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作3×104秒运算的次数为 　1.2×1013　 （结果用科学记数法表示）． 【解答】解：它工作3×104秒运算的次数为： （4×108）×（3×104） ＝（4×3）×（108×104） ＝12×1012 ＝1.2×1013． 故答案为：1.2×1013． 15．计算：85，正确结果是　1　 ． 【解答】解：原式＝（23）5 ＝215 ＝1． 故答案为：1． 16．计算13+23+33+43+…+993+1003的值是　25502500　 ． 【解答】解：∵13＝1， 13+23＝9＝32＝（1+2）2， 13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2， 13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2， …， ∴13+23+33+43+…+993+1003＝（1+2+3+4+…+100）2 ＝（）2 ＝50502 ＝25502500． 三、解答题预习（46分） 17．一架从上海飞往东京的航班在途中出现故障，在10分钟内从10000米高空急速跌落至3000米，那么该航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至个位） 【解答】解：10分钟等于600秒，从10000米高空急速跌落至3000米，下降了（10000﹣3000）米， 根据题意可列算式为（10000﹣3000）÷（10×60） ＝7000÷600 ≈12（米）． 答：该航班平均每秒下降12米． 18．中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达1.25×1017次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【解答】解：1.25×1017×60×60×3＝13500×1017＝1.35×1021（次）， 答：它工作3小时可进行1.35×1021次运算． 19．计算：． 【解答】解：原式 ． 20．已知|x|＝5，y2＝16． （1）若x＜y，求x﹣y的值； （2）若xy＜0，求x+y的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，x＝±5，y＝±4， 若x＜y，则x＝﹣5，y＝4x﹣y＝﹣5﹣4＝﹣9； 或x＝﹣5，y＝﹣4，x﹣y＝﹣5﹣（﹣4）＝﹣1； 综上所述，x﹣y的值为﹣1或﹣9； （2）∵|x|＝5，y2＝16， ∴x＝±5，y＝±4， 若xy＜0，则x＝5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4， 当x＝5，y＝﹣4时，x+y＝5+（﹣4）＝1； 当x＝﹣5，y＝4时，x+y＝﹣5+4＝﹣1； 综上所述，x+y的值为1或﹣1． 21．我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为aⓝ（n＝1，2，…），读作“a的圈n次方”．（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：2025②＝ 　1　 ， 　4　 ． （2）若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．其中所有正确结论的序号是 　②④　 ． 【解答】解：（1）∵2025②＝2025÷2025＝1， （） ＝4， 故答案为：1，4； （2）①∵（﹣1）÷（﹣1）＝1＞﹣1， 故①是错误的； ②奇数个负数相除还是负数，偶数个负数相除是正数， 故②是正确的； ③∵（﹣2）÷（﹣2）＝1，2÷2＝1， 故③是错误的； ④∵aⓝ，（）ⓝ＝an﹣2， 故④是正确的； ⑤圈n次方等于它本身的数是1， 故⑤是错误的； 故答案为：②④． 22．为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　380　 人． （2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ （3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　256　 根面． 【解答】解：（1）由表格可得：这一周人数最多的一天比人数最少的一天多300﹣（﹣80）＝380（人）， 故答案为：380； （2）（﹣80﹣30﹣50﹣60+160+300+180）÷7+500＝560（人） 560×30%×14＝2352（元） 答：平均每天的销售额是2352元． （3）由题意得： 第1次捏合后可以拉出2根， 第2次捏合后可以拉出22＝4根， 第3次捏合后可以拉出23＝8根， 第4次捏合后可以拉出24＝16根， …， 第n次捏合后可以拉出2n根， ∴拉面师傅拉完八次后有28＝256根面． 故答案为：256． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 4. 有理数的乘方 知识点预习 一、乘方的定义与要素 1. 概念 乘方：求 n 个相同因数a 的积的运算（即）。 幂：乘方的结果。 2. 组成部分 名称 符号 含义 示例 底数 相同的因数 中底数是 -3 指数 相同因数的个数 中指数是 3 幂 运算结果 32 读法：读作“a 的 n次方”或“a 的 n 次幂”。 二、乘方运算规则 3. 符号法则 底数符号 指数奇偶性 结果符号 示例 正数 任意 正 (+) 负数 偶数 正 (+) 负数 奇数 负 (-) 0 任意（） 0 三、科学记数法 4. 定义 将大于10或小于-10的数表示为：(, 为整数) 5. 应用场景 大数：人口数量（如14.4亿 = 1.44×109) 小数：微观粒子质量（需扩展至负指数，本节主要讨论大数） 6. 转化步骤 移动小数点：将原数小数点左移至 1位整数（如40,000,000 → 4.0）； 确定指数 n：小数点移动的位数即为 n（如4.0移动7位 → )； 写结果：（如40,000,000 = 4×1074)。 四、总结： 乘方是缩简重复乘法的工具，重点掌握符号规则与运算优先级； 科学记数法是表达大数的科学方式，关键抓住 aa 的范围和 nn 的确定； 实际应用（如细胞分裂、折纸）体现指数增长的威力，需通过练习深化理解。 学习建议：熟记 “奇负偶正” 符号口诀；用移动小数点法快速确定科学记数法的指数 n。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，十天的时间为864000秒，将数据864000用科学记数法表示为（　　） A．86.4×104 B．8.64×104 C．8.64×105 D．0.864×106 2．45表示（　　） A．4个5相乘 B．5个4相乘 C．5与4的积 D．5个4相加的和 3．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（　　） A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16 4．已知，若m＝2025，n＝（　　） A．2025 B．4050 C．34060 D．34049 5．已知a2＝9，b3＝﹣8，求|a+b|的值为（　　） A．1 B．5 C．1或5 D．无法确定 6．已知43+43+43+43＝4m，34×34×34×34＝3n，则m+n的值为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 7．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 8．若23×23＝2m，32+32+32＝3n，则m﹣n的值是（　　） A．﹣4 B．0 C．1 D．3 9．（　　） A． B． C． D． 10．计算的式子为（　　） A．2×10+212 B．210+2×12 C．2×10+2×12 D．210+212 二、填空题预习（24分） 11．截止到2025年4月6日，我国动漫电影《哪吒之魔童闹海》的票房排行世界第五，共计155.8亿元，155.8亿用科学记数法表示为　 　 ． 12．若a，b为实数，且（a+3）2+|b﹣3|＝0，则 　 　 ． 13．一个数的平方是4，则这个数是 　 　 ． 14．一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作3×104秒运算的次数为 　 　 （结果用科学记数法表示）． 15．计算：85，正确结果是　 　 ． 16．计算13+23+33+43+…+993+1003的值是　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．一架从上海飞往东京的航班在途中出现故障，在10分钟内从10000米高空急速跌落至3000米，那么该航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至个位） 18．中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达1.25×1017次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 19．计算：． 20．已知|x|＝5，y2＝16． （1）若x＜y，求x﹣y的值； （2）若xy＜0，求x+y的值． 21．我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为aⓝ（n＝1，2，…），读作“a的圈n次方”．（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：2025②＝ 　 　 ， 　 　 ． （2）若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． （3）试说明aⓝ÷aⓜ＝am﹣n（m，n为正整数，且m＞n）． 22．为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　 　 人． （2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ （3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　 　 根面． 学科网（北京）股份有限公司 $$