【第二十一章 一元二次方程 02讲 解一元二次方程】【六大知识点+九大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十一章 一元二次方程 02讲 解一元二次方程 题型归纳 【题型1. 解一元二次方程——直接开平方法】………………………………………… 5 【题型2. 解一元二次方程——配方法】………………………………………………… 7 【题型3. 配方法的应用】………………………………………………………………… 11 【题型4. 根据判别式判断一元二次方程解根的情况】………………………………… 17 【题型5. 根据一元二次方程根的情况求参】…………………………………………… 21 【题型6. 解一元二次方程——公式法】………………………………………………… 25 【题型7. 解一元二次方程——因式分解法】…………………………………………… 28 【题型8. 解一元二次方程——换元法】………………………………………………… 30 【题型9. 一元二次方程的根与系数的关系】…………………………………………… 32 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 39 知识清单 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1.定义：利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 例如，解得 . 一般地，对于方程 ： 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2.直接开平方法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 直接开平方法适用的方程是能转化成p或的方程； ② 利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况. 知识点2 配方法解一元二次方程 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.配方法解一元二次方程一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 【提示】当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后： ① 如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根； ② 如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根； ③ 如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ . 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根 ； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 【提示】 ① 应用根的判别式时必须将一元二次方程化成一般形式，然后准确确定，，的值； ② 此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论： ③ 当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 3. 判别式的应用：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 求根公式：当时，方程的实数根可以写成 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式. 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 3. 公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1.定义：对于先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 使方程的右边为0 即 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 或 四解 写出方程的两个解 或 3. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式： 知识点6 一元二次方程的根与系数的关系 1.关系：若一元二次方程的两个实数根为、，则 ， （也称为韦达定理）. 即任何一个一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 2.不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值常见的代数变形： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）| 3.一元二次方程根与系数的关系的应用： （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 题型专练 题型1. 解一元二次方程——直接开平方法 解下列方程： 解：， ， 解得： 解：∴， ∴， ∴，或， ∴ 解：原方程可变形为， ， 开平方，得 ， 即，或， ∴ 解：， ， ∴ 解：开方得：或， 解得：， 解：方程变形得：， 开方得：， 解：方程变形为：， 方程开方得：， 解得： 解：方程变形得：， 开方得：， 解得：， 解：， ， ， 解：， ， ， ， 解：， ， ， ， 解：， ， ， ， 解：， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：， 解：∴或， 解得：， 解：即， 开方得： 解：即， 开方得： 解：即， 开方得：， 解得：， 解：即， 开方得：， 解得：， 题型2. 解一元二次方程——配方法 解下列方程： 解： 解得： 解：， ， ， ∴， ∴， 解：方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， ， ∴， 即，或， ∴，． 解：∴， ∴， ∴， 解得：， 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解：∴， ∴， ∴， ， 解：方程的两边同加，得， 即， 则或， 所以，． 解：移项，得， 配方，得， 即， ， ， 解：∴ ∴ 则， 解得， ∴． 解：整理，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得， 解得． 解：移项，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得， 解：， ， ， ， ∴或 解得：． 解： 或 ∴，． 解： ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 解：∴， ∴，即， ∴， ∴，． 解：移项得： 合并同类项得：， 方程左右两边同加上得：， 整理得：， ∴， ∴，． 解：两边同加上9，得 配方，得 ，． 解：移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 解：， 配方得：， ， 开方得：， ， 解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ， 解：， 配方得：， ， 开方得：， ， 解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ， 解：， 配方得：， ， 开方得：， ，． 解： ， ， ， 解： ， ， ， ， 解：， ， ， ， ， ， 解：， ， ， ， ， ， 解：， ， ， ， ， ， 解：， ， ， ， ， ，． 解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ， 解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ， 解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ， 解：∴， ∴， ∴， 解得 解：∴ ∴， ∴， 解得 解：方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 解：方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 题型3. 配方法的应用 【例1】（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 上式表示与之间的距离， ， 上式表示与之间的距离， 由勾股定理得， 结合三角形三边关系得的最大值是点B和点C的距离，即的最大值， 故选：B． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 【例3】（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用． （1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可 【详解】（1）解：； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 【变式1】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·北京通州·期末）形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【变式3】（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）阅读：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．请阅读下面两个材料，并解决下面的问题． 材料一：等式配方： 已知，求的值． 解： ∴ ∴ 材料二：代数式配方： 把可配方成的形式． 解： 解决问题： (1)把可配方成的形式，则_____， ______； (2)若，且x、y是菱形的两条对角线的长． ①求x、y的值； ②求菱形的边长． 【分析】本题考查了配方法的应用及菱形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）①把配方，根据非负数的性质得到x、y的值； ②根据菱形性质求出边长即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）①， ， ， ， ； ②∵x、y是菱形的两条对角线的长， ∴菱形的边长． 题型4. 根据判别式判断一元二次方程解根的情况 【例1】（2025·河南南阳·三模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根于系数的关系，根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】解：根据定义，运算可表示为：， 由方程得：， 整理为标准形式： ∵， ∴方程无实数根． 故选C． 【例2】（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【例3】（2025·河北唐山·二模）已知整式． (1)化简； (2)若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【分析】本题考查的是整式的加减运算，根据根的判别式判断方程根的情况； （1）去括号，合并同类项即可； （2）由题意可得，再利用根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：当时，． ； 此方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可． 【详解】对于一元二次方程 ，判别式 ： 选项A：， ，，， ，方程有两个实数根． 选项B： ，，， ，方程无实数根． 选项C： ，，， ，方程有两个实数根． 选项D： ，，， ，方程有两个实数根． 综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根． 故选B． 【变式2】（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且），首先将方程左边按多项式乘多项式的规则进行展开后再进行合并同类项即可求出一般式，然后求出即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： ∴ ∴把方程化成一般形式是，其中． 故答案为：，65． 【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序． （1）把代入题目所给运算式进行计算即可； （2）根据题目所给运算式，得出方程，然后利用一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉在电脑屏幕上输入， 输出的多项式为； （2）同意淇淇的说法，理由如下： 若输入，输出的多项式为0， 则， ， 关于n的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即n有两个不同的值． 题型5. 根据一元二次方程根的情况求参 【例1】（2025·河南信阳·三模）若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当判别式小于0时，方程无实数根．根据题意表示出判别式并小于0，则可列出不等式，解出即可判别． 【详解】解：一元二次方程 无实数根， ， 解得． 选项中只有满足 ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 【例3】（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． （2）， ， 方程有一根为正数，     ，   ． 【变式1】（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．若m是符合条件的最大整数，求m的值． 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据关于x的一元二次方程有实数根，得出，，求出结果即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， ∵m是符合条件的最大整数， ∴． 【变式4】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进而得到，代入，得到，即可得证． 【详解】证明：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是非负数． 【变式5】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个解为0，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根； 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶(1) 代入得出关于k的一元二次方程；(2)求出的值，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键． （1）将代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值； （2）求出的值，再与0作比较，由于，从而证出方程有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解∶ 方程有一个根为0， ，即，解得∶，， k的值为0或． （2）证明∶， 方程有两个不相等的实数根． 题型6. 解一元二次方程——公式法 解下列方程： 解：∵， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． 解：∵ ∴ ∴， ∴原方程的解为，． 解：整理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴原方程的解为，． 解：原方程可化为：， ，，， ， ， ，． 解：方程为， ，，， ， ，． 解：原方程化为：， ，，， ， ，． 解：， ． 解：∴ ∴ ∴ 解：， ．        ． ． 解： ， ， 解：， 则， 所以，． 解：，，， ， ，． 解：，，， ， ∴， ∴，． 解：化为一般形式得：， ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 化为一般式得， 则， ∴ ∴， 解得． 解：∴ 则 解得，． 解：∴， ∴， ∴ ∴ 解得， 解：∵， ∴， ∴， ∴． 解：， ， ， 解：移项得：， 则，，， ∴ 原方程有两个不相等的实数根， ，． 解：， ， 题型7. 解一元二次方程——因式分解法 解下列方程： 解：∴， ∴， ∴， 或， 解：∴， 或， 解：∴， ∴或， 解：因式分解得 移项得， 提取公因式得 即， 解得 解：， ， ，即， 或， 或， 所以方程的解为． 解： 或 ∴， 解：， 或， ， 解：∴， ∴，或， 解得：， 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， 解：， 整理得，， 或， 解得， 解：， 则或， 解得，，． 解：， ， ∴或， ∴ 解：， 或， 或， 所以方程的解为，． 解： ∴或 解得， 解： ∴ ∴或 解得， 解：， ， ， 或， 解得：， 解：∵， ∴， 则或， 解得，． 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 题型8. 解一元二次方程——换元法 解下列方程： 解：解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，， 即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为 解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． 解：∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴． ∴原方程的解是 解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是． 解：设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． 题型9. 一元二次方程的根与系数的关系 【例1】（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系求出根的和与积，再将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：原方程 移项得， 依题得 、是方程的两个实数根， ，， ， 原式． 故选：． 【例2】（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 【例3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个实数根，． ， ． 当时，方程有两个实数根． （2）解：由根与系数关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次方程根与系数的关系及代数式求值．首先根据一元二次方程根与系数的关系可得：, ，根据多项式乘以多项式的法则计算可得：，然后现整体代入求值即可． 【详解】解：方程 的两根为 和 ， , ， ， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即，解得． 【变式4】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可； （2）证明出即可； （3）首先由根与系数的关系得到，，然后将展开整体代入求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴； （2）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （3）解：由根与系数的关系，得，． ， ． ，即． 解得，． 【变式5】（24-25八年级下·广西梧州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A．-7 B．6 C．7 D．-6 【分析】本题考查了根与系数的关系. 利用根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可知：， 解得， 故选：A． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意得到，进一步得到，，则根据根与系数的关系得到以、的长度为根的一元二次方程为． 本题考查了根与系数的关系，若已知方程的两根为，，则以，为根的一元二次方程为． 【详解】解：由题意可知，， ， 以、为宽和长的矩形的面积等于， ， ， 以、的长度为根的一元二次方程为， 故选：． 4．（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（   ） A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程−因式分解法． 根据新定义得出求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 解得． 故选B． 5．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得：， ∴且， 故选：． 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）对于一元二次方程，有以下结论： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程等知识，掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 【详解】解：①若，则是方程的根，故判别式，正确； ②方程有不相等实根，则，则方程的判别式，则必有两个不相等实根，正确； ③将代入方程得，因式分解为，当时，不一定为0，故不一定成立，错误； ④原方程根为4和，则，，得，，新方程化简为，根为5和，与题目所述3和不符，错误； 综上，正确结论为①和②，共2个， 故选：B． 7．（2025·广东湛江·三模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 8．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二. 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确，故选A 9．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 10．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：三次方程可表示为， ∴， ∴，，， ∴，，，故结论正确； 由，结论正确， 综上正确， 故选：． 二、填空题 11．（2025·云南昆明·三模）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程无实数根，得，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·山东烟台·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 14．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）若一元二次方程的两个根是，则的值为 ． 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 16．（24-25八年级下·福建福州·期末）若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为 ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握根的判别式以及有理数和整数的定义． 根据一元二次方程根的判别式求出Δ，再根据方程的根为有理数，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程的根为有理数， ∴是完全平方数， 设， 变形为， ∴， ∴， 解得； ， 解得k＝0， ， 解得k＝9； ， 解得， 综上，整数k的值为0，1，9，10． 故答案为：0，1，9，10． 17．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 18．（24-25八年级下·重庆·期末）已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，一元二次方程的根情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题； 【详解】解：∵正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6. 19．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设，则，可得，由勾股定理可得，则，进而可得，解得，据此可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·山东烟台·期中）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是 ．        【分析】本题考查了图形类规律探索，解一元二次方程，从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 从所给图形中可发现并总结出一般规律：图（）中★的个数是，由此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 图（1）一共有个★， 图（2）一共有个★， 图（3）一共有个★， 图（4）一共有个★， 图（）中★的个数是：， 当时，则， 解得或（舍去）， ∴若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是10， 故答案为：10． 三、解答题 21.用适当的方法解下列方程： 解：或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 解：， ， ， 解得：，． 解： ， ∴，． 解： ，． 解：原方程可化为： 即， 即， ， 解：方程整理得：， ，，， ， ， 解：， ， ， 所以  ． 解：， ∴， ∴ ∴， ∴  ． 解：原方程可化为． ，，， ， ， 解：， ， ， ， 解得， 解： ， 解得 解：原方程可化为：， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 解：∴，，， ∴ ∴， 解得： 解：∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， 解得 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 解： 解：， ， ， ， 解：， ， 或， 解得，． 解：方程 因式分解得， 或， 解得，． 解：方程移项得， ， 或， 解得，． 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， 解：移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：， 解：分解因式得， ∴或， ∴， 解：设， 则方程变形为， 分解因式得， ∴或， ∴或， 当时，， 即， ∵， 没有实数解； 当时，， 即， ∵， ∴， 解得：，． 解：设，则原方程化为， 解得或， 当时，解得； 当时，方程无实数解； 解：， ， ，或， ， 解：， ， 则， 所以． 解：令， 则原方程可化为， 即， 或， 解得：或， 即或， 解得：，． 解：设， 则方程变形为， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得或， 则或， 则或， 解得：，． 解：， ， 即， ∴或， ∴， 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． (2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干过程，得出运用配方法解该一元二次方程，且从第②步开始出现错误； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干过程，得出小北同学选用了配方法解该一元二次方程， 则他的解法从第②步开始出现错误，第②的正确的过程为 故答案为：配方法，②； （2）解：∵ ∴ ∴，． 23．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：不论k为何值，该方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程，得：， 解得：， 当时，方程为， 即， ，， 方程的另一个根是． 25．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 26．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 【分析】本题主要考查了因式分解法一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义解答即可； 对于（2），①求出，再根据结果证明； ②根据“倍根方程”的定义设两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ， 解得， ∵， ∴这个方程是倍根方程； （2）①证明：一元二次方程中， ∴． ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②∵一元二次方程是“倍根方程”，设一个根是a，则另一根是， ∴， 解得或． 27．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴    ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； (2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； (3)已知：，，且．求的值为______________． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系成为解题的关键． （1）先根据根与系数的关系求得m、n的值，然后代入计算即可； （2）设关于的方程的两个实数根分别为，根据根与系数的关系可得，根据题意可得，即，则，解得：；然后再分两种情况运用根的判别式检验即可． （3）先变形得到，结合，则是方程的两个的实数根，，利用根与系数的关系得到，由于，然后利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根是和1， ∴，即：， ∴． 故答案为2． （2）解：设关于的方程的两个实数根分别为， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程化为， 则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为， 则，此方程有两个不相等的实数解． 综上所述，的值为． （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∵ ∴是方程的两个的实数根，且． ∵， ∴． 28．（24-25八年级下·云南昆明·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 29．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 30．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系、多项式乘多项式是解决本题的关键． 问题1．利用根与系数的关系直接可得结论； 问题2．利用根的判别式和根与系数的关系得关于m的不等式，求解即可． 问题3．先把解代入方程，变形后用含m、n的代数式表述出要求的两个代数式、，再利用根与系数的关系计算得结论． 【详解】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． 31．（24-25八年级下·福建厦门·期末）纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形．      (1)请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） (2)如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接正方形的对角线，再把四个等腰直角三角形拼成矩形即可； （2）i、证明四边形是正方形即可； ii、设，（）．根据图形面积建立方程，解一元二次方程求解． 【详解】（1）解：拼剪方法如图所示： （2）i、证明：如图中，连接，，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分； ii、解：结论：． 理由：设，（）． 由题意，， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 32．（24-25八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）利用一元二次方程根与系数的关系，列出方程然后求解即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得；； 故答案为：6，； （2）解：根据根与系数的关系得，， ； （3）解：根据题意得， 解得， ，， 而， ， 整理得， 解得，舍去， 的值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 02讲 解一元二次方程 题型归纳 【题型1. 解一元二次方程——直接开平方法】………………………………………… 5 【题型2. 解一元二次方程——配方法】………………………………………………… 6 【题型3. 配方法的应用】………………………………………………………………… 8 【题型4. 根据判别式判断一元二次方程解根的情况】………………………………… 10 【题型5. 根据一元二次方程根的情况求参】…………………………………………… 11 【题型6. 解一元二次方程——公式法】………………………………………………… 13 【题型7. 解一元二次方程——因式分解法】…………………………………………… 15 【题型8. 解一元二次方程——换元法】………………………………………………… 16 【题型9. 一元二次方程的根与系数的关系】…………………………………………… 16 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 19 知识清单 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1.定义：利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 例如，解得 . 一般地，对于方程 ： 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2.直接开平方法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 直接开平方法适用的方程是能转化成p或的方程； ② 利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况. 知识点2 配方法解一元二次方程 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.配方法解一元二次方程一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 【提示】当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后： ① 如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根； ② 如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根； ③ 如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1.定义：对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ . 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根 ； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 【提示】 ① 应用根的判别式时必须将一元二次方程化成一般形式，然后准确确定，，的值； ② 此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论： ③ 当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 3. 判别式的应用：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 求根公式：当时，方程的实数根可以写成 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式. 2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 3. 公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1.定义：对于先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 实例 一移 使方程的右边为0 即 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 或 四解 写出方程的两个解 或 3. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式： 知识点6 一元二次方程的根与系数的关系 1.关系：若一元二次方程的两个实数根为、，则 ， （也称为韦达定理）. 即任何一个一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 2.不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值常见的代数变形： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）| 3.一元二次方程根与系数的关系的应用： （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 题型专练 题型1. 解一元二次方程——直接开平方法 解下列方程： 题型2. 解一元二次方程——配方法 解下列方程： 题型3. 配方法的应用 【例1】（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3】（2025·河北唐山·二模）课堂上老师设计了一种运算：．例如，． (1)已知x为非零实数，计算：； (2)将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【变式1】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【变式2】（24-25八年级下·北京通州·期末）形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【变式3】（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）阅读：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．请阅读下面两个材料，并解决下面的问题． 材料一：等式配方： 已知，求的值． 解： ∴ ∴ 材料二：代数式配方： 把可配方成的形式． 解： 解决问题： (1)把可配方成的形式，则_____， ______； (2)若，且x、y是菱形的两条对角线的长． ①求x、y的值； ②求菱形的边长． 题型4. 根据判别式判断一元二次方程解根的情况 【例1】（2025·河南南阳·三模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【例2】（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 【例3】（2025·河北唐山·二模）已知整式． (1)化简； (2)若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广东江门·期中）把方程化成一般形式是 ，其中 【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 题型5. 根据一元二次方程根的情况求参 【例1】（2025·河南信阳·三模）若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【例3】（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【变式1】（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．若m是符合条件的最大整数，求m的值． 【变式4】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 【变式5】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个解为0，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根； 题型6. 解一元二次方程——公式法 解下列方程： 题型7. 解一元二次方程——因式分解法 解下列方程： 题型8. 解一元二次方程——换元法 解下列方程： 题型9. 一元二次方程的根与系数的关系 【例1】（2025·广西梧州·三模）已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【例3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【变式4】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【变式5】（24-25八年级下·广西梧州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 2．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A．-7 B．6 C．7 D．-6 3．（2025·广东深圳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（   ） A．5 B．5或 C．5或3 D．3或0 5．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）对于一元二次方程，有以下结论： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，． 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·广东湛江·三模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 9．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·云南昆明·三模）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 12．（24-25九年级下·山东烟台·期末）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 13．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 14．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）若一元二次方程的两个根是，则的值为 ． 15．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 16．（24-25八年级下·福建福州·期末）若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为 ． 17．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 18．（24-25八年级下·重庆·期末）已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 19．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 20．（24-25八年级下·山东烟台·期中）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是 ．        三、解答题 21.用适当的方法解下列方程： 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． (2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 23．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 24．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：不论k为何值，该方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 25．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 26．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 27．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴    ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； (2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； (3)已知：，，且．求的值为______________． 28．（24-25八年级下·云南昆明·期末）某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 29．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 30．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 31．（24-25八年级下·福建厦门·期末）纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形．      (1)请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） (2)如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 32．（24-25八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． 例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ，，， ，， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个根为，，则______；______； (2)一元二次方程的两个根为，，求的值； (3)若，是关于x的方程的两个不相等的实数根，且，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$