专题01 因式分解及其方法（12大题型+综合提升）（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 因式分解及其方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、因式分解概念的理解 1 题型二、因式分解与含参问题 2 题型三、公因式的认识 2 题型四、提公因式法因式分解 2 题型五、公式法因式分解的认识 3 题型六、公式法因式分解的应用 4 题型七、a与a倒数的和与差 4 题型八、有理数范围因式分解 5 题型九、实数范围因式分解 5 题型十、分组分解法因式分解 5 题型十一、十字交叉相乘法因式分解 6 题型十二、配方法求最值 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、因式分解概念的理解 1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列自左向右两个变形中， 甲：；乙： 说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 题型二、因式分解与含参问题 4．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 5．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 6．已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 7．若多项式有一个因式为，则的值为 ． 题型三、公因式的认识 8．将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 9．多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 10．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 11．将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 12．把分解因式的结果为（      ） A． B． C． D． 13．多项式和的公因式是 ． 题型四、提公因式法因式分解 14．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D． 15．已知，，则的值为 ． 16．若，则的值为 ． 17．若，则 ． 18．将下列各式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 19．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 题型五、公式法因式分解的认识 20．下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 21．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 22．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 24．多项式中，能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 25．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 26．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 题型六、公式法因式分解的应用 27．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 28．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 29．已知一定能被整除，且，都是正整数．若，则的值为 ． 30．分解因式： ． 31．利用因式分解计算： (1)； (2)． 32．分解因式： ． 33．若，．则 ． 34．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 题型七、a与a倒数的和与差 35． 若，且，则的值为 ． 36． 如图，用四块完全相同的小长方形可以拼成一个“回形”正方形． (1)分别用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积为：　　　或　　　；（用含，的代数式表示） (2)若，，请在的基础上求的值； (3)请直接写出与满足的等量关系；若满足，求的值． 题型八、有理数范围因式分解 37．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）． 38．计算： ． 题型九、实数范围因式分解 39．将在实数范围内分解因式 ． 40．在实数范围内分解因式： ． 41．在实数范围内因式分解： ． 题型十、分组分解法因式分解 42．因式分解： 43．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）． A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 44．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理 题型十一、十字交叉相乘法因式分解 45．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 题型十二、配方法求最值 46．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题．例如： （1）分解因式：． ； （2）求代数式的最小值． ∵ ∴当时， 代数式有最小值-4． 结合以上材料解决下列问题： (1)若二次三项式恰好是完全平方式，m的值是______； (2)将分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？ (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求c的取值范围． 1．对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 2．已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 3．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 4．多项式在因式分解时提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 5．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 6．若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 8．下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 9．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 10．在实数范围内分解因式： ． 11．已知实数与互为倒数，且，求的值． 12．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 13．因式分解 (1)； (2) ； (3)； (4)（用十字相乘法）． 14．阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：、，；则12、20、28这三个数都是完美数． (1)按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）________； (2)证明：任意一个完美数都能够被4整除； (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……，按此规律拼叠到正方形，其边长为40，求阴影部分的总面积． 16．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 17．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 试卷第10页，共10页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 因式分解及其方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、因式分解概念的理解 1 题型二、因式分解与含参问题 2 题型三、公因式的认识 4 题型四、提公因式法因式分解 6 题型五、公式法因式分解的认识 10 题型六、公式法因式分解的应用 13 题型七、a与a倒数的和与差 16 题型八、有理数范围因式分解 18 题型九、实数范围因式分解 19 题型十、分组分解法因式分解 20 题型十一、十字交叉相乘法因式分解 22 题型十二、配方法求最值 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、因式分解概念的理解 1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式即可． 【详解】解：A. 右边为，是和的形式，未形成积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B. 左边为单项式，因式分解对象应为多项式，此选项不符合要求，不符合题意； C. 左边为，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，不符合题意； D. 左边提取公因式，得到，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 故选：D． 2．下列从左到右的变形是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，右边不是积的形式，则A不符合题意； B、是乘法运算，则B不符合题意； C、是因式分解，则C符合题意； D、，右边不是整式，则D不符合题意； 故选：C． 3．下列自左向右两个变形中， 甲：；乙： 说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义． 根据因式分解的定义，判断甲、乙是否为将多项式分解为整式乘积的形式即可． 【详解】解：甲：，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解； 乙：，右边为与的和，并非整式的乘积形式，因此乙也不是因式分解； 综上，甲、乙均不是因式分解， 故选B． 题型二、因式分解与含参问题 4．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 5．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 6．已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据题意将展开，即可得到k的值． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 故选：C． 题型三、公因式的认识 7．若多项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ， 解得：． 故答案为：3 8．将多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键．根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 9．多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 【答案】A 【分析】本题考查了提取公共因式． 直接提取公共因式即可． 【详解】解：、均存在因式， 故选：A． 10．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 11．将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 12．把分解因式的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将变为，再提公因式分解因式即可． 【详解】解： 故答案选：B 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，将变为是解题关键． 13．多项式和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 题型四、提公因式法因式分解 14．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，提公因式法分解因式，解题的关键是掌握相应的运算法则，将原式提取公因数进行化简，利用指数运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 15．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解−提公因式法，代数式求值．注意整体思想在解题中的应用．将所求代数式提取公因式后进而代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案是：25． 16．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，先得到，进而因式分解得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得，则可推出，进而得到，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 18．将下列各式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的方法．通过观察式子的特点，找到公因式并提取出来，将式子化为最简因式乘积的形式是解题的关键． （1）首先观察到，那么原式可以变形为，提取公因式即可求解； （2）对式子中的进行变形，得到，所以原式变为，地区公因式得到，进一步化简为； （3）观察到式子两项中都含有公因式，提取公因式后得到，进一步化简可得，即． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式． （3）解：原式． 19．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 题型五、公式法因式分解的认识 20．下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 21．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 22．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 23．下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 24．多项式中，能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是完全平方公式：，需要熟练掌握公式及其变式．根据完全平方公式的特征即可得出答案． 【详解】解：能用完全平方公式分解因式； 不能用完全平方公式分解因式； 能用完全平方公式分解因式； 故选：C． 25．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 26．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 题型六、公式法因式分解的应用 27．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 28．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 29．已知一定能被整除，且，都是正整数．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再由数的整除性求解是解题的关键．将所求式子用平方差公式分解因式即可进行求解． 【详解】解：∵ ， ∵一定能被整除， ∴的值为 故答案为：． 30．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 31．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1)22500 (2)4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算； （1）把原式化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 32．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解:原式 ， 故答案为:． 33．若，．则 ． 【答案】0 【分析】本题考查代数式求值、利用完全平方公式和平方差公式因式分解，熟记公式，利用整体代入思想求解是解答的关键． 根据完全平方公式以及平方差公式将进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：0． 34．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用平方差公式再利用完全平方公式进行因式分解。 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． （3）原式 ． 题型七、a与a倒数的和与差 35．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解，先根据完全平方公式得出，根据题意得出，进而根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：∵， ∴即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 36．如图，用四块完全相同的小长方形可以拼成一个“回形”正方形． (1)分别用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积为：　　　或　　　；（用含，的代数式表示） (2)若，，请在的基础上求的值； (3)请直接写出与满足的等量关系；若满足，求的值． 【答案】(1)或； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了分式的化简求值、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是根据图形面积之间的关系得到整式之间的关系． 阴影部分是个长为、宽为的长方形，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积；阴影部分可以看作是边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积，用大正方形的面积减去小正方形的面积即为阴影部分的面积； 由可知，把，代入等式即可求出的值； 利用完全平方公式可得：，，从而可得等式，把整理，可得：，再代入等式中即可求出的值． 【详解】（1）解：阴影部分是个长为、宽为的长方形， 阴影的面积是， 阴影部分可以看作是边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积， 阴影的面积是， 故答案为：或； （2）解：由可知， ，， ， 整理得：； （3）解：， ， ， ， ， ， 方程两边同时除以得：， ， ， 解得：． 题型八、有理数范围因式分解 37．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 38．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式． 先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 题型九、实数范围因式分解 39．将在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查求根公式法分解因式．把某些二次三项式分解因式，先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 【详解】解：方程的两个根为：，， ， 故答案为：． 40．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合运用提公因式法与平方差公式，因式分解的步骤一般是：先考虑提公因式法，其次考虑公式法，这是因式分解的两种基本的方法． 先提公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 41．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先提取公因数2，再由平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十、分组分解法因式分解 42．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查分组分解法分解因式，解题的关键正确分组，首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 43．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）． A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 【答案】A 【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1）， =x2-（y+1）2， =（x+y+1）（x-y-1）． 故选A． 44．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，三角形的分类，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先把原式变形为，进而分解因式得到，再根据三角形三边的关系得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 题型十一、十字交叉相乘法因式分解 45．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法因式分解，理解因式分解——十字相乘法的运算方法是解题的关键． （）仿照例题方法分解因式即可； （）仿照例题方法分解因式即可； （）把看成整体，然后仿照例题方法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 题型十二、配方法求最值 46．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解因式，并解决一些最值等相关问题．例如： （1）分解因式：． ； （2）求代数式的最小值． ∵ ∴当时， 代数式有最小值-4． 结合以上材料解决下列问题： (1)若二次三项式恰好是完全平方式，m的值是______； (2)将分解因式，并求当x为何值时，该代数式有最小值？最小值是多少？ (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求c的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，代数式有最小值． (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，三角形的三边关系等知识，熟练掌握完全平方公式分解因式是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）利用完全平方公式得到，根据即可求出答案； （3）原式变形为，根据非负数的性质得到，再根据三角形的三边关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵二次三项式恰好是完全平方式， ∴， ∴m的值是 故答案为： （2） ∵ ∴当时， 代数式有最小值． （3） ∴ 则， ∵ ∴ ∴ ∵a，b，c是的三边长， ∴ 即 1. 对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断甲、乙变形是否符合将多项式分解为整式乘积的形式即可解答． 【详解】解：甲：中，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解； 乙：中，虽然左边是多项式，但右边括号中的是分式，导致整体结果不是整式的乘积，因此乙也不是因式分解； 综上，甲、乙均不是因式分解， 故选：B． 2. 已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解： ， 多项式可因式分解为， ，， ， 故选：A． 3. 已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 4. 多项式在因式分解时提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式，根据提取多项式的公因式时，系数取各项系数的最大公约数，字母取各项共有字母的最低次幂，即可解题． 【详解】解：由题知，各项系数分别为2、4、6，最大公约数为2； 又各项中字母指数分别为2、4、3，最小为2，取； 各项中字母指数分别3、2、1，最小为1，取； 第二项不含字母c，故公因式中不含c； 综上，多项式在因式分解时提取的公因式为． 故选：A． 5. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用公因式法进行因式分解，确定多项式的公因式需提取各项系数的最大公约数和共有字母的最低次幂，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∴将多项式分解因式时，应提取的公因式是 故选：C 6. 若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】直接将已知变形得出a-b-c=3，再利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：∵a-3=b+c， ∴a-b-c=3， ∴a（a-b-c）-b（a-b-c）+c（b+c-a） =（a-b-c）（a-b-c） =3×3 =9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 7. 若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，分解因式，设，则，将原方程转化为关于的方程，通过代数变形直接求解的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故选D． 8. 下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 9. 在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 10. 在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 11. 已知实数与互为倒数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，因式分解，已知式子的值求代数式的值，先由倒数的定义得，再整理，然后把代入计算，即可作答． 【详解】解：与互为倒数， ． 则， ∵ . 12. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 13. 因式分解 (1)； (2) ； (3)； (4)（用十字相乘法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了公式法因式分解，即平方差公式和完全平方公式，因式分解的方法，熟练掌握因式分解的各种方法是解题关键． （1）先利用提公因式法运算，再利用平方差公式，即可求解； （2）利用提公因式法即可求解； （3）利用平方差公式和完全平方公式即可求解； （4）利用十字相乘法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14. 阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：、，；则12、20、28这三个数都是完美数． (1)按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）________； (2)证明：任意一个完美数都能够被4整除； (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……，按此规律拼叠到正方形，其边长为40，求阴影部分的总面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用等知识，正确理解题意是解题的关键： （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设两个连续的偶数为、，n为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得出，最后根据整除的定义即可得证； （3）结合图形可得出阴影部分的面积为，然后根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：设两个连续的偶数为、，n为自然数，则完美数为， ∴ ， ∵n为自然数， ∴为正整数， ∴能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； （3）解：根据题意，得 ． 16. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 17. 因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握各种因式分解的方法，常用的有提公因式法，乘法公式法，十字相乘法等等． （1）利用平方差公式分解即可； （2）提公因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （4）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （5）利用完全平方公式分解即可； （6）利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 试卷第8页，共38页 试卷第1页，共38页 学科网（北京）股份有限公司 $$