第22章 一元二次方程（知识清单）数学华东师大版九年级上册

第22章 一元二次方程 知识点一：一元二次方程的概念 ✮一元二次方程的概念： 只含有 个未知数且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。 题型考点：①根据定义判断方程是否为一元二次方程。②根据二次项系数不为0。未知数的最高次数为2求未知字母的值。 注意：一定先将一元二次方程化为一般形式在判断是否为一元二次方程。 知识点二：一元二次方程的一般形式 ✮一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项， 是二次项系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。 题型考点：①把一元二次方程的其他形式化为一般形式并根据一般形式判断项与项的系数。 知识点三： 一元二次方程的解 ✮一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的 的 的值是一元二次方程的解。 题型考点：将一元二次方程的解带入方程中使方程左右两边成立得到新的方程求字母或式子的值。 知识点四：直接开方法解一元二次方程 ✮直接开方法求的一元二次方程： 由平方根的定义可知： ①时，一元二次方程有 的实数根，分别是 或 。他们互为 。 ②当时，一元二次方程有 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 实数根。 ✮直接开方法解的一元二次方程： 同样由平方根的定义可知： ①当时，一元二次方程有 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 实数根。 题型考点：①利用直接开方法解方程。 ②根据根的情况求字母的值或取值范围。 知识点五：配方法 1、配方法解一元二次方程 ✮配方法的定义： 将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 ✮配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程化成 。 ②将 系数化为 。方程的左右两边同时除以 或乘以二次项系数的 。且将 移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上 。 ④把方程的左边写成 ，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 题型考点：①判断完全平方式及根据完全平方式求值。 ②利用配方法解一元二次方程。 2、配方法求二次三项式的最值 ✮配方法求二次三项式的最值： 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 ；若，则为二次三项式的 。 ✮具体步骤： ①提公因式，即提 。 ②配方，在一次项系数后面加上 ，为了式子的值不发生变化，在减去 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 题型考点：①利用配方法求二次三项式的最值。 ②比较式子的大小关系。 知识点六：根的判别式 ✮根的判别式： 用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若 。 ②若 。 ③若 。 题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值 知识点七：利用公式法解一元二次方程——求根公式 ✮求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 ✮公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 题型考点：①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。 知识点八：根与系数的关系 ✮根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。 ①求 。 ②求 。 ✮根与系数的关系的推广应用： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 题型考点：根据根与系数的关系求式子的值。 知识点九： 因式分解法解一元二次方程 1、因式分解的方法 ✮因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 题型考点：①对因式分解进行熟练应用。 2、利用因式分解法解一元二次方程 ✮因式分解法解一元二次方程的基本步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 。 ②对方程的左边进行 ，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为 ，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 题型考点：①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。 知识点十： 整体法或换元法解一元二次方程 ✮整体法或换元法： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 题型考点：利用整体法或换元法解一元二次方程。 知识点十一：一元二次方程的实际应用 ✮列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案。 1、循环比赛问题 ✮比赛问题： 计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）： 。 双循环（两两之间比赛（握手）两次）： 。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 2、平均增长率（下降率）问题 ✮平均增长率（下降率）问题： 计算公式：平均增长类型： 。 平均下降类型： 。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 3、经济销售问题 ✮经济销售问题： 计算公式：总利润＝ 现单利＝ 现数量＝ 特别说明：题目中出现的价格每上涨（下降）a数量会变化b，其中a为涨价（降价）基础，b为变化基数。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 4、图形面积问题 ✮图形面积问题： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 易错点一：忽视使用判别式的前提条件 在使用判别式判断根的情况时，必须确保方程是一元二次方程（）。当题目未明确说明方程类型时，学生容易忽略二次项系数为零的情况。 例题1 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 常见错误：直接使用判别式⇒ ⇒ 正确解法：首先确保二次项系数不为零：；再使用判别式： ⇒ ；综上： 且 例题2 关于x的方程有实数根，求m的取值范围。 常见错误：仅考虑⇒ ⇒⇒ 正确解法：当 (即) 时，是一元二次方程， ⇒ ；当 (即) 时，方程变为，有实数根；综上： 易错点二：因式分解中误用等式性质 在用因式分解法解一元二次方程时，学生常在等式两边同时除以含未知数的代数式，导致丢根。正确做法应为移项使等式右边为0，再分解因式。 例题1 解方程： 常见错误：两边同时除以： 正确解法：移项：；因式分解：；解得： 例题2 解方程： 常见错误：两边除以： ⇒ 正确解法：移项：；因式分解： ⇒；解得： 易错点三：忽略二次项系数 a ≠ 0 的条件 在解决含有参数的一元二次方程问题时，学生常忽略一元二次方程的前提条件（二次项系数），导致解题错误。 例题1 若方程是关于x的一元二次方程，求k的取值范围。 常见错误：仅考虑判别式或其他条件，忽略二次项系数要求 正确解法：由一元二次方程定义： ⇒ 例题2 已知关于x的方程有两个实数根，求m的值。 常见错误：直接使用判别式 ⇒⇒⇒ 正确解法：首先满足二次项系数不为零： ⇒；再使用判别式： ⇒ ⇒ ；综上：且 易错点四：应用题中忽视隐含条件 在列一元二次方程解应用题时，学生常忽视解的实际意义（如正数解、整数解、符合题意的范围等），导致求得错误答案。 例题1 某农场要建一个矩形养鸡场，围墙总长60米。当养鸡场的长和宽各为多少米时，面积最大？最大面积是多少？ 常见错误：设宽为x米，则长为米，面积；求顶点坐标： =，；但未考虑实际问题中长和宽的关系 正确解法：设宽为x米，则长为米，但需满足长＞宽： ⇒ ；当时，长=宽=15米，是正方形，符合要求；最大面积为225平方米 例题2 某商品每件进价40元，售价60元时每天可售出100件。调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10件。若要每天盈利3000元，每件应降价多少元？ 常见错误：设降价x元，则每件利润元，销量件；方程：；解得：；未检验实际意义 正确解法：在解和后，需考虑：降价后售价不能低于进价： ⇒ ；销量应为正整数： ⇒ ；两个解都满足要求，因此每件降价10元或20元均可盈利3000元 易错点五：韦达定理应用中的符号错误 在使用韦达定理（根与系数的关系）时，学生常混淆公式中的符号，特别是忘记根的和公式中的负号。 例题1 已知方程的两根为和，求和的值。 常见错误：误认为 正确解法：由韦达定理：； 例题2 已知方程的两根为和，求 的值。 常见错误：直接计算：，但错误计算 正确解法：；； 易错点六：忽略负根或增根的情况 在解一元二次方程时，学生常忽略负根或增根，特别是当题目有实际意义限制（如长度、数量等必须为正数）时。 例题1 解方程： 常见错误：直接开方得： ⇒ ，忽略了负根： ⇒ 正确解法：；或；∴ 例题2 一个直角三角形的两条直角边相差3 ，斜边长15 ，求两条直角边的长度。 常见错误：设较短的直角边为x ，则另一边为；解得， 但未验证两边之和大于第三边 正确解法：求得 另一边为12；验证：成立； 所以两直角边为9 和12 总结反思 通过对以上易错点的分析，可以发现一元二次方程的常见错误主要集中在概念理解和实际应用上。为避免这些错误： （1）始终牢记二次项系数不为零的前提； （2）使用因式分解法时先移项使等式右边为零； （3） 应用判别式前确认方程类型； （4）解应用题时务必检验解的合理性。 （5）建议建立错题本，定期复习这些典型易错题。 重难点1：根的判别式 涉及知识点： ◎一元二次方程标准形式： ◎根的判别式： ◎根的性质：时有两个不等实根；时有两个相等实根；时无实根 ◎判别式与二次函数图像的关系 解题技巧： ◎先将方程化为标准形式再计算判别式 ◎利用判别式判断根的情况，特别是含参方程 ◎注意隐含条件：二次项系数 ◎结合二次函数图像理解判别式的几何意义 例题精选 例题1：一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 例题2：若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0 例题3：已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 重难点2：韦达定理应用 涉及知识点： ◎韦达定理：若方程的两根为 ，则, ◎对称式：,等 ◎以两数为根的方程： ◎根与系数关系的综合应用 解题技巧： ◎遇到对称式问题，优先考虑韦达定理 ◎求根的关系表达式时，先求出和 ◎注意隐含条件：方程必须有实根（） ◎构造新方程时，利用根的和与积 例题精选 例题1：方程x2﹣2x﹣1＝0的根为，则的值为（　　） A． B．1 C．﹣3 D． 例题2：若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 例题3：已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 重难点3：实际应用问题 涉及知识点： ◎几何问题：面积、长度、运动轨迹等 ◎经济问题：利润最大化、成本最小化等 ◎增长率问题：连续增长、平均增长率等 ◎数字问题：材料型定义 解题技巧： ◎仔细审题，提取关键信息 ◎建立正确的数学模型（方程） ◎注意实际问题的限制条件（如长度>0） ◎解方程后要检验结果的实际意义 ◎对于最值问题，可转化为二次函数求解 例题精选 例题1：在一幅长，宽的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求风景画的面积是整个挂图面积的，那么金边的宽应是多少？（只需列方程） 例题2：某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价． 例题3：阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数． 例题4：据统计，目前某市基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市基站数是目前的4倍，到2026年底，全市基站数最终将达到17.34万座．则2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为　　 A． B． C． D． 重难点4：含参方程问题 涉及知识点： ◎参数对方程根的影响 ◎分类讨论思想 ◎参数与根的关系 ◎二次项系数含参的情况 解题技巧： ◎明确参数位置（二次项系数、一次项系数、常数项） ◎当二次项系数含参时，必须考虑的情况 ◎结合判别式和韦达定理建立关于参数的方程或不等式 ◎根据根的不同要求（实数根、有理根、正根等）进行分类讨论 例题精选 例题1：两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 例题2：已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 例题3：若关于的一元二次方程的常数项为0．求的值． 重难点5：根与系数关系综合应用 涉及知识点： ◎韦达定理的拓展应用 ◎对称多项式与根的关系 ◎根的性质与参数的关系 ◎方程根的分布问题 解题技巧： ◎利用韦达定理将根的关系转化为参数关系 ◎熟悉常见对称多项式表达式 ◎结合二次函数图像分析根的分布 ◎利用根与系数关系求最值 例题精选 例题1：已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 例题2：已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 重难点6：配方法的应用 涉及知识点： ◎完全平方公式 ◎二次代数式的最值问题 ◎配方法的综合应用 解题技巧： ◎利用完全平方公式进行配方 ◎通过配方求最值 ◎利用配方法解决实际问题 例题精选 例题1：设实数、、满足，则代数式的最大值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 例题2：阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）有最小值 　3　． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 例题3：多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为 　 　． 重难点7：绝对值与一元二次方程 涉及知识点： ◎绝对值方程的基本解法 ◎分类讨论思想的应用 ◎含绝对值的二次方程 ◎绝对值方程的几何意义 解题技巧： ◎根据绝对值内的表达式符号进行分类讨论 ◎利用绝对值的几何意义求解 ◎注意解的范围和验证 ◎结合函数图像分析解的情况 例题精选 例题1：阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：x2﹣5|x|﹣6＝0． 解：分两种情况： （1）当x≥0时，原方程可化为：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）． （2）当x＜0时，原方程可化为：x2+5x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝1（舍去）． 综上所述：原方程的解是x1＝6，x2＝﹣6． 任务：请参照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 例题2：分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想又是一个重要的数学方法．例如对于像x2+|x|﹣6＝0这样含有绝对值符号的方程，可采用如下的分类讨论方法： 解：当x≥0时，原方程可化为x2+x﹣6＝0． 解得：x1＝﹣3，x2＝2． ∵x≥0，∴x＝2． 当x＜0时，原方程可化为x2﹣x﹣6＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣2． ∵x＜0，∴x＝﹣2． 综上可得：原方程的解为x1＝﹣2，x2＝2． 仿照上面的解法，解方程：x2+|2x﹣1|﹣4＝0． 重难点8：换元法解一元二次方程 涉及知识点： ◎换元法的基本思想与适用条件 ◎一元二次方程的识别与变形技巧 ◎设元后系数与常数项的对应关系 ◎还原求解与根的检验 解题技巧： ◎观察结构，选取合适的“整体”设为辅助元 ◎通过换元将高次或复合方程降为一元二次标准形 ◎利用因式分解或求根公式快速解出辅助元 ◎将辅助元的解回代原变量，并验证是否满足原方程 ◎对含参方程，结合参数范围讨论根的取舍例题精选 例题1：已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2 例题2：阅读与思考： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0， 解：设x2﹣1＝y， 则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0①， 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝± 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝± ∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣ 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 　转化　的数学思想； （2）请利用以上知识解方程：①（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+4＝0； ②x4﹣3x2﹣4＝0． 例题3：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 3 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 一元二次方程 知识点一：一元二次方程的概念 ✮一元二次方程的概念： 只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 题型考点：①根据定义判断方程是否为一元二次方程。②根据二次项系数不为0。未知数的最高次数为2求未知字母的值。 注意：一定先将一元二次方程化为一般形式在判断是否为一元二次方程。 知识点二：一元二次方程的一般形式 ✮一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项， 是二次项系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。 题型考点：①把一元二次方程的其他形式化为一般形式并根据一般形式判断项与项的系数。 知识点三： 一元二次方程的解 ✮一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解。 题型考点：将一元二次方程的解带入方程中使方程左右两边成立得到新的方程求字母或式子的值。 知识点四：直接开方法解一元二次方程 ✮直接开方法求的一元二次方程： 由平方根的定义可知： ①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是 或 。他们互为 相反数 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 ✮直接开方法解的一元二次方程： 同样由平方根的定义可知： ①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 题型考点：①利用直接开方法解方程。 ②根据根的情况求字母的值或取值范围。 知识点五：配方法 1、配方法解一元二次方程 ✮配方法的定义： 将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 ✮配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程化成 一般式 。 ②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系数的 倒数 。且将 常数项 移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。 ④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 题型考点：①判断完全平方式及根据完全平方式求值。 ②利用配方法解一元二次方程。 2、配方法求二次三项式的最值 ✮配方法求二次三项式的最值： 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 最小值 ；若，则为二次三项式的 最大值 。 ✮具体步骤： ①提公因式，即提 二次项系数 。 ②配方，在一次项系数后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，在减去 一次项系数一半的平方 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 题型考点：①利用配方法求二次三项式的最值。 ②比较式子的大小关系。 知识点六：根的判别式 ✮根的判别式： 用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。 ①若 方程有两个不相等的实数根 。 ②若 方程有两个相等的实数根 。 ③若 方程没有实数根 。 题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值 知识点七：利用公式法解一元二次方程——求根公式 ✮求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 ✮公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 题型考点：①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。 知识点八：根与系数的关系 ✮根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。 ①求 。 ②求 。 ✮根与系数的关系的推广应用： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 题型考点：根据根与系数的关系求式子的值。 知识点九： 因式分解法解一元二次方程 1、因式分解的方法 ✮因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 题型考点：①对因式分解进行熟练应用。 2、利用因式分解法解一元二次方程 ✮因式分解法解一元二次方程的基本步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 0 。 ②对方程的左边进行 因式分解 ，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为 0 ，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 题型考点：①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。 知识点十： 整体法或换元法解一元二次方程 ✮整体法或换元法： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 题型考点：利用整体法或换元法解一元二次方程。 知识点十一：一元二次方程的实际应用 ✮列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程． ④解：准确求出方程的解． ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． ⑥答：写出答案。 1、循环比赛问题 ✮比赛问题： 计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）： 。 双循环（两两之间比赛（握手）两次）： 。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 2、平均增长率（下降率）问题 ✮平均增长率（下降率）问题： 计算公式：平均增长类型： 。 平均下降类型： 。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 3、经济销售问题 ✮经济销售问题： 计算公式：总利润＝ 单利润×数量 现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝ 原数量－（原数量＋） 特别说明：题目中出现的价格每上涨（下降）a数量会变化b，其中a为涨价（降价）基础，b为变化基数。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 4、图形面积问题 ✮图形面积问题： ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 题型考点：①根据解题步骤把实际问题抽象出一元二次方程。②根据解题步骤列方程解决实际问题。 易错点一：忽视使用判别式的前提条件 在使用判别式判断根的情况时，必须确保方程是一元二次方程（）。当题目未明确说明方程类型时，学生容易忽略二次项系数为零的情况。 例题1 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 常见错误：直接使用判别式⇒ ⇒ 正确解法：首先确保二次项系数不为零：；再使用判别式： ⇒ ；综上： 且 例题2 关于x的方程有实数根，求m的取值范围。 常见错误：仅考虑⇒ ⇒⇒ 正确解法：当 (即) 时，是一元二次方程， ⇒ ；当 (即) 时，方程变为，有实数根；综上： 易错点二：因式分解中误用等式性质 在用因式分解法解一元二次方程时，学生常在等式两边同时除以含未知数的代数式，导致丢根。正确做法应为移项使等式右边为0，再分解因式。 例题1 解方程： 常见错误：两边同时除以： 正确解法：移项：；因式分解：；解得： 例题2 解方程： 常见错误：两边除以： ⇒ 正确解法：移项：；因式分解： ⇒；解得： 易错点三：忽略二次项系数 a ≠ 0 的条件 在解决含有参数的一元二次方程问题时，学生常忽略一元二次方程的前提条件（二次项系数），导致解题错误。 例题1 若方程是关于x的一元二次方程，求k的取值范围。 常见错误：仅考虑判别式或其他条件，忽略二次项系数要求 正确解法：由一元二次方程定义： ⇒ 例题2 已知关于x的方程有两个实数根，求m的值。 常见错误：直接使用判别式 ⇒⇒⇒ 正确解法：首先满足二次项系数不为零： ⇒；再使用判别式： ⇒ ⇒ ；综上：且 易错点四：应用题中忽视隐含条件 在列一元二次方程解应用题时，学生常忽视解的实际意义（如正数解、整数解、符合题意的范围等），导致求得错误答案。 例题1 某农场要建一个矩形养鸡场，围墙总长60米。当养鸡场的长和宽各为多少米时，面积最大？最大面积是多少？ 常见错误：设宽为x米，则长为米，面积；求顶点坐标： =，；但未考虑实际问题中长和宽的关系 正确解法：设宽为x米，则长为米，但需满足长＞宽： ⇒ ；当时，长=宽=15米，是正方形，符合要求；最大面积为225平方米 例题2 某商品每件进价40元，售价60元时每天可售出100件。调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10件。若要每天盈利3000元，每件应降价多少元？ 常见错误：设降价x元，则每件利润元，销量件；方程：；解得：；未检验实际意义 正确解法：在解和后，需考虑：降价后售价不能低于进价： ⇒ ；销量应为正整数： ⇒ ；两个解都满足要求，因此每件降价10元或20元均可盈利3000元 易错点五：韦达定理应用中的符号错误 在使用韦达定理（根与系数的关系）时，学生常混淆公式中的符号，特别是忘记根的和公式中的负号。 例题1 已知方程的两根为和，求和的值。 常见错误：误认为 正确解法：由韦达定理：； 例题2 已知方程的两根为和，求 的值。 常见错误：直接计算：，但错误计算 正确解法：；； 易错点六：忽略负根或增根的情况 在解一元二次方程时，学生常忽略负根或增根，特别是当题目有实际意义限制（如长度、数量等必须为正数）时。 例题1 解方程： 常见错误：直接开方得： ⇒ ，忽略了负根： ⇒ 正确解法：；或；∴ 例题2 一个直角三角形的两条直角边相差3 ，斜边长15 ，求两条直角边的长度。 常见错误：设较短的直角边为x ，则另一边为；解得， 但未验证两边之和大于第三边 正确解法：求得 另一边为12；验证：成立； 所以两直角边为9 和12 总结反思 通过对以上易错点的分析，可以发现一元二次方程的常见错误主要集中在概念理解和实际应用上。为避免这些错误： （1）始终牢记二次项系数不为零的前提； （2）使用因式分解法时先移项使等式右边为零； （3） 应用判别式前确认方程类型； （4）解应用题时务必检验解的合理性。 （5）建议建立错题本，定期复习这些典型易错题。 重难点1：根的判别式 涉及知识点： ◎一元二次方程标准形式： ◎根的判别式： ◎根的性质：时有两个不等实根；时有两个相等实根；时无实根 ◎判别式与二次函数图像的关系 解题技巧： ◎先将方程化为标准形式再计算判别式 ◎利用判别式判断根的情况，特别是含参方程 ◎注意隐含条件：二次项系数 ◎结合二次函数图像理解判别式的几何意义 例题精选 例题1：一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 例题2：若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0 【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解， ∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0， 解得：m≤1且m≠0， 故选：D． 例题3：已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形； （2）根据判别式的意义得到△，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形． 【解答】解：（1）是等腰三角形．理由如下： 是方程的根， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）是直角三角形．理由如下： 方程有两个相等的实数根， △， ， ， 是直角三角形． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 重难点2：韦达定理应用 涉及知识点： ◎韦达定理：若方程的两根为 ，则, ◎对称式：,等 ◎以两数为根的方程： ◎根与系数关系的综合应用 解题技巧： ◎遇到对称式问题，优先考虑韦达定理 ◎求根的关系表达式时，先求出和 ◎注意隐含条件：方程必须有实根（） ◎构造新方程时，利用根的和与积 例题精选 例题1：方程x2﹣2x﹣1＝0的根为，则的值为（　　） A． B．1 C．﹣3 D． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， 则原式＝﹣1﹣2＝﹣3． 故选：C． 例题2：若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于的方程的两根之和为，两根之积为，可以得到关于的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题． 【解答】解：设关于的方程的两根分别为，， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ，， ，， 化简，得：，， 整理可得，， 故选：． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 例题3：已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ， 或， 当时，方程变为，无解舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程． 重难点3：实际应用问题 涉及知识点： ◎几何问题：面积、长度、运动轨迹等 ◎经济问题：利润最大化、成本最小化等 ◎增长率问题：连续增长、平均增长率等 ◎数字问题：材料型定义 解题技巧： ◎仔细审题，提取关键信息 ◎建立正确的数学模型（方程） ◎注意实际问题的限制条件（如长度>0） ◎解方程后要检验结果的实际意义 ◎对于最值问题，可转化为二次函数求解 例题精选 例题1：在一幅长，宽的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求风景画的面积是整个挂图面积的，那么金边的宽应是多少？（只需列方程） 【分析】设金边的宽度为，则整个挂画的长为，宽为．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的建立方程即可． 【解答】解：设金边的宽度为，则整个挂画的长为，宽为．由题意，得 ． 【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的来建立方程是关键． 例题2：某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价． 【分析】根据售价每下降1元，其月销售量就增加200盏即可得到销售数量，然后根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可求解． 【解答】解：根据题意，得， 解得（舍，． 当时，； 当时，； 答：每个台灯的售价为37元． 方法二： 设每个台灯降价元． 根据题意，得， 解得，（舍． 当时，，； 当时，，； 答：每个台灯的售价为37元． 【点评】本题考查了用一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系． 例题3：阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+3）， 根据题意得：[10（x+3）+x]（10x+x+3）＝1300， 整理得：x2+3x﹣10＝0， 解得：x1＝﹣5（不符合题意，舍去），x2＝2， ∴10（x+3）+x＝10×（2+3）+2＝52． 答：这个两位数为52． 例题4：据统计，目前某市基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市基站数是目前的4倍，到2026年底，全市基站数最终将达到17.34万座．则2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为　　 A． B． C． D． 【分析】设2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为，利用到2026年底全市基站数量到2024年底全市基站数量年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可． 【解答】解：（万座）， 即2024年底，全市基站数量是6万座， 设2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 即2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 重难点4：含参方程问题 涉及知识点： ◎参数对方程根的影响 ◎分类讨论思想 ◎参数与根的关系 ◎二次项系数含参的情况 解题技巧： ◎明确参数位置（二次项系数、一次项系数、常数项） ◎当二次项系数含参时，必须考虑的情况 ◎结合判别式和韦达定理建立关于参数的方程或不等式 ◎根据根的不同要求（实数根、有理根、正根等）进行分类讨论 例题精选 例题1：两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 例题2：已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， 无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0， 所以方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 整理，得 2﹣k＝0． 解得 k＝2， 此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0． 解此方程，得 x1＝1，x2＝3． 所以方程的另一根为x＝1． 例题3：若关于的一元二次方程的常数项为0．求的值． 【分析】一元二次方程的一般形式是，，是常数且，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【解答】解：由题意，得： ，且， 解得． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 重难点5：根与系数关系综合应用 涉及知识点： ◎韦达定理的拓展应用 ◎对称多项式与根的关系 ◎根的性质与参数的关系 ◎方程根的分布问题 解题技巧： ◎利用韦达定理将根的关系转化为参数关系 ◎熟悉常见对称多项式表达式 ◎结合二次函数图像分析根的分布 ◎利用根与系数关系求最值 例题精选 例题1：已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系以及根与系数的关系是解答的关键． （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 解：（1）解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； （2）解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 例题2：已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】k＝3或4，周长是14或16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论并结合一元二次方程的根的情况进行求解． 根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①，②，③，再由根与系数的关系得出k的值． 解：分两种情况： ①当时，， ， 解得不存在； ②当时，即， ， 解得或， ③当时，同理求得或； 则的周长为：或． 综上所述，当或4时，是等腰三角形．其相应的的周长是14或16． 重难点6：配方法的应用 涉及知识点： ◎完全平方公式 ◎二次代数式的最值问题 ◎配方法的综合应用 解题技巧： ◎利用完全平方公式进行配方 ◎通过配方求最值 ◎利用配方法解决实际问题 例题精选 例题1：设实数、、满足，则代数式的最大值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据已知条件可得，配方法得到原式，依此可得的最大值． 【解答】解： ． 故的最大值是8． 故选：． 【点评】考查了配方法的应用，关键是配方法得到原式． 例题2：阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）有最小值 　3　． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 【分析】（1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解； （3）可得，即可求解． 【解答】解：（1） ， ，即时，有最小值，最小值是3； 故答案为：3． （2）由题意得， ， 当，时，多项式有最小值5； （3）由题意得， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键． 例题3：多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为 　 　． 【解答】解：x2+2y2﹣2xy﹣8y+10 ＝x2+y2﹣2xy+y2﹣8y+16﹣6 ＝（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6． ∵（x﹣y）2+（y﹣4）2≥0， ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6≥﹣6． ∴多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为﹣6． 故答案为：﹣6． 重难点7：绝对值与一元二次方程 涉及知识点： ◎绝对值方程的基本解法 ◎分类讨论思想的应用 ◎含绝对值的二次方程 ◎绝对值方程的几何意义 解题技巧： ◎根据绝对值内的表达式符号进行分类讨论 ◎利用绝对值的几何意义求解 ◎注意解的范围和验证 ◎结合函数图像分析解的情况 例题精选 例题1：阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：x2﹣5|x|﹣6＝0． 解：分两种情况： （1）当x≥0时，原方程可化为：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）． （2）当x＜0时，原方程可化为：x2+5x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝1（舍去）． 综上所述：原方程的解是x1＝6，x2＝﹣6． 任务：请参照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 【解答】解：分两种情况： （1）当x≥0时，原方程可化为：x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）． （2）当x＜0时，原方程可化为：x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1（舍去）． 综上所述：原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 例题2：分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想又是一个重要的数学方法．例如对于像x2+|x|﹣6＝0这样含有绝对值符号的方程，可采用如下的分类讨论方法： 解：当x≥0时，原方程可化为x2+x﹣6＝0． 解得：x1＝﹣3，x2＝2． ∵x≥0，∴x＝2． 当x＜0时，原方程可化为x2﹣x﹣6＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣2． ∵x＜0，∴x＝﹣2． 综上可得：原方程的解为x1＝﹣2，x2＝2． 仿照上面的解法，解方程：x2+|2x﹣1|﹣4＝0． 【解答】解：当2x﹣1≥0，即x≥时，原方程可化为x2+2x﹣5＝0． 解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． ∵x≥0， ∴x＝﹣1+． 当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程可化为x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． ∵x＜0， ∴x＝﹣1． 综上可得：原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1． 重难点8：换元法解一元二次方程 涉及知识点： ◎换元法的基本思想与适用条件 ◎一元二次方程的识别与变形技巧 ◎设元后系数与常数项的对应关系 ◎还原求解与根的检验 解题技巧： ◎观察结构，选取合适的“整体”设为辅助元 ◎通过换元将高次或复合方程降为一元二次标准形 ◎利用因式分解或求根公式快速解出辅助元 ◎将辅助元的解回代原变量，并验证是否满足原方程 ◎对含参方程，结合参数范围讨论根的取舍例题精选 例题1：已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（　　） A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣2 【解答】解：设 x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣2z﹣8＝0， ∴（z﹣4）（z+2）＝0， 解得：z1＝4，z2＝﹣2， 即 x2+y2＝4或 x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴x2+y2＝4． 故选：B． 例题2：阅读与思考： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0， 解：设x2﹣1＝y， 则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0①， 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝± 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝± ∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣ 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 　转化　的数学思想； （2）请利用以上知识解方程：①（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+4＝0； ②x4﹣3x2﹣4＝0． 【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的体现了转化的数学思想． 故答案为：转化； （2）①设y＝x2﹣x，原方程可变为y2﹣5y+4＝0， 则（y﹣4）（y﹣1）＝0， ∴y﹣4＝0或y﹣1＝0， ∴y1＝4，y2＝1， 当y＝4时，x2﹣x＝4，解得x＝； 当y＝1时，x2﹣x＝1，解得x＝ ∴原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝，x4＝． ②设y＝x2，原方程可变为y2﹣3y﹣4＝0， 解得y1＝4，y2＝﹣1， ∵x2≥0， ∴x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2． 例题3：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 【解答】解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，即x2﹣1＝1， 解得x＝±； 当y＝4时，即x2﹣1＝4， 解得x＝±， 所以原方程的解为：x1＝±，x2＝±． 5 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$