专题02 相似三角形三种综合问题 （高效培优专项训练）数学沪科版九年级上册

专题02 相似三角形三种综合问题 题型一：以三角形为背景的相似形综合题 题型二：以四边形为背景的相似形综合题 题型三：与函数的综合 题型一：以三角形为背景的相似形综合题 1．（2025·安徽安庆·三模）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 2．（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）为等腰直角三角形，，D为边的中点，连接． (1)如图1，于点E，交于点F，平分，交于点G． ①求证：． ②连接，求的度数． (2)如图2，过点A作，且，连接交于点P，求证：． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图1，在中，，D在上，，，垂足为点H，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，取的中点F，连接交于点G，若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的长． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图①，在中，已知，，是上一点，连接，作，交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图②，是的中点，连接交于点，连接，若，求的值． 5．（2025·安徽·模拟预测）（1）如图，在中，，，点D是斜边的中点，点E是上一点，连接，过点D作交边于点F．求证：； （2）如图，若点D左移到的三等分点，即，点E是上一点，过点D作． （ⅰ）当点F在边上时，与存在怎样的数量关系？请说明理由； （ⅱ）当点E在上移动时，点F在直线上，此时与又存在怎样的数量关系？请说明理由．    6．（2025·安徽安庆·二模）已知和是有公共顶点的等腰直角三角形，且，． (1)若，在线段上，连接并延长交于，如图． ①求证：； ②求的长． (2)若，点、、在一条直线上，是的中点，是的中点，连接、，如图，求的值． 7．（2025·安徽宣城·三模）如图1，的两条角平分线，相交于点I，． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，交于点F，求证：． 8．（2025·安徽滁州·二模）如图1，分别为的高，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，F为上一点，连接并延长交的延长线于点G，且．若，求的长． 9．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，点在的边上，且，作，交于点，作，交于点． (1)如图1，若是等边三角形，且，求的大小； (2)如图2，作，交于点． （ⅰ）求证：； （ⅱ）设的延长线交于点，若，，求证：． 10．（2025·安徽·三模）如图，在平行四边形中，，E是上一点，，连接交于点O． (1)求证：． (2)过点C作的平行线分别交射线和射线于点G、H，若，， ①求证：； ②求的长． 11．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在中，延长边至点，使，为边上一点，连接交于点． (1)如图，若，，，，求的长； (2)如图，若为的中点，为等边三角形，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，若，，求与之间的数量关系，并说明理由． 12．（2025·安徽亳州·二模）如图，在中，点、分别为、上一点，连接、交于点，若，且． (1)当时，求的长； (2)当，时，求的值． 13．（2025·安徽·一模）如图，在等腰中，，分别在边，上，连接，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，，求的长； (3)若，求的值． 14．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若四边形的面积为，，求的长． 题型二：以四边形为背景的相似形综合题 15．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交射线于点，过点作交射线于点． (1)求证：； (2)如图2，将正方形改成矩形，且，其他条件不变． （i）求的值； （ii）如图3，若点是对角线的中点，且，请画出点及点，并求的值． 16．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 17．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 18．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 19．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）【教材回顾】 （1）如图1，在正方形中，，分别为边，上的点，且，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，，，分别为，上的点，且，交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在正方形中，对角线与交于点，，分别为边，上的动点，且，连接，，若的最小值为，求正方形的边长． 20．（2025·安徽滁州·二模）如图，E是正方形的边的延长线上一点，连接，过点A作，垂足为F，分别与，相交于点G，H，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的值． 21．（2025·安徽六安·三模）为四边形内一点，，，． (1)如图1，，求证：． (2)如图2，为的中点，且． （i）求的值； （ii）求证：． 22．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，G为的中点，点E在边上，且． (1)求证：E为的中点； (2)若F为延长线上一点，，求证：； (3)在（2）的条件下，交于点H，若，，，求的长． 23．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 24．（2025·安徽合肥·二模）在矩形中，点是边的中点，点是边上的点，的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角． (1)如图1，求证：； (2)若点为的中点， 如图，当在上时，求； 如图，连接，当，时，求的长． 25．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 26．（2025·安徽淮南·三模）如图，已知是正方形的边上一点，连接并延长交的延长线于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 27．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为对角线，过点作的垂线，交于点，垂足为点，过点作交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：． 28．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在边长为1的正方形中，点N在线段上，点M在线段的延长线上，且，线段交于点P． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的长． 29．（2025·安徽·二模）在正方形中，，分别是，上的点，且，的垂直平分线分别交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，设与交于点，连接交于点，连接，． 求证：是等腰直角三角形； 若，求的值． 30．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，点在边长为的正方形的内部，且为等边三角形，延长交于，边接，交于，交于． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的值． 31．（2025·安徽池州·二模）如图1，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一点，与相交于点，连接． (1)若点为的中点，则的值为________． (2)如图2，若点为中点，求证：． (3)如图2，若，，且，求的长． 32．（2025·安徽淮北·二模）如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长； (3)如图2，若矩形是正方形，，求的值． 题型三：与函数的综合 33．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2025·安徽滁州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求b，c的值． (2)P是x轴下方该抛物线上一点． ①如图2，若点P在第三象限，且，求点P的坐标． ②射线，分别交该抛物线的对称轴于点D，E．若点D的纵坐标为n，求点E的纵坐标(用含n的代数式表示)． 35．（2025·安徽合肥·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积． 36．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)①二次函数过点，，，则的解析式为______； ②若点是二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 37．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点． (1)求出点，，的坐标； (2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2025·安徽安庆·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 39．（2025·安徽池州·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，． (1)求抛物线的表达式； (2)若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． (3)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 40．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 41．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)点为直线下方的抛物线上一个动点，连接交于点，求的最大值． 42．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点P，使得以C、P、E为顶点的三角形相似，如果存在求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 43．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 44．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 45．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 46．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接，已知，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求E的坐标． (3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标． 47．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 48．（2024·安徽合肥·三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求直线，的函数表达式； (2)如图2，P是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点P作的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线于点D，抛物线对称轴与交于点N，若求的长． 49．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 50．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值． (3)如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2024·安徽芜湖·一模）已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图（1），点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值； (3)如图（2），过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形三种综合问题 题型一：以三角形为背景的相似形综合题 题型二：以四边形为背景的相似形综合题 题型三：与函数的综合 题型一：以三角形为背景的相似形综合题 1．（2025·安徽安庆·三模）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【详解】（1）证明： 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ，即， ∵， ∴，即， 得， 解得． 2．（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）为等腰直角三角形，，D为边的中点，连接． (1)如图1，于点E，交于点F，平分，交于点G． ①求证：． ②连接，求的度数． (2)如图2，过点A作，且，连接交于点P，求证：． 【详解】（1）解：①证明：，，平分， ，； ， ， ． 又， ， ． ②如图1，过点B作，交的延长线于点Q， 则； ∵点D是的中点， ∴； ∵， ∴， ，，； 由①知，， ∴； ∵， ∴， ； ∵， ，即； ∵， ． （2）证明：如图2，过点A作的垂线，交的延长线于点M． 则， ， ， ， ∴； ， ， ， ， ， ， ，， ； ， ，； ， ， ∴， ， ， ， ， ． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图1，在中，，D在上，，，垂足为点H，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，取的中点F，连接交于点G，若． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都为直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）（ⅰ）如图，过A作交CD的延长线于点M，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）由（ⅰ）知， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图①，在中，已知，，是上一点，连接，作，交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：； (3)如图②，是的中点，连接交于点，连接，若，求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图，作交于， ， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作交的延长线于点， ， ∵， ∴，，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的黄金分割， ∴， ∵， ∴． 5．（2025·安徽·模拟预测）（1）如图，在中，，，点D是斜边的中点，点E是上一点，连接，过点D作交边于点F．求证：； （2）如图，若点D左移到的三等分点，即，点E是上一点，过点D作． （ⅰ）当点F在边上时，与存在怎样的数量关系？请说明理由； （ⅱ）当点E在上移动时，点F在直线上，此时与又存在怎样的数量关系？请说明理由．    【详解】解：（1）如图，连接， ∵，，点D是斜边的中点， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）（ⅰ），理由如下： 由（1）得：， 如图，过点D作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （ⅱ）当点E在上移动时，点F在直线上，，理由如下： 如图，过点D作交于点G， 由（ⅰ）得：是等腰直角三角形， ∴，， 当点F在线段上时， 由（ⅰ）得：； 当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当点E在上移动时，点F在直线上，． 6．（2025·安徽安庆·二模）已知和是有公共顶点的等腰直角三角形，且，． (1)若，在线段上，连接并延长交于，如图． ①求证：； ②求的长． (2)若，点、、在一条直线上，是的中点，是的中点，连接、，如图，求的值． 【详解】（1）解：在线段上，和是有公共顶点的等腰直角三角形， ， 又，， ， ， 又， ； 由可得，， ，， ，， ； （2）解：连接，    ∵和是有公共顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵F是中点，G是中点， ∴， ∴，，， ∴，即． ∵ ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 7．（2025·安徽宣城·三模）如图1，的两条角平分线，相交于点I，． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，交于点F，求证：． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． （2）解：在上截取，连接，如图1 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：取中点M，连接，如图2 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·安徽滁州·二模）如图1，分别为的高，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，F为上一点，连接并延长交的延长线于点G，且．若，求的长． 【详解】（1）证明：∵分别为的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 整理得； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴中，， ∵中，， ∴． 9．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，点在的边上，且，作，交于点，作，交于点． (1)如图1，若是等边三角形，且，求的大小； (2)如图2，作，交于点． （ⅰ）求证：； （ⅱ）设的延长线交于点，若，，求证：． 【详解】（1）解：∵，∴， 又，是等边三角形，， ∴， ∴， （2）（ⅰ）∵，， ∴四边形是平行四边形，则． ∵，①故， 又，，，② 且，故，故，③ 由①②③知， （ⅱ）设，的延长线交于点 由（ⅰ）知，∴， 由已知，和均为等腰三角形， ∴， 而， ∴， 又， ∴，即是等腰三角形， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴． ∴，即， 10．（2025·安徽·三模）如图，在平行四边形中，，E是上一点，，连接交于点O． (1)求证：． (2)过点C作的平行线分别交射线和射线于点G、H，若，， ①求证：； ②求的长． 【详解】（1）证明：在平行四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：①∵， ∴， ∵． ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则在中，由得：， 解得：，（舍去）， ∴． 11．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在中，延长边至点，使，为边上一点，连接交于点． (1)如图，若，，，，求的长； (2)如图，若为的中点，为等边三角形，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，若，，求与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， 如图，设，作于点，则， ∵为等边三角形，为中点，为延长线上一点，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由： 如图，取的中点，连接， ∵，， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（2025·安徽亳州·二模）如图，在中，点、分别为、上一点，连接、交于点，若，且． (1)当时，求的长； (2)当，时，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 如图，作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 13．（2025·安徽·一模）如图，在等腰中，，分别在边，上，连接，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若点为中点，，求的长； (3)若，求的值． 【详解】（1）证明：在等腰直角三角形中，， ， ， ， ； （2）解：如图，取的中点，连接， 为中点，为中点， ，， 设，则， ， ， 由（1）得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，解得（负值已舍去）， ； （3）解：如图，在上取一点，使得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若四边形的面积为，，求的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形是菱形； ②过作于，设菱形的边长为，如图： ∵是等边三角形， ， ， ∵菱形的面积为， ，即， （负值已舍去）， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即， ，， ， 解得：或（舍去）， ∴． 题型二：以四边形为背景的相似形综合题 15．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点作交射线于点，过点作交射线于点． (1)求证：； (2)如图2，将正方形改成矩形，且，其他条件不变． （i）求的值； （ii）如图3，若点是对角线的中点，且，请画出点及点，并求的值． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）（i）四边形为矩形，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （ii）点及点如图， 由（i）同理可证：， ， ，， ， ， 点是对角线的中点， ， 由（i）同理可证：， ，， ，，，， ，， ， ，，，， ． 16．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵（矩形的性质），，， ∴， ∴， ∴ ∴整理得，； （2）解：如图所示，过点D作，    ∵，且为的中点， ∴，（矩形的性质）， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 17．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：①由折叠可得：，， 四边形是菱形， ， ， ， ． ， ． ，，． 设，则， ， 解得， ． ②设与交于点M，与交于点N， 由题意得，， ， ， ， ， ， 点N是的黄金分割点， ． ， ， ． 设，则， ． ， ， ． 18．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 【详解】（1）①证明：当时， ∴矩形ABCD是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． （2）如图，延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点H，在上取一点G，连接， 则D为的中点， ∵，为的垂直平分线， ∴， ∵为定值， ∴的周长为， 当点B，F，三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值，此时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 同理，得． 在中，由勾股定理，得． 当时，有最小值， ∴， ∴． 19．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）【教材回顾】 （1）如图1，在正方形中，，分别为边，上的点，且，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，，，分别为，上的点，且，交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在正方形中，对角线与交于点，，分别为边，上的动点，且，连接，，若的最小值为，求正方形的边长． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作，垂足为，连接． ， ． 又， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ． （3）解：如图，连接． ，，， ， ，． 作点关于的对称点，连接， 当点落在与的交点处时，最小， 设正方形的边长为，则， 解得， 故正方形的边长为2． 20．（2025·安徽滁州·二模）如图，E是正方形的边的延长线上一点，连接，过点A作，垂足为F，分别与，相交于点G，H，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上取一点M，使得，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 21．（2025·安徽六安·三模）为四边形内一点，，，． (1)如图1，，求证：． (2)如图2，为的中点，且． （i）求的值； （ii）求证：． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）（i）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，， ∴． （ii）证明：延长至点，使， ∵为的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，，， ∴，即， ∴． 22．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，G为的中点，点E在边上，且． (1)求证：E为的中点； (2)若F为延长线上一点，，求证：； (3)在（2）的条件下，交于点H，若，，，求的长． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， 四边形为平行四边形， ，． 又， ． ， 即为的中点． （2）证明：延长，相交于点，如图． 由（1）知，， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ． ， ， ， ． （3）解：过点作于点，如图． 设，则，． ， ，，． 在中，， ， 解得（舍去）或， ，． ， ， ， ， ． 23．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 【详解】（1）证明：①∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ②∵， ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴ ， 即 （2）解：∴， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 设． ∵， ∴ ∴ 即 解得 (不合题意，舍去)， 24．（2025·安徽合肥·二模）在矩形中，点是边的中点，点是边上的点，的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角． (1)如图1，求证：； (2)若点为的中点， 如图，当在上时，求； 如图，连接，当，时，求的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ； （2）解：设，则， 由（1）知， ， 四边形是矩形， ，， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ； 连接，由（1）知， ， ， ，， ， ， ， 点，，共线， ，， ， ， ，即， 解得：， ． 25．（2025·安徽池州·三模）如图，已知在矩形中，点F，G分别在边上，是的中点，连接，与交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰三角形； (3)连接，当，求的值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点， 是中点， ， ， ， ， 又， 即是的中点， 即， 在中，， 是等腰三角形； （3）解：是的中点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 26．（2025·安徽淮南·三模）如图，已知是正方形的边上一点，连接并延长交的延长线于点，在上取点，连接，使． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即． （2）证明：由（1）得，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵在正方形中， ， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵由（2）得，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 设正方形的边长为1，， ∴， ∴解并检验得：或（舍去）， ∴． 27．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为对角线，过点作的垂线，交于点，垂足为点，过点作交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）知， ， ， ， 又， ， ， ，即， 设，则， 解得，（舍去）， 即； （3）证明：，，， ，，， ， 又，， ， ， ，即， ． 28．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在边长为1的正方形中，点N在线段上，点M在线段的延长线上，且，线段交于点P． (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）已证：， ∴是的斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 29．（2025·安徽·二模）在正方形中，，分别是，上的点，且，的垂直平分线分别交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，设与交于点，连接交于点，连接，． 求证：是等腰直角三角形； 若，求的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 解：设，由可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，点在边长为的正方形的内部，且为等边三角形，延长交于，边接，交于，交于． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的值． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ． （2）如图，过E作的高交于G，并反向延长交于H，则， ∵为等边三角形， ∴平分，， ∵， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得： ， ∵由（1）可知， 又， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 31．（2025·安徽池州·二模）如图1，已知矩形对角线和相交于点，点是边上一点，与相交于点，连接． (1)若点为的中点，则的值为________． (2)如图2，若点为中点，求证：． (3)如图2，若，，且，求的长． 【详解】（1）解：如图， ∵为矩形对角线交点， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过作交于点， ∵， ∴， ∴为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是中点，， ∴， ∴是中点，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 32．（2025·安徽淮北·二模）如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长； (3)如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长交于点G， 矩形， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， 如图，延长交于点G， 正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 题型三：与函数的综合 33．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：令，得， 解得，． 点A在点B的左侧， ，， ． （2）令，得， ． 设直线的解析式为 把点，代入， 得， 解得 直线的解析式为． 轴， 设，则， ， ， 或， 解得，（舍去），，（舍去）． 点M的坐标为或． （3）轴， 设，且，则，， ，，． 和相似，且， 或． 当时，，且， ，即， 解得（舍去），， ； 当时，如图，过点M作轴于点D， 则， ， ，， ，解得（舍去），， 综上，当以点M，P，C为顶点的三角形与相似时，点M的坐标 为或． 34．（2025·安徽滁州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求b，c的值． (2)P是x轴下方该抛物线上一点． ①如图2，若点P在第三象限，且，求点P的坐标． ②射线，分别交该抛物线的对称轴于点D，E．若点D的纵坐标为n，求点E的纵坐标(用含n的代数式表示)． 【详解】（1）解：把点，代入， 得解得 ∴． （2）①当时，． 设点P的坐标是． 如图，过点P作轴于点M， ∴点M的坐标是，，． 令，得， ∴点C的坐标是，． ∵，， ∴， ∴，即， 解得(不符合题意，舍去)或， ∴， ∴点P的坐标是 ②设点P的坐标是． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设直线AP的解析式是， 则解得 ∴． 令，则， ∴． 设直线BP的解析式是， 则解得 ∴． 令，得， ∴点E的纵坐标是． 35．（2025·安徽合肥·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接、，求的面积． 【详解】（1）解：将点代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）得，点， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ． 36．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)①二次函数过点，，，则的解析式为______； ②若点是二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 【详解】（1）当P在上方时，过P作轴于H，如图： ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵轴， ， ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线解析式为，把代入得 ∴ 当在下方时，同理可得， ∴正比例函数的解析式为或； （2）如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中，，， ∴， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为：； （3）①∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； ②如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ①当E在x轴上方时； ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， ②当E在x轴下方时， 同理可得P（，）， 将代入， 解得：=2（舍） =， ∴=3+， 综上，的横坐标为：或或3+． 37．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点． (1)求出点，，的坐标； (2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点， ∴当时，；当时，；当时，； ∴，，； （2）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， 当时， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， 解得：， （不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上：或． 38．（2025·安徽安庆·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：①对于，令，则， ∴； 令，解得， ∴， 则； 轴，， ，解得或1， ， ， 轴， ． ②如图，过点P作交BC于点Q， 设直线BC的解析式为：． 把点B的坐标代入得：，解得， 直线BC的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则． ， ， ， 当时，的最大值为． （2）解：存在满足题意的点P，且； 假设存在点P使得，即． 过点C作轴交抛物线于点F， ， ， 延长CP交x轴于点M， 轴， ， ， 为等腰三角形， ， ， ； 设直线CM的解析式为：， 把点M的坐标代入得：，解得， 直线CM的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 39．（2025·安徽池州·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，． (1)求抛物线的表达式； (2)若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． (3)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入抛物线， 得：，解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点； ∴， ∵将点向右平移个单位，则到达图象上的点， ∴， ∵，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作轴交于，过作轴交于， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵，， ∴直线为， ∵当， 解得：，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 当时，的最大值为， 此时，， ∴． 40．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点是的中点， ∴点， 当时，， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； ②∵点是抛物线上一个动点， ∴，则， 当点在原点上方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 当点在原点下方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的值为或． 41．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)点为直线下方的抛物线上一个动点，连接交于点，求的最大值． 【详解】（1）解：将、代入得， 解得：， ∴； （2）解：过点作轴交交于点， 设直线的解析式为，代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 则， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点； （3）解：如图，过点作轴交直线于点， ∵直线的解析式为，当时，， ∴， ∴， 由（2）可得，轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大， ∴的最大值为． 42．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点P，使得以C、P、E为顶点的三角形相似，如果存在求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将、代入中，得： ， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：令，则， ∴， 又∵、， ∴，，， ∴，，， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以C、P、E为顶点的三角形相似，， ∴或， 当时，，， ∴， ∴点P纵坐标为4， 代入，得， 解得或(舍)； ∴； 当时，， 设，则， ∴，， ∴， 解得，与在第一象限矛盾； 综上所述，． 43．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知，则令时，， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（此时B，P重合，不合题意舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值． 44．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点B的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 则 ∴， ∴， 解得， 把代入，得， 解得，（舍去） ∴点P的横坐标为； ②存在最大值，此时点P的横坐标为，理由如下： ∵， ， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 设点A到的距离为，点D到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 设过点P平行的直线为， 该直线与抛物线只有一个公共点时，最大， 可得方程组， 化简，得， ∴， 解得， 代入，得， 解得， ∴点P的横坐标为． 45．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 把代入，得， 解得，（舍去） ∴点P的横坐标为； ②∵， ， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 设点A到的距离为，点D到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 设过点P平行的直线为， 该直线与抛物线只有一个公共点时，最大， 联立方程组， 化简，得， ∴， 解得， 代入，得， 解得， ∴点P的横坐标为． 46．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接，已知，且抛物线经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求E的坐标． (3)若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得 ，解得：． 故抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ， ， 当时，， ， ， ， 设的解析式为，把，代入得， 解得． ， 如图1，过点作轴的垂线交直线于点，    设点，点，其中， ， ， 或， 解得（舍去），（舍去），，， ，； ∴E的坐标为或． （3）解：在中，当时，， ， ， 如图2，    设，则，，， ①当时，则， ； ②当时，即， ， ； ③当时，点在的垂直平分线上， 则， ， ， ， ， ④当时，， ． 综上所述，点的坐标或或或． 47．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得：． 二次函数的表达式为； （2）解：当D点为线段的中点时，可得 直线的一次函数解析式的值为， ， 直线的一次函数解析式的值为， 设直线的一次函数解析式为， 把代入，可得，解得， 直线的一次函数解析式为， 列方程， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一动点， （3）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， ， ， 为直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 设， 设直线的解析式为， 把代入，可得， 直线的解析式为， ， ， 当时，取最大值为2， 此时， 故线段的最大值为．    48．（2024·安徽合肥·三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求直线，的函数表达式； (2)如图2，P是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点P作的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线于点D，抛物线对称轴与交于点N，若求的长． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， 令得， 解得或， ∴，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； 设直线解析式为'，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：过P作交于G，如图： 设， 在中，令得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最大值； 此时， ∴当的值最大时，点P的坐标为； （3）解：过D作于H，如图： 设， 由可得，抛物线的对称轴为直线， 由，设直线解析式为，将代入得： ， ∴， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（无实数解，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的长为12． 49．（2024·安徽马鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点，点D为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若，求点E的坐标； (3)如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点，和点两点，与y轴交于点， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：作，交于点， 则， ， ， ， ， ， 由题知点，点，点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式中， 有，解得， 直线的解析式为， ， 解得或， 当时，，当时，， 点E的坐标为或； （3）解：由（2）知直线的解析式为， 且同理可得直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，点P的坐标为， ，解得， 直线的解析式为， ， 解得， 将代入中，有， ， 点D，点P都在第一象限， ， ， ， ， ， ， 当，即点P的坐标为时，S有最大值为． 50．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点，与轴交于点 ， 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点， 在抛物线上，点 在点 左侧，若 是等边三角形，求 的值． (3)如图2，在线段 上是否存在一点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于，两点， ∴ 解得： ∴ （2）解：∵ ∴对称轴为直线， ∵点， 在抛物线上，点 在点 左侧， ∴关于直线对称， 如图所示，过点作于点， ∵ 是等边三角形，则 ∴ ∴， 解得：（舍去）或 （3）∵，当时，，则 如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∵，，，， ∴，，，，, ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 将，，代入 解得： ∴直线的解析式为 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴以，， 为顶点的三角形与 相似有两种情况， ①当时， 此时为第二四象限平分线，即， ∴ 解得： ∴ ②当时， ∴ ∴ ∵，， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 综上所述，或． 51．（2024·安徽芜湖·一模）已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图（1），点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值； (3)如图（2），过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：根据抛物线的顶点为，设二次函数的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 则； （2）解：设直线的解析式为，过点，则， 解得， 那么直线的解析式为， 设，， 则的横坐标为，纵坐标为， 由轴，得， 解得， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：为定值．理由如下， 如图，过点作轴交轴于点，    在中，令解得或， 故，， 设，则，，， ， ， ， 同理，， ， ， 故是定值，且为8． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$