第二十四章 相似三角形（复习课件）数学沪教版五四制九年级上册

本初中数学单元复习课件聚焦相似三角形与向量知识整合，通过单元知识图谱系统梳理相似形、比例线段、三角形一边的平行线、相似三角形判定与性质及向量线性运算等核心考点，构建“定义-性质-判定-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于创新采用“考点串讲-题型建模-分层训练”复习策略，如A字模型、一线三等角型等题型归类培养推理意识与几何直观，针对训练结合中考真题提升应用能力，既助力学生巩固知识，又为教师提供高效备课方案，落实数学思维与模型意识的培养。

单元复习课件 第二十四章 相似三角形 沪教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.全面掌握相似三角形的定义、判定定理和性质，同时清晰理解向量的基本概念、线性运算及运算法则，能将相似三角形知识与向量知识进行关联整合，形成完整的知识网络。 3.能够发现生活中与相似三角形相关的实际问题并运用相似三角形的知识进行解决。 2. 熟练运用相似三角形的判定定理和性质解决与相似相关的证明题、计算题，能结合图形特点选择合适的判定方法；掌握向量线性运算在几何图形中的应用，同时能运用数形结合思想分析和解决综合性问题。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、相似形 1.下列说法错误的是( ) D A.相似多边形的对应边成比例 B.相似多边形的对应角相等 C.相似多边形的边数相同 D.所有的矩形都相似 【解析】A选项，相似多边形的对应边成比例，正确，不符合题意；B选项，相似 多边形的对应角相等，正确，不符合题意；C选项，相似多边形的边数相同，正确， 不符合题意；D选项，所有的矩形都相似，错误，符合题意.故选D. 考点串讲 考点二、比例线段 2.已知，，是的三边长，且 ，求： 的值 【解】设，则，，， . 考点串讲 3.若线段PK=10cm,点K是线段PQ的黄金分割点，且PK＞KQ，那么KQ的长为 　　cm. 【解析】解：∵线段PK=10cm,点K是线段PQ的黄金分割点，且PK＞KQ， ∴ = ， ∴KQ= PK= ×10=(5 -5)(cm)， 故答案为：(5 -5)． 4.已知：点P是线段AB的黄金分割点，其中AP较短，若AB=10，则AP=　　． 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，其中AP较短，AB=10， ∴BP= AB= ×10=5 -5， ∴AP=AB-BP=10-(5 -5)=15-5 ， 故答案为： ． 考点二、比例线段 考点串讲 7 考点三、三角形一边的平行线 考点串讲 5.如图，，，， . （1）求 的值； 【解】， . 又，，， ， . 考点三、三角形一边的平行线 （2）求证： . 【证明】，，， . 考点串讲 考点四、三角形的重心 6.边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 　　． 【解析】解：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC，交BC于点D，则BD= AB=1，AB=2， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD= = ， 则重心到边的距离是为： × = ， 故答案为： ． 考点串讲 考点五、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例； 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 7.如图，已知 ，那么下列结论中正确的是( ) C A. B. C. D. 考点串讲 考点六： 相似三角形的判定 8. 开放性试题如图，在 中，点，分别在边， 上.添加一个条件使 ，则这个条件可以是 __________________________.（写出一种情况即可） （答案不唯一） 【解析】， 添加条件： ，可判定. 故答案为 （答案不唯一）. 考点串讲 12 考点七、相似三角形的性质 9.如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为 _____ 【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比是4：9， ∴两个相似三角形的相似比为4：9， ∴它们的对应角平分线的比为4：9． 故答案为：4：9． 4：9 考点串讲 10.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，点D、G分别在边AB、AC上．如果△ABC的边BC长为6，面积为24，那么正方形DEFG的边长 　　． 【解析】解：作AH⊥BC交BC于点H，交DG于点P， 由正方形DEFG得DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG． 由DG∥BC得△ADG∽△ABC，∴ ． ∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH=ED，AP=AH-PH，即 ， ∵△ABC的边BC长为6，面积为24， ∴ ，∴A H=8， 设正方形的边长DE=DG=x,得 ， 解得 ．故正方形DEFG的边长是 ．故答案为： ． 考点七、相似三角形的性质 考点串讲 14 11.已知| |=3，| |=2，且 和 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ____ ) A.3 =2 B.2 =3 C.3 =-2 D.2 =-3 【解析】解：∵| |=3，| |=2，且 和 的方向相反， D 考点八、平面向量的线性运算 ∴ =- ，∴2 =-3 ，故选：D． 12.计算： =　　． 【解析】解：原式= - - +2 =( ) +(2-1) =-3 + ． 故答案为：-3 + ． 考点串讲 15 13.如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC， ． (1)求 的值； (2)联结BE，设 ， ，试用向量 、 表示向量 ． 【解析】解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = ， ∵ = ，∴ = = ，∴ = ； (2)∵ = ， = ，∴ = = ，DE= ， ∴ = + = + ． 考点串讲 16 正A字型 斜A字型（共角） 斜A字型（共边共角） ______________________ 已知： 结论： _____________________ 已知： 结论： _______________________ 已知： 结论： 先得到，再分与 两种情况讨论即可解答. 题型一、 A字模型 题型剖析 17 难关 题型一、 A字模型 1.如图，在中， ，，点为中点，点在上， 当_ ____时， 与以点，， 为顶点的三角形相似. 3或 【解析】为中点，.当 时， ，，.当 时， ，，.综上，或 时， 与以点，，为顶点的三角形相似，故答案为3或 . 题型剖析 18 2.如图，在中，点，， 分别在边，，上， 连接，，已知四边形 是平行四边形，. 若的面积为1，则平行四边形 的面积为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， ，，， ， ，.， ， ， .故选B. 题型剖析 19 正8字型 斜8字型（蝴蝶型） ____________________________ 已知： 结论： __________________________ 已知： 结论： 思路分析 先利用直角三角形的性质及勾股定理求出的长，再根据折叠的性质求得 的长， 从而得到的长，然后证出 ，再根据相似三角形的性质列出比例 式，即可求解. 题型二、 8字模型 题型剖析 20 题型二、 8字模型 3.如图，在边长为 的菱形中， ，过点作于点 ，现 将沿直线翻折至的位置，与 交于点，则 等于_______. 【解析】在中， ，， ，由勾股定理得， .根据折叠的性质可得，. ， ，.设，则，解得 ，故答 案为 . 题型剖析 21 4.如图，中，点，分别是， 的中点，连接，，且,交于 点.若，则 的值是___. 【解析】如图所示，连接 点，分别是， 的中 点，为的中位线，， ， ，.设，则 ， ，. 又， . 又，，， ， 即，， ，. 故答案为 . 题型剖析 22 如图，，将绕公共顶点旋转，连接， . 结论： . 思路分析 当，，共线时，取最小值，为的值，由题意可知， ， 进而可得，所以.根据四边形内角和为 可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出 的长，最后根据中位线定理可得 的长，由此可得结论. 题型三、手拉手旋转模型 题型剖析 23 5.如图，已知正方形的边长为2，对角线 ，相交于点.将绕点 逆时针旋转得到，当，， 三点共线时， 的长为 _______________. 或 【解析】①当在的上方时， 四边形 是正方形， ， 是等腰直角三角形， . ， ， ，， 由勾股定理得，，. ， ，， ， ， . ②当在的下方时，如图.同理可证 ， ， 由勾股定理得， ， .，， ， ，，. 综上所述， 的长为或 . 题型剖析 24 （1）点在线段 上: （2）点在线段 的延长线上: 如图，已知，，三点共线，且 . 题型四、 一线三等角型 结论： 题型剖析 25 题型四、 一线三等角型 6.如图，正方形边长为4，，分别是， 上的两个动点，当点在 上运动时，保持和 垂直，设 . （1）求证： ； 【证明】在正方形中，， . ， ， . 在中， ， ， . （2）当点运动到什么位置时，？求此时 的值. 【解】当点运动到的中点时， . ， 要使，必须有 . 由（1）得，， 当点运动到 的中点时， ，此时 的值为2. 题型剖析 26 7.如图，在中，点，分别在边，上，连接， ，且 ． （1）求证： ； 【证明】 ， , , .又, . （2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且 是等腰三角形时，求 的长． 【解】， ， 是等腰直角三角形， . ， 由勾股定理得 . ①当时， . ， ， ， . 点在上运动（点不与，重合）, 此情况不符合题意. 题型剖析 27 ②当时，如图（1），易证 ， ， . ③当时，如图（2）， ， ，即.又 是等腰直角三角形， . 综上所述， 或1. （2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且 是等腰三角形时，求 的长． 题型剖析 28 1. （2023秋•金山区校级期中）下列两个图形一定相似的是( ____ ) A.两个菱形 B.两个矩形 C.两个正方形 D.两个等腰梯形 【解析】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似， C 故符合题意； D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 针对训练 29 2. （2023秋•金山区校级期中）下列判断不正确的是( ____ ) A. B.如果向量 与 均为单位向量，那么 或 C.如果 ，那么 D.对于非零向量 ，如果 ，那么 【解析】解：A、 ，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； B、如果向量 与 均为单位向量，那么它们的模相等，即 B 原说法错误，故本选项符合题意； C、如果 ，那么 ，原说法正确，故本选项不符合题意； D、对于非零向量 ，如果 ，那么 ，原说法正确，故本选项不符合题意；故选：B． 考点串讲 30 3. （2023秋•崇明区期中）如图，已知，AD是△ABC的中线，E是AD的中点， 则AF：FC= _____ ． 【解析】解：过点D作DH∥BF，交AC于H， 则 = ， = ， ∵AD是△ABC的中线，E是AD的中点， ∴BD=DC，AE=ED， ∴CH=HF，AF=FH， ∴AF：FC=1：2， 故答案为：1：2． 1：2 考点串讲 31 4. （2023秋•长宁区校级期中）已知两个相似三角形的对应角平分线之比为2：5，如果其中较大三角形的周长是8，那么另一个三角形的周长是 　　． 【解析】解：∵两个相似三角形对应角平分线比为2：5， ∴两个相似三角形的相似比为2：5， ∴两个相似三角形的周长比为2：5， ∵较大三角形的周长是8， ∴另一个三角形的周长是 ×8= ， 故答案为： ． 考点串讲 32 5.(2024·崇明区)如图，已知在△ABC中，BC=18，点D在边BC上，DE∥AB，9DE=4AB． (1)求BD的长； (2)联结AD，设 ，试用 、 表示 ． 【解析】解：(1)∵DE∥AB，∴ ， ∵9DE=4AB，∴ ，∴ ， ∴CD=8，∴BD=10； (2)∵ ，∴ ， 由(1)知，BD= = BC，∴ ， ∵ ，∴ = ． 针对训练 33 6.(2023秋·松江区期末)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠BDC=∠DEC．求证： (1)△ADE∽△ACD； (2) ． 【解析】证明：(1)∵∠BDC=∠DEC，∠BDC=∠A+∠ACD，∠DEC=∠A+ADE， ∴∠ADE=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD； (2)∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵∠BDC=∠DEC，∴△DEC∽△BDC， ∴ ，∴CD2=DE•BC．∴ ． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴ ，∴ ． 针对训练 34 课堂总结 感谢聆听! $$