2.3 有理数的乘除运算 预习学案2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 3. 有理数的乘除减运算 知识点预习 一、有理数乘法 1. 乘法法则 情形 符号规则 计算步骤 示例 同号相乘 正（+） 绝对值相乘 (-4) × (-3) = 12 异号相乘 负（-） 绝对值相乘 5 × (-2) = -10 与0相乘 结果为0 - 0 × (-7) = 0 2. 多个因数相乘 符号规则：负因数的个数为偶数 → 积为正；负因数的个数为奇数 → 积为负。 特例：含0 → 积为0。 例：(-2) × 3 × (-1) = 6（2个负号）； (-1) × 2 × (-3) × (-0.5) = -3（3个负号）。 3. 乘法运算律 运算律 字母表示 应用示例 交换律 a × b = b × a (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12 结合律 (a × b) × c = a × (b × c) [(-2) × 5] × (-3) = (-10) × (-3) = 30 分配律 a × (b + c) = a × b + a × c (-4) × (3 + 2) = (-4)×3 + (-4)×2 = -20 二、倒数（Reciprocal） 4. 倒数定义：若两数乘积为1，则它们互为倒数。 求法：整数 a 的倒数为 ​（如5的倒数是)；分数 ​ 的倒数为（如 −​ 的倒数是 −​)； 特性：0没有倒数（因分母不能为0）。 三、有理数除法 5. 除法法则 情形 符号规则 计算步骤 示例 同号相除 正（+） 绝对值相除 (-12) ÷ (-3) = 4 异号相除 负（-） 绝对值相除 15 ÷ (-5) = -3 0作被除数 结果为0 - 0 ÷ (-8) = 0 0作除数 无意义 - 5 ÷ 0 错误！ 6. 除法转化乘法 核心规则：除以一个数等于乘它的倒数。​ 示例：16÷(−)=16×()=−30​； (−0.75)÷0.25=(−0.75)×4=−3。 四、乘除混合运算 7. 运算步骤 统一为乘法：将除法转化为乘法（除号变乘号，除数取倒数）； 定积的符号：统计负号个数（偶数→正，奇数→负）； 算绝对值：约分或计算数值。 8. 简便技巧 约分优先：分数运算先约分再计算； 带化假：带分数转为假分数； 结合律分组：如 (-4) × 5 × (-0.25) = [(-4)×(-0.25)] × 5 = 1 × 5 = 5。 四、总结： 乘法是基础，符号规则贯穿始终；除法的本质是乘法逆运算，统一转化简化计算； 运算律（尤其分配律）是简化复杂运算的关键。 学习建议： 熟记符号规则，强化倒数概念； 多练混合运算，掌握“先转化、再约分、后计算”的流程！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：的倒数是， 的相反数是， 则的倒数的相反数是． 故选：D． 2．计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正， （﹣2）×（﹣3）＝6． 故选：D． 3．如果□×（﹣2）＝1，则“□”内应填的实数是（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【解答】解：□＝1÷（﹣2）． 故选：D． 4．从﹣5，﹣4，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（　　） A．﹣25 B．25 C．15 D．20 【解答】解：根据题意可知，﹣4×（﹣5）＝20，3×5＝15， ∴20＞15． 故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．零除以任何数都等于零 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1 D．两数相除，商一定大于被除数 【解答】解：A、应为零除以任何不是零的数都等于零，故本选项错误； B、0不能做除数，题中没有限定，故本选项错误； C、一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1，故本选项正确； D、两数相除，商不一定小于被除数，例如（﹣1）÷（﹣1）＝1，商是1，大于被除数﹣1，故本选项错误． 故选：C． 6．若（﹣9）×2024＝m，则（﹣9）×2025可以表示为（　　） A．m+9 B．m﹣9 C．m+1 D．﹣m+1 【解答】解：原式＝（﹣9）×（2024+1）＝（﹣9）×2024+（﹣9）×1， 又∵（﹣9）×2024＝m， ∴（﹣9）×2025＝m﹣9， ∴（﹣9）×2025可以表示为m﹣9． 故选：B． 7．若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【解答】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0． 故选：A． 8．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C． D． 【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）] ＝9 ＝1， 故选：A． 9．已知|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，则xy的值为（　　） A．6或﹣6 B．﹣5或﹣1 C．5或1 D．﹣6或﹣5 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝3或x＝﹣3，y＝2或y＝﹣2， ∵x+y＞0， ∴x＝3，y＝2或y＝﹣2， 当x＝3，y＝2时，xy＝6； 当x＝3，y＝﹣2时，xy＝﹣6； 综上，xy的值为6或﹣6， 故选：A． 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　） A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣1 D．a的值小于3 【解答】解：如图，设5a的十位数字是m，个位数字是n， ∴， ∴，a＝15÷5＝3， ∴乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b﹣1＝101b+10（a+1）﹣1． ∴A，B，C正确，D错误． 故选：D． 二、填空题预习（本24分） 11．﹣|﹣5|＝　﹣5　 ；﹣2025的倒数为　　 ；　　 ． 【解答】解：根据相关定义与性质可得： ﹣|﹣5|＝﹣5， ﹣2025的倒数为， ， 故答案为：﹣5，，． 12．计算：（﹣18）÷（﹣2）＝　9　 ． 【解答】解：（﹣18）÷（﹣2）＝18÷2＝9． 故答案为：9． 13．已知|x|＝3，y2＝4，且xy＜0，则x+y的值是　±1　 ． 【解答】解：∵|x|＝3，y2＝4，xy＜0， ∴x＝3时，y＝﹣2，则x+y＝3﹣2＝1； x＝﹣3时，y＝2，则x+y＝﹣3+2＝﹣1， ∴x+y的值是±1； 故答案为：±1． 14．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买10台这样的电视机需要　20000　 元． 【解答】解：250010＝20000（元）． 故答案为：20000． 15．如图，这6个方格中每个方格都表示一个数，且每相邻三个数之积为6，则x表示的数是　﹣1　 ． 2 a b c x ﹣3 【解答】解：由条件可知2ab＝abc， ∴c＝2， 由条件可知﹣3cx＝6，即﹣3×2x＝6， ∴x＝﹣1， 故答案为：﹣1． 16．下列结论：①若a为有理数，则|a|＞0；②若|a|+|b|＝0，则a﹣b＝0；③若a﹣b＝0，则；④若abc＜0，则，则其中正确的结论的是 　②　 （填序号）． 【解答】解：①∵a为有理数， ∴|a|≥0， 故结论①不正确； ②∵|a|≥0，|b|≥0， 又∵|a|+|b|＝0， ∴a＝0，b＝0， ∴a﹣b＝0， 故结论②正确； ③∵a﹣b＝0， ∴a＝b， 当a＝b≠0时，1， 当a＝b＝0时，没有意义， 故结论③不正确， ④∵abc＜0， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当a、b、c中有两正一负时， 不妨假设a、b为正，c为负， ∴|a|＝a，|b|＝b，|c|＝﹣c， ∴1+1﹣1＝1， （ⅱ）当a、b、c都是负数时， 则|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，|c|＝﹣c， ∴1﹣1﹣1＝﹣3． 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是②． 故答案为：②． 三、解答题预习（46分） 17．计算下面各题． ； ； ． 【解答】解：； ； ． 18．已知|x|＝8，|y|＝6，xy＜0，求x+y的值． 【解答】解：由题意可得：x＝±8，y＝±6，x，y异号， 当x＝8，y＝﹣6时，x+y＝8+（﹣6）＝2， 当x＝﹣8，y＝6时，x+y＝﹣8+6＝﹣2， ∴x+y的值为2或﹣2． 19．已知|x|＝6，|y|＝3． （1）若x＞y，求x+y的值； （2）若xy＜0，求|x﹣y|的值． 【解答】解：（1）由条件可知x＝±6，y＝±3， 若x＞y，则x＝6，y＝3或x＝6，y＝﹣3， ∴x+y＝9或3； （2）若xy＜0，则x＝6，y＝﹣3或x＝﹣6，y＝3， ∴|x﹣y|＝|6﹣（﹣3）|＝9或|x﹣y|＝|﹣6﹣3|＝9， 综上所述：|x﹣y|＝9． 20．如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； （1）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （2）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【解答】解：（1）根据题意，得﹣8＜﹣4＜﹣1＜3＜6，最大数是6，最小数是﹣8， 故差的最小值是：﹣8﹣6＝﹣14． （2）根据题意，得﹣8＜﹣4＜﹣1＜3＜6， 同号数组为3，6，积为3×6＝18； 同号数组为﹣4，﹣8，积为（﹣4）×（﹣8）＝32；同号数组为﹣8，﹣1，积为（﹣1）×（﹣8）＝8；同号数组为﹣4，﹣1，积为（﹣4）×（﹣1）＝4；又4＜8＜18＜32， 故抽取的2张卡片是﹣4、﹣8，它们积最大，最大值是32． 21．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　﹣1　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 【解答】解：（1）因为m与n互为相反数， 所以m+n＝0， 所以t＝0﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）①∵t＝﹣3， ∴m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5， ∴n＝t+4＝﹣3+4＝1， ∴m+n＝﹣5+1＝﹣4； ②当原点在点M的左侧时，m，n，t均为正整数， ∵t＝m+2，n＝m+6， ∴m+t+n ＝m+（m+2）+（m+6） ＝3m+8 ＝3（m+2）+2， ∵m+2为整数， ∴3（m+2）+2 除以3余数是2． 22．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． 【解答】解：（1）根据题意可知， 当a＝5时， ； （2）根据题意可知， 当a＝﹣2时， ； （3）根据题意可知，ab＞0， ∴a，b同为正数或a，b同为负数， 当a，b同为正数，即a＞0，b＞0时， |a|＝a，|b|＝b， ； 当a，b同为负数，即a＜0，b＜0时， |a|＝﹣a，|b|＝﹣b， ； ∴当ab＞0时，的值为2或﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第二章 有理数及其运算 3. 有理数的乘除减运算 知识点预习 一、有理数乘法 1. 乘法法则 情形 符号规则 计算步骤 示例 同号相乘 正（+） 绝对值相乘 (-4) × (-3) = 12 异号相乘 负（-） 绝对值相乘 5 × (-2) = -10 与0相乘 结果为0 - 0 × (-7) = 0 2. 多个因数相乘 符号规则：负因数的个数为偶数 → 积为正；负因数的个数为奇数 → 积为负。 特例：含0 → 积为0。 例：(-2) × 3 × (-1) = 6（2个负号）； (-1) × 2 × (-3) × (-0.5) = -3（3个负号）。 3. 乘法运算律 运算律 字母表示 应用示例 交换律 a × b = b × a (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12 结合律 (a × b) × c = a × (b × c) [(-2) × 5] × (-3) = (-10) × (-3) = 30 分配律 a × (b + c) = a × b + a × c (-4) × (3 + 2) = (-4)×3 + (-4)×2 = -20 二、倒数（Reciprocal） 4. 倒数定义：若两数乘积为1，则它们互为倒数。 求法：整数 a 的倒数为 ​（如5的倒数是)；分数 ​ 的倒数为（如 −​ 的倒数是 −​)； 特性：0没有倒数（因分母不能为0）。 三、有理数除法 5. 除法法则 情形 符号规则 计算步骤 示例 同号相除 正（+） 绝对值相除 (-12) ÷ (-3) = 4 异号相除 负（-） 绝对值相除 15 ÷ (-5) = -3 0作被除数 结果为0 - 0 ÷ (-8) = 0 0作除数 无意义 - 5 ÷ 0 错误！ 6. 除法转化乘法 核心规则：除以一个数等于乘它的倒数。​ 示例：16÷(−)=16×()=−30​； (−0.75)÷0.25=(−0.75)×4=−3。 四、乘除混合运算 7. 运算步骤 统一为乘法：将除法转化为乘法（除号变乘号，除数取倒数）； 定积的符号：统计负号个数（偶数→正，奇数→负）； 算绝对值：约分或计算数值。 8. 简便技巧 约分优先：分数运算先约分再计算； 带化假：带分数转为假分数； 结合律分组：如 (-4) × 5 × (-0.25) = [(-4)×(-0.25)] × 5 = 1 × 5 = 5。 四、总结： 乘法是基础，符号规则贯穿始终；除法的本质是乘法逆运算，统一转化简化计算； 运算律（尤其分配律）是简化复杂运算的关键。 学习建议： 熟记符号规则，强化倒数概念； 多练混合运算，掌握“先转化、再约分、后计算”的流程！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．的倒数的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 3．如果□×（﹣2）＝1，则“□”内应填的实数是（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 4．从﹣5，﹣4，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（　　） A．﹣25 B．25 C．15 D．20 5．下列说法正确的是（　　） A．零除以任何数都等于零 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1 D．两数相除，商一定大于被除数 6．若（﹣9）×2024＝m，则（﹣9）×2025可以表示为（　　） A．m+9 B．m﹣9 C．m+1 D．﹣m+1 7．若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 8．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C． D． 9．已知|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，则xy的值为（　　） A．6或﹣6 B．﹣5或﹣1 C．5或1 D．﹣6或﹣5 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　） A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣1 D．a的值小于3 二、填空题预习（24分） 11．﹣|﹣5|＝　 　 ；﹣2025的倒数为　 　 ；　 　 ． 12．计算：（﹣18）÷（﹣2）＝　 　 ． 13．已知|x|＝3，y2＝4，且xy＜0，则x+y的值是　 　 ． 14．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买10台这样的电视机需要　 　 元． 15．如图，这6个方格中每个方格都表示一个数，且每相邻三个数之积为6，则x表示的数是　 　 ． 2 a b c x ﹣3 16．下列结论：①若a为有理数，则|a|＞0；②若|a|+|b|＝0，则a﹣b＝0；③若a﹣b＝0，则；④若abc＜0，则，则其中正确的结论的是 　 　 （填序号）． 三、解答题预习（46分） 17．计算下面各题． ； ； ． 18．已知|x|＝8，|y|＝6，xy＜0，求x+y的值． 19．已知|x|＝6，|y|＝3． （1）若x＞y，求x+y的值； （2）若xy＜0，求|x﹣y|的值． 20．如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； （1）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （2）若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 21．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　 　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 22．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$