第二十一章 一元二次方程（培优卷）单元过关测试 2025-2026学年人教版九年级数学上册

答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C B B B C B B 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣m＝3 【解答】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得： 1+k﹣6＝0， k＝5， 故选：C． 3．用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9 【解答】解：x2+8x+7＝0， x2+8x＝﹣7， x2+8x+16＝﹣7+16， （x+4）2＝9， 故选：B． 4．若a+b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．a 【解答】解：当x＝﹣1时，a﹣（﹣b）+c＝0， 即a+b+c＝0， 所以一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是﹣1． 故选：C． 5．一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【解答】解：Δ＝22﹣4×1×（﹣3）＝17＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a B．a且a≠0 C．a D．a且a≠0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根， ∴a≠0且Δ＝b2﹣4ac≥0，即a≠0且1﹣4a≥0， 解得，a且a≠0． 故选：B． 7．受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（　　） A．100（1+2x）＝144 B．100（1+x）2＝144 C．100（1+x2）＝144 D．100（1+2x）2＝144 【解答】解：根据题意得：100（1+x）2＝144． 故选：B． 8．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．32×20﹣3x2＝570 B．（32﹣x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．3x2＝570 【解答】解：将三条路平移，如图所示： ∵剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2，设道路的宽为x m， ∴（20﹣x）（32﹣2x）＝570， 故选：C． 9．已知m，n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m2﹣4m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．4 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴m2﹣3m﹣1＝0，m+n＝3， ∴m2﹣3m＝1， ∴m2﹣4m﹣n＝m2﹣3m﹣（m+n）＝1﹣3＝﹣2． 故选：B． 10．若α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（　　） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根， ∴α+β＝1、α2﹣α＝2018， 则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3 ＝2018﹣2+3 ＝2019， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝　4　 ． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2． ∵x1+x2＝2x1x2， ∴﹣m＝2×（﹣2）， 解得m＝4． 故答案为：4． 12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为　k≤4且k≠1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根， ∴， 解得：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 13．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　4或1　 ． 【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2． 当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4； 当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1． ∴x1※x2＝4或1． 故答案为：4或1． 14．有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为　1+x+x2＝73　 ． 【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支， ∴小分支的个数为x×x＝x2， ∴可列方程为1+x+x2＝73． 故答案为1+x+x2＝73． 15．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为　10　 %． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：60（1﹣x）2＝48.6， 解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 故平均每次降价的百分率为10%． 16．若关于x的两个方程，都有实数根，其中p，q为实数，则代数式（p+1）（q+3）的最小值等于 　3　 ． 【解答】解：由题意，得p≥0，q≥0． ∵关于x的两个方程，都有实数根， ∴，且． ∴p﹣q≥0且 p﹣q≤0． ∴p﹣q＝0，即p＝q． ∴（p+1）（q+3）＝（p+1）（p+3）＝p2+4p+3＝（p+2）2﹣1． ∵1＞0， ∴当p＞﹣2时，p2+4p+3的值随p的增大而增大． ∵p≥0， ∴当p＝0时，p2+4p+3取最小值，且最小值为3． ∴（p+1）（q+3）的最小值为3． 故答案为：3． 17．若关于x的方程mx2+（m+2）x+2＝0有两个不相等的整数根，则正整数m的值是 　1　 ． 【解答】解：∵关于x的方程mx2+（m+2）x+2＝0有两个不相等的整数根， ∴（x+1）（mx+2）＝0，m≠0， 解得， ∵m是正整数，方程mx2+（m+2）x+2＝0有两个不相等的整数根， ∴是整数，且， ∴m＝1， 故答案为：1； 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为 　（2）　 s． 【解答】解：以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系，则点B的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），如图所示， ∵点P是AB的中点， ∴点P的坐标为（4，3）． 6÷2＝3（秒），8÷2＝4（秒）， 当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点N的坐标为（2t，0），点M的坐标为（0，6﹣2t），点Q的坐标为（t，3﹣t）， 根据题意得：2， 整理得：t2﹣4t+2＝0， 解得：t1＝2，t2＝2， 经检验，t1＝2，t2＝2是所列方程的解，t1＝2符合题意，t2＝2不符合题意，舍去， ∴点M的运动时间为（2）s． 故答案为：（2）． 三．解答题（共8小题） 19．解方程（注意解题要求） （1）（1）x2﹣2x﹣1＝0；（配方法） （2）（x﹣2）2﹣（3x+1）2＝0． （3）（x+4）2＝5（x+4） （4）2x2+3＝7x． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2， ∴， ∴，； （2）∵（x﹣2）2﹣（3x+1）2＝0， ∴（x﹣2+3x+1）[（x﹣2）﹣（3x+1）]＝0，即（4x﹣1）（﹣2x﹣3）＝0， ∴4x﹣1＝0或﹣2x﹣3＝0， ∴，； （3）∵（x+4）2＝5（x+4）， ∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0， ∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，即（x+4）（x﹣1）＝0， ∴x+4＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1； （4）∵2x2+3＝7x， ∴2 x2﹣7 x+3＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝3，x2＝0.5． 20．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0．若方程的两个实数根分别为x1，x2． （1）若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； （2）是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）根据题意，得Δ＝[﹣（4k+1）]2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根， ∴，， ∵x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），k2＝2 （2）假设存在， 当x1+x2＝0时，则，解得， 当x1+x2≠0时，x1﹣x2＝1， ∴， ∴， ∴， 解得k1＝1，， 综上，当k的值为或1或时，． 21．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+5（k）＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）证明：， ∵4（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）∵△ABC是等腰三角形， ∴b＝c或b、c中有一个为4， ①当b＝c时，Δ＝4（k﹣2）2＝0，则k＝2， 方程化为， 解得， 而， ∴、、4能够成三角形；△ABC的周长为； ②当b＝a＝4或c＝a＝4时， 把x＝4代入方程，得， 解得， 方程化为， 解得，x2＝4， ∵4、4、能够成三角形， ∴△ABC的周长为． 综上所述，△ABC的周长为9或． 22．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【解答】解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆， 依题意得，， 解得a＝9000， 经检验a＝9000是原方程的解， 答：总共生产了9000袋手工汤圆； （2）设促销时每袋应降价x元， 依题意得，前10天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）， 第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润：（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]， ∴（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]＝40500， 解得x1＝0，x2＝4． ∵要促销， ∴x＝4， 即促销时每袋应降价4元． 23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，合肥市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年元月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【解答】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 根据题意得：10×（1+x）2＝12.1， 解得：x1＝10%，x2＝﹣210%（不合题意，舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%． （2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件）， 21×0.6＝12.6（万件）． ∵12.6＜13.31， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 设增加m名才能完成今年四月份的快递投递任务， （21+m）×0.6≥13.31， m， ∴应该增加2人． 24．某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）． （1）若花园的面积为75m2，求AB的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设AB＝x m， 则：x（20﹣x）＝75， 解得：x＝5或x＝15， 答：AB的长为5m或15m； （2）假设将这棵树围在矩形花园内，面积能为100m2． 设AD从长为y m， 则：y（20﹣y）＝100， 解得：y＝10， ∵10＜12， 故将这棵树围在矩形花园内，面积不能为100m2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 第二十一章 一元二次方程（培优卷）单元过关测试 时间：100 分钟 满分：100 分 试卷得分： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． 1 �2 +x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣m＝3 2．已知 x＝1是关于 x的一元二次方程 x2+kx﹣6＝0的一个根，则 k的值为（ ） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 3．用配方法解方程 x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（ ） A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9 4．若 a+b+c＝0，则一元二次方程 ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．a 5．一元二次方程 x2+2x﹣3＝0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 6．关于 x的一元二次方程 ax2﹣x+1＝0有实数根，则 a的取值范围是（ ） A．a≤ 14 B．a≤ 1 4且 a≠0 C．a≥− 1 4 D．a≥− 1 4且 a≠0 7．受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递 业务量为 100万件，2023年快递业务量达到 144万件，若设快递量平均每年增长率为 x，则下列方程中， 正确的是（ ） A．100（1+2x）＝144 B．100（1+x）2＝144 C．100（1+x2）＝144 D．100（1+2x）2＝144 8．某小区计划在一块长 32m、宽 20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植 草坪，使草坪的面积为 570m2．设道路的宽为 x m，则下面所列方程正确的是（ ） 第 2页（共 4页） A．32×20﹣3x2＝570 B．（32﹣x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．3x2＝570 9．已知 m，n是方程 x2﹣3x﹣1＝0的两根，则 m2﹣4m﹣n的值为（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．4 10．若α，β是一元二次方程 x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．设 x1、x2是方程 x2+mx﹣2＝0的两个根，且 x1+x2＝2x1x2，则 m＝ ． 12．若关于 x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数 k的取值范围为 ． 13．对于实数 a，b，定义运算“※”：a※b= � − �(� ≥ �) 2� − �(�＜�) ．例如 4※2，因为 4＞2，所以 4※2＝4﹣2＝2．若 x1，x2是一元二次方程 x2﹣5x+6＝0的两个根，则 x1※x2＝ ． 14．有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分 支的总数是 73．设每个支干长出 x个小分支，根据题意可列方程为 ． 15．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的 60元降至 48.6元，则平均 每次降价的百分率为 %． 16．若关于 x的两个方程�2 + 2 �� + � = 0，�2 − 2 �� + � = 0 都有实数根，其中 p，q为实数，则代数 式（p+1）（q+3）的最小值等于 ． 17．若关于 x的方程 mx2+（m+2）x+2＝0有两个不相等的整数根，则正整数 m的值是 ． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是 AB的中点．点 M 从 A点出发以 2cm/s向点 C运动，点 N从 C点出发以 2cm/s向点 B运动，点 Q是 MN的中点，连接 PQ．点 M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之 停止运动．当 PQ的长是 2 3��时，点 M的运动时间为 s． 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题 12分)解方程（注意解题要求） （1）（1）x2﹣2x﹣1＝0；（配方法） （2）（x﹣2）2﹣（3x+1）2＝0． （3）（x+4）2＝5（x+4） （4）2x2+3＝7x． 第 3页（共 4页） 20．(本小题 8分)已知：关于 x的一元二次方程 kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0．若方程的两个实数根分别为 x1， x2． （1）若 x1，x2是斜边长为 3 5 2 的直角三角形的两直角边，求 k的值； （2）是否存在 k，满足�1 + �2 = �12 − �22？若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由． 21．(本小题 8分)已知关于 x的方程 x2﹣（2k+1）x+5（k− 34）＝0． （1）求证：无论 k取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长 a＝4，另两边 b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长． 22．(本小题 8分)正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿 的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用 21天的时间生产袋装手工汤圆，已知 每袋汤圆需要 0.3斤汤圆馅和 0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产 450斤汤圆馅或 300斤汤圆粉（每天 只能生产其中一种）． （1）若这 21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤 圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达 21天生产的汤圆在 10天内销售完毕．据统计，每 袋手工汤圆的成本为 13元，售价为 25元时每天可售出 225袋，售价每降低 2元，每天可多售出 75袋．汤 圆店按售价 25元销售 2天后，余下 8天进行降价促销，第 10天结束后将还未售出的手工汤圆以 15元/ 袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利 40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 第 4页（共 4页） 23．(本小题 10 分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，合肥市某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年元月份与三月份完成投递的快递总件数分别为 10万件和 12.1万 件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递 0.6万件，那么该公司现有的 21名快递投递业务员能否完成今 年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 24．(本小题 10分)某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分， 两边足够长），用 20m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，AD两边）． （1）若花园的面积为 75m2，求 AB的长； （2）若在直角墙角内点 P处有一棵桂花树，且到墙 CD的距离为 12m，若要将这棵树围在矩形花园内 （含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为 100m2？若能，求出 AB的长；若不能，请说明理 由． 第二十一章 一元二次方程（培优卷）单元过关测试 时间：100分钟 满分：100分 试卷得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣m＝3 2．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 3．用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9 4．若a+b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一个根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．a 5．一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 6．关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a B．a且a≠0 C．a D．a且a≠0 7．受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（　　） A．100（1+2x）＝144 B．100（1+x）2＝144 C．100（1+x2）＝144 D．100（1+2x）2＝144 8．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．32×20﹣3x2＝570 B．（32﹣x）（20﹣x）＝570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．3x2＝570 9．已知m，n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m2﹣4m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．4 10．若α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（　　） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为　 　 ． 13．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　 　 ． 14．有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为　 　 ． 15．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为　 　 %． 16．若关于x的两个方程，都有实数根，其中p，q为实数，则代数式（p+1）（q+3）的最小值等于 　 　 ． 17．若关于x的方程mx2+（m+2）x+2＝0有两个不相等的整数根，则正整数m的值是 　 　 ． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为 　 　 s． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分解方程（注意解题要求） （1）（1）x2﹣2x﹣1＝0；（配方法） （2）（x﹣2）2﹣（3x+1）2＝0． （3）（x+4）2＝5（x+4） （4）2x2+3＝7x． 20．本小题分已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0．若方程的两个实数根分别为x1，x2． （1）若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； （2）是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 21．本小题分已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+5（k）＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长． 22．本小题分正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 23．本小题分现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，合肥市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年元月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 24．本小题分某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）． （1）若花园的面积为75m2，求AB的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$