精品解析：浙江台州市2025-2026学年高一下学期6月期末质量评估数学试题

台州市2025学年第二学期高一年级期末质量评估试题 数学 2026.06 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为草垛上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，而圆锥可由直角三角形绕其一条直角边旋转而得， 圆柱可由矩形绕其一条直角边旋转而得，结合选项，可知B正确，其它选项错误. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解． 【详解】根据，， 若，则， 即，即． 故选：D． 3. 已知平面，直线，，则“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，根据线面垂直定义，直线垂直于平面内的所有直线， 故“存在直线，”，充分性成立； 若“存在直线，”,直线可能只是平面的斜线，不一定垂直于整个平面， 必要性不成立； “”是“存在直线，”的充分不必要条件． 4. 如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，故 ；而是中点， 得，，得， 而平行于轴，平行于轴，根据斜二测画法还原图形， 平行于轴，所以轴，且是 中点，所以是等腰三角形， 因为， ，，， 所以，故是等腰非等边三角形. 5. 中，内角，，所对的边分别为，，，且，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，可得， 又，则的值为或. 6. 已知数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，的方差为，数据，，，的方差为，则关于，，的大小关系排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，，， 所以， ， . 所以. 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥且独立 B. 与互斥但不独立 C. 与独立但不互斥 D. 与既不独立也不互斥 【答案】C 【解析】 【详解】因为，又，，， 所以，则与不互斥， 又，则与相互独立. 8. 已知点在边长为的正方形上运动，点，在正方形的外接圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为的中点，利用极化恒等式转化向量数量积，先求出定点对应的最小值，再对正方形边上的动点求全局最小值. 【详解】设为的中点，由极化恒等式：， 在圆上，由弦长公式：， 代入得：， 设（取正方形左边，），，展开： = 当时，上式取得最小值：， 所以 ，当时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，，故A错误，B正确； ，，故C正确，D错误. 10. 为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取100位学生的数学成绩（满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 对应矩形的面积为 B. 样本成绩的第百分位数落在内 C. 样本极差一定为 D. 若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，则此人成绩在区间的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，面积表示频率，列式计算可判断A；根据分位数的概念计算可判断B；根据极差的概念可判断C；根据分层抽样的定义计算各层抽取人数，再结合古典概率计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，设对应矩形的面积为， 则，解得，所以A选项正确； 对于B，样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以B选项正确； 对于C，频率分布直方图只能反映数据的分布形态和落在各个区间内的频率（或频数），但无法确定具体每个数据点的值， 所以样本极差无法由直方图确定，所以C错误； 对于D，从直方图可知样本中成绩落在的频率为，落在的频率为 ，比例为， 分层抽样5人时抽3人，抽2人， 任抽1人成绩在 的概率为 ，所以D正确． 11. 在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点），则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积与点，的位置无关 B. 异面直线与所成的角的取值范围为 C. 三角形的面积的最大值为 D. 若为靠近的四等分点，则四面体的外接球半径的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.体积为定值，与 位置无关，A正确；B. 极端法，取 、，此时异面直线与所成的角是， B错误；C.取临界位置：，，此时三角形的面积取得最大值；D.取是线段的中点时，则四面体的外接球半径取得最小值. 【详解】A. 底面 即底面 ，，面积固定， 点 在直线 上，直线 平面 ，因此 到平面 （底面）的距离恒为正方体高 ； ，体积为定值，与 位置无关，A正确； B. 极端法，取 、，将 ，，此时异面直线与所成的角是直线与所成的角，存在夹角小于 ，因此区间不成立， B错误； C. 取临界位置：，，显然此时三角形为等边三角形，面积达到最大值，； 的面积 故三角形的面积的最大值是，C正确； D. 设四面体的外接球的球心为，设在底面的投影为，显然是的外接圆圆心，设，，四面体的外接球的半径为， 显然当是线段的中点时，即三角形是等腰三角形时，四面体的外接球的半径取得最小值，过作， 由，得，得， 在直角中，，即 （1）， 过点作，为靠近的四等分点， 过点作，则， 在直角中，，即 （2）， （1）（2）两式相减得，此时，此时 所以的最小值是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______． 【答案】126 【解析】 【详解】该学生最近五次考试的数学成绩的平均分. 13. 在三棱锥中平面，，，，，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为底面，平面，所以，所以， 同理， 因为，所以， 所以三棱锥的体积为. 14. 在中，，为边上的两点，且，，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用余弦定理构造方程求出，进而求出，利用两种方法求面积求出高，最后求出的面积． 【详解】设，，在中，由余弦定理： ①， 共线，故， 在中，， 故， 在中，，故， 故②， 联立①②得，解得或（舍去）， 故，解得， 设到的距离为， ，解得， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为（为虚数单位，）. （1）若点关于虚轴对称，求的值； （2）若为实数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出两点在复平面内所对应的点，结合对称性即可得解； （2）计算出，结合复数的概念及分类即可得解. 【小问1详解】 由题意有，，因为点关于虚轴对称，所以，， 所以； 【小问2详解】 ， 因为为实数，所以． 16. 我国新一代载人飞船备选航天员共有5名，编号为1，2，3，4，5，其中1，2号为指令长候选人，3，4，5号为飞行工程师，现从中随机选取3人执行模拟飞行任务． （1）写出该试验的样本空间Ω； （2）求3人中恰有1名是指令长候选人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）枚举从5人中任选3人的所有组合，写出样本空间； （2）利用古典概型，统计满足条件的基本事件个数，计算概率. 【小问1详解】 从编号为1，2，3，4，5的5人中随机选取3人的样本空间记为， 共有10个等可能样本. 【小问2详解】 记“3人中恰好有1名是指令长候选人” 则， 共有6个等可能样本点， 所以， 即三人中恰好有1名是指令长候选人的概率为． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，． （1）若，求的值； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 在中，， 即，解得， 在中，， 所以． 【小问2详解】 在中，， 在中，， 即， 化简得， 因为， 所以，当，时取等号， 所以的最大值为． 18. 如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为． （1）求证：； （2）求点到直线的距离； （3）若，求二面角平面角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面，且平面， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理进行求解； （2）过作于，得进行计算； （3）由是二面角的平面角，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接， 因为，平面，得平面， 平面 所以， 在中，可求得，， 在中，，可求得， 所以点到直线的距离为， 【小问3详解】 因为平面，且平面，所以， 因为，平面， 得平面，而平面， 得， 所以就是二面角的平面角， 在直角三角形中，由（2）有，，可得， 在四边形中，，， 所以，，，四点共圆，且为直径， 所以， 在直角三角形中，，，解得， 所以， 所以二面角平面角的正切值为． 19. 已知集合对于，，定义． （1）若，，且，，求； （2）若，，，且，，求的最小值； （3）若，对于任意，，均有，求的最大值（用表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义计算，，得到，计算； （2）根据条件求各向量中的个数，构造向量确定的最小值； （3）先证明引理，再根据引理证明，得到. 【小问1详解】 设，， 则，， 所以，或， 所以． 【小问2详解】 因为，， 不妨设，， 所以， 当时，，， 设，则， 而， 所以，那么，矛盾． 当时，取，， 满足条件， 综上：的最小值为． 【小问3详解】 先证引理：设，， 且， 则存在，使得， 即． 下证： ， 因为或， 所以存在，使得，即． 根据引理，将中的个元素平均分成组，且每组的两个元素 ，满足， 则不能来自同一组，所以． 当时，取， 则， 且中有个元素，若对于任意，， 均有． 综上：的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2025学年第二学期高一年级期末质量评估试题 数学 2026.06 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 已知平面，直线，，则“”是“存在直线，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 5. 中，内角，，所对的边分别为，，，且，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知数据，，，，，，，的方差为，数据，，，，，的方差为，数据，，，的方差为，则关于，，的大小关系排序正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥且独立 B. 与互斥但不独立 C. 与独立但不互斥 D. 与既不独立也不互斥 8. 已知点在边长为的正方形上运动，点，在正方形的外接圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取100位学生的数学成绩（满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 对应矩形的面积为 B. 样本成绩的第百分位数落在内 C. 样本极差一定为 D. 若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，则此人成绩在区间的概率为 11. 在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点），则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积与点，的位置无关 B. 异面直线与所成的角的取值范围为 C. 三角形的面积的最大值为 D. 若为靠近的四等分点，则四面体的外接球半径的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______． 13. 在三棱锥中平面，，，，，则三棱锥的体积为______． 14. 在中，，为边上的两点，且，，，，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为（为虚数单位，）. （1）若点关于虚轴对称，求的值； （2）若为实数，求的值． 16. 我国新一代载人飞船备选航天员共有5名，编号为1，2，3，4，5，其中1，2号为指令长候选人，3，4，5号为飞行工程师，现从中随机选取3人执行模拟飞行任务． （1）写出该试验的样本空间Ω； （2）求3人中恰有1名是指令长候选人的概率． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，． （1）若，求的值； （2）求的最大值． 18. 如图，在三棱锥中，，，，点在平面上的投影为． （1）求证：； （2）求点到直线的距离； （3）若，求二面角平面角的正切值． 19. 已知集合对于，，定义． （1）若，，且，，求； （2）若，，，且，，求的最小值； （3）若，对于任意，，均有，求的最大值（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $