精品解析：广东深圳盐田区深圳外国语学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

深圳外国语学校2025—2026学年度高三第一次月考 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，，由交集的定义求解即可 【详解】由题可得：，，所以， 故选：C 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则可求得，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】由，可得，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选:D 3. 已知是非零向量，则“与是相等向量或相反向量”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，所以， 若，则，所以， 故由“或”推得出“”，即充分性成立； 若，则，所以， 所以由“”推不出“或”，故必要性不成立； 所以“与是相等向量或相反向量”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由商数关系，平方和关系以及二倍角公式化简求解即可. 【详解】. 故选：D 5. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理结合等比中项可求. 【详解】因为是函数的两个零点， 所以是方程的两个根，则，， 所以都为负数，又因为是等比数列，, 所以，则， 故选：B 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数导数，判断函数单调性，再根据函数单调性，比较函数值的大小，判断结果. 【详解】由题意得， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可知， 所以为偶函数，可知 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，， ，即， 所以，即， 所以，即. 故选：A. 8. 已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设底面正三角形的边长为，设出球和的半径为，，利用等体积法表示出，利用三角形相似表示出，即可得到答案. 【详解】设正三棱锥底面正三角形的中心为，取中点，连接, 因为正三棱锥的性质，底面，， 所以就是侧面与底面所成二面角的平面角，即, 设底面正三角形的边长为，则， 在中，，已知， 所以， 设球的半径为，根据正三棱锥的体积公式，以及正三棱锥的表面积公式， 底面正三角形的面积，正三棱锥的体积， 正三棱锥的侧面积，在中，， 所以，，则正三棱锥表面积， 根据正三棱锥的体积还可以表示为，即，解得. 设球的半径为，因为球与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切， 所以球的球心在上，且， 由于球与三个侧面相切，根据正三棱锥的对称性，球的球心到三个侧面的距离相等，且等于， 设球与侧面的切点为，则点在上，, 得相似于，则，即，解得， 所以球与球的半径之比. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对二项式展开式赋值以及利用求导的方法来求解各项系数的值或系数之间的关系. 【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为， 所以，即，可得，故选项A正确； 二项式其展开式的通项公式为， 要求，也就是当时的系数， 将代入通项公式中， 先计算组合数， 则，故选项B错误； 令，则， 即，所以 又因为前面已经求得，那么，故选项C错误； 对两边同时求导。 左边求导为，右边求导为，即 令，则 即，所以，故选项D正确. 故选：AD. 10. 已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（ ） A. B. 为等腰直角三角形 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的方程和直线与圆相切的条件，求出参数，写出双曲线标准方程，根据点的坐标，双曲线的性质，两点间的距离公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，取其中与圆心为，半径为1的圆相切， 可得，由于，解得，所以A错误； 可得双曲线方程为，设双曲线的半焦距为， 则，所以， 因为，所以，，可知，所以为等腰直角三角形，B正确； 动点在的左支上，则，则， 所以，当三点共线时，最小，此时， 此时，所以的最小值为，所以C正确； 设，可得，即， 则， 当时，的最小值，此时，所以D正确； 故选：BCD. 11. 在锐角中，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数的平方关系和正弦定理对已知条件进行化简，得出角之间的关系，再据此分析各个选项. 【详解】将， 利用和， ()， 化简得:展开右边并整理得， 由于为锐角三角形， (舍去的不可能情况)，故，A正确； 由且锐角三角形，得 在上单调递增，故， 而非 ，B错误； 由，，， 表达式可化为：， 令,则， 则表达式化简为，等号在时取得，C正确； 表达式，又， 则表达式化简为，令， 则表达式为，等号在时取得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，结合离心率公式化简即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 由题可得：，即，化简得：， 所以椭圆的离心率为：， 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，由在上恒成立，进而得，即，利用单调性求的最大值即可求解. 【详解】由题意有在上恒成立， 又，所以，即， 所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立，即， 又在上单调递减，所以， 故答案为：. 14. 将9个互不相同的向量填入如图所示的方格中，每个方格填一个向量，使得每行、每列的三个向量之间两两都不共线，则不同的填法种数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析共线的向量，再分步排入九宫格中，利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意,因此每个分量有3种选择，所以共有9个不同的向量， 所有可能的向量为：, 其中三个共线；两个共线；两个共线； 第一步排，第一个放入有9种方案，一旦放入，该行该列不能再放其他两个， 则第二个放入有4种方案，第三个放入有1种方案，则第一步共有种； 第二步排，第一步结束后，每行每列都有一个向量， 则第一个放入有6种方案，第二个放入有3种方案，则第二步共有种； 第三步排，排位第一、第二步后剩余4个宫格，剩余的宫格排布主要有三种情况， 情况1， 按序号排入共有种， 情况2， 按序号排入共有种， 情况3， 按序号排入共有种， 所以第三步共有8种； 第四步排共有2种； 综上，共有种 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 【答案】（1）不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系 （2）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比分析. （2）根据的取值情况列出分布列，通过期望公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：性别因素与锻炼的经常性无关， 因为，所以，，，，， 则，则， ，，，，所以， 则， 根据小概率值的独立性检验为6.635，由， 因此可以认为成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系. 【小问2详解】 经常锻炼的学生为50人（男生30人，女生20人），按比例抽取5人，其中男生抽取3人，女生抽取2人. 则的可能取值为：0，1，2，则： ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 16. 如图，在三棱柱中，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，求出是等边三角形，得到，设出边长，通过垂直证明点在以为圆心，为直径的圆上，利用勾股定理逆定理得出，进而得出面，即可证明结论； （2）利用得出是等腰直角三角形，确定点的位置，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，求出平面与平面的法向量，即可求出平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 由题意证明如下， 在三棱柱中，， 设中点为，连接， 在中，， ∴是等边三角形， ∴ 设，则，， 在中，， ∴点在以为圆心，为直径的圆上， ∴， 在中，， ∴是直角三角形，， ∵，面，面， ∴面， ∵面， ∴平面平面. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在三棱柱中，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形，垂直平分， ∴， 作出空间直角坐标系如下图所示， ∴， 在面中， 设其一个法向量为， ∴，即，解得 当时，， 在面中，由几何知识得，其一个法向量为， 设平面与平面所成角为， . 17. 设为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与关系化简原等式可得，则，两式作差可得，即数列是等差数列，即可求出通项公式； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，，两式相减可得：，即① 则②， ②①可得， 由于，所以数列是首项为2，公差为4的等差数列， 则 【小问2详解】 设， 所以③ ④， ③④可得, 化简可得： 18. 已知动点到的距离比点到直线的距离小1，动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）设，过点的直线交于两点（异于点）． （i）若，求直线的方程； （ii）过点与直线垂直的直线交于两点，设线段的中点分别为是坐标原点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义，即可求解； （2）（i）联立直线与抛物线的方程，根据向量垂直的坐标运算即可求解，从而求出直线方程，（ii）根据中点坐标求解直线的方程，即可直线与轴的交点，根据三角形面积公式，结合基本不等式求解即可 【小问1详解】 由题意知，动点到定点的距离等于点到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线； 因为，所以抛物线的方程为， 即点的轨迹C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得，设直线的方程为，，.， 由方程组，消去，得， 则， 所以，. 由可得 解得或（舍）.所以直线的方程为，即 （ⅱ）由（ⅰ）可得，故 故， 将换成可得， 当时，或，故直线的方程为， 当时，， 故直线的方程为， 令，得，， 当且仅当时等号成立，所以面积的取值范围为，所以面积的最小值为. 19. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）的增区间为：和，减区间为：和， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出和，即可求出切线方程； （2）由，可得，分别令，，，解出不等式即可求出单调区间； （3）由，可得，将在上有三个不同的极值点转化为在上有三个不同的根，令（时，且，因为），方程转化为， 设方程的根为，，，由三次方程根与系数关系即可求解. 【小问1详解】 由题可得，所以， 所以切线的斜率为0，由于， 则函数在处的切线方程为：. 【小问2详解】 由于， 所以， 当，令，解得，，， 则令，解得：，或， 令，解得：，或， 所以的增区间为：和，减区间为：和； 【小问3详解】 证明：由于， 所以 由于 ， 所以， 因为在上有三个不同的极值点， 所以在上有三个不同的根，即在上有三个不同的根， 令（时，且，因为），方程转化为，设方程的根为，，， 则，化简可得：， 则，即， ，即， ，即， 所以. 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2025—2026学年度高三第一次月考 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是非零向量，则“与是相等向量或相反向量”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 （ ） A. 1 B. C. D. 5. 在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ） A. B. C. 5 D. 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的侧面与底面所成角为，球为该三棱锥的内切球，球在三棱锥内，与球相外切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（ ） A. B. 为等腰直角三角形 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 在锐角中，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则的离心率为_________． 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 14. 将9个互不相同的向量填入如图所示的方格中，每个方格填一个向量，使得每行、每列的三个向量之间两两都不共线，则不同的填法种数是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 16. 如图，在三棱柱中，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 设为数列的前项和，已知． （1）求通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知动点到的距离比点到直线的距离小1，动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）设，过点的直线交于两点（异于点）． （i）若，求直线的方程； （ii）过点与直线垂直直线交于两点，设线段的中点分别为是坐标原点，求面积的最小值． 19. 数学与音乐有着紧密关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间； （3）函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $