第22章 相似形（高效培优单元测试·提升卷）数学沪科版九年级上册

第22章 相似形单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【详解】解：∵， 当时，， 当时，则， ， 综上所述，k的值为1或． 故选：C 2．如图，直线，直线交分别于点，直线交分别于点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线， ∴、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 3．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， 故选：C． 4．在中，，分别为边，上的点，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．，为边，上的两点，，，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ． ， ． ．， ，． ． 故选：A． 6．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 7．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 8．如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∴点在上， ∴，， 此时点是的中点， ∵， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵为的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 9．如图，四边形中，，，是上的动点（不与点B、C重合），，随着点的运动，的长度也随之变化，已知，，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴， 在 中，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，，设， ∴， 设 ， ∴， 整理得：， 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下， 故选：B 10．如图，在中，于点，于点，为中点，连接，，现有以下结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，，， ∵，于点，于点， ∴， ∴，， ∴，，， ，， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵中， ∴， 整理得， ∴ ∵， ∴， 故①说法正确； ∵为中点，，， ∴， ∴为等边三角形， 故③正确； 当时，， ∴， ∴， 整理得， ∴， 故④结论错误， 综上所述，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比为 ． 【答案】 【详解】∵等边三角形的每个内角都是， ∴等边三角形都相似， ∵两个等边三角形的面积比为， ∴两个等边三角形的角平分线的长度的比的平方为， ∴两个等边三角形的角平分线的长度的比， 故答案为：． 12．如图，，点为边的中点，点在边上，连接交延长线于点，若，，则的长为 ； 【答案】 【详解】解：如图，过作， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 故答案为： 13．“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法．如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物，已知大多数人的眼距长约为，而手臂长约为．若的估测长度为，那么的大致距离为 ． 【答案】500 证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ， ， 根据题意得，，，， ． 即的大致距离为． 故答案为：500． 14．如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 【答案】 2 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知，，求的值． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 16．如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 17．如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 【详解】解：由题意知：，，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， 答：路灯的高为米． 18．如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段长． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作于H， 在中，由勾股定理得， 是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 19．如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴与四边形的面积比的值为． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求． （2）解：∵与位似，且位似比为； ∴，相似比为， ∴， 即与的面积比为． 故答案为：． （3）解：∵与位似，且位似比为； ∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为． 故答案为：． 21．如图，在矩形中，点E为的中点，点G为的中点，点F为上的一个动点，且，连接，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，，求线段的长． 【详解】（1）解：∵点G为的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：∵点E为的中点，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 设，则， ∴， 解得，． 经检验，，是原方程的解且符合题意． ∴线段的长为2或4． 22．在中，分别为的中点，为上一点，且，过点作交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)点在上，且． ①如图2，求证：； ②如图3，从线段上取一点，连接，使．若，求的长． 【详解】（1）证明：如图1： ∵分别为的中点， ∴，， ∵， ∴，是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：如图2： ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图3： ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D， ∴，，， 由垂直平分线的性质知，，， 又， ∴， ∴． 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：由题意知，， ∴，． ∴ ， ∴． ②解：是等腰直角三角形． 理由如下： （方法一）作交于点M，交于点N． ∵， ∴M为的中点． 又， ∴， ∴， ∴N是的中点， ∴是的中位线，． ∵，，且， ∴， ∴， 即E为的中点． 又， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∴是等腰直角三角形． （方法二）设，则． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴，． 由①知， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2 2．如图，直线，直线交分别于点，直线交分别于点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，分别为边，上的点，，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．，为边，上的两点，，，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 7．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 8．如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 9．如图，四边形中，，，是上的动点（不与点B、C重合），，随着点的运动，的长度也随之变化，已知，，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，于点，于点，为中点，连接，，现有以下结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比为 ． 12．如图，，点为边的中点，点在边上，连接交延长线于点，若，，则的长为 ； 13．“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法．如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物，已知大多数人的眼距长约为，而手臂长约为．若的估测长度为，那么的大致距离为 ． 14．如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时， （1）当时，则 ； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知，，求的值． 16．如图，中，点D在边上，满足，若，求的长． 17．如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高． 18．如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求线段长． 19．如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______； (3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______． 21．如图，在矩形中，点E为的中点，点G为的中点，点F为上的一个动点，且，连接，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，，求线段的长． 22．在中，分别为的中点，为上一点，且，过点作交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)点在上，且． ①如图2，求证：； ②如图3，从线段上取一点，连接，使．若，求的长． 23．已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$