【第二十一章 一元二次方程 03讲 实际问题与一元二次方程】【一大知识点+11大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十一章 一元二次方程 03讲 实际问题与一元二次方程 题型归纳 【题型1. 传播问题】……………………………………………………………………… 2 【题型2. 增长率问题】…………………………………………………………………… 5 【题型3. 与图形有关的问题】…………………………………………………………… 10 【题型4. 数字问题】……………………………………………………………………… 17 【题型5. 营销问题】……………………………………………………………………… 19 【题型6. 动态几何问题】………………………………………………………………… 25 【题型7. 工程问题】……………………………………………………………………… 29 【题型8. 行程问题】……………………………………………………………………… 32 【题型9. 图表信息问题】………………………………………………………………… 35 【题型10. 握手、循环赛问题】…………………………………………………………… 39 【题型11. 其他问题】……………………………………………………………………… 41 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 50 知识清单 知识点1 一元二次方程实际问题步骤结构图 题型专练 题型1. 传播问题 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 【例2】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人 【例3】（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意易得方程，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得： ， 解得：，（不符题意，舍去）； 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 【变式3】（23-24九年级上·广西防城港·期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意得 ， 解这个方程得，（不合题意，舍去） 答：这种植物每个支干长出5个小分支． 题型2. 增长率问题 【例1】（2025·辽宁盘锦·三模）“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题中的等量关系是解题的关键．设每年拨款的增长率为，则2025年的拨款是2024的拨款乘以，2026年的拨款是2025年拨款乘以，据此列方程求解即可． 【详解】解：设每年拨款的增长率为， 依题意得，， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每年拨款的增长率为． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 【变式1】（24-25九年级下·安徽黄山·期中）2025年1月29日大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》正式上映，电影一上映就引起了热烈的反响，票房一路飙升，从2月6日的约60亿元到2月8日同一节点上升到约亿元，求这两天电影票房的平均增长率． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设这两天电影票房的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这两天电影票房的平均增长率为． 依题意得， 解得（舍）， 答：这两天电影票房的平均增长率为． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设增长率为，根据数量关系列式求解即可； （2）设降价元，则每天销量可增加件，由此得到降价后的售价为元，销量为件，降价后每件的利润为（元），由此列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件， ∴设增长率为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴若月平均增长率相同，月平均增长率为； （2）解：售价每降低1元，每天销量可增加4件， ∴设降价元，则每天销量可增加件， ∴降价后的售价为元，销量为件， ∴降价后每件的利润为（元）， ∴， 整理得，， 解得，，即，， 当降价为时，每天的销量为件， 当降价为时，每天的销量为件， ∵尽量减少库存， ∴售价应降低元． 【变式3】（2025·安徽滁州·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【变式4】（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 【变式5】（2025·甘肃武威·一模）某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答． 【详解】设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 题型3. 与图形有关的问题 【例1】（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 【例3】（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 【变式1】（2025·江苏常州·二模）如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形长为，宽为，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，设矩形长为，宽为． 根据题意得， 整理得， 解得：(舍去)，， ∴，． 答：应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是，，则，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 【变式3】（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 【变式4】（24-25八年级下·北京顺义·期末）某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 【变式5】（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 题型4. 数字问题 【例1】（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，根据题意，设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，由此列式求解即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意，得，整理，得， 解得（不符合题意，舍去），， ， 这个两位数为． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为， 由题意得， 解得， ∴十位数字为2或3 ∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁， ∴应舍去， ∴周瑜去世时年龄为36岁． 【变式2】（23-24九年级上·山西晋中·期中）2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．        【分析】本题考查一元二次方程的应用．设中间的数为，根据日历上数字的规律用含的代数式表示上面和下面的数字，结合最小数与最大数的乘积为207，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设中间的数为x． 根据题意，得： 解得，（不合题意，舍去）． 答：中间的数为16． 题型5. 营销问题 【例2】（2025·甘肃武威·三模）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）为帮助农民推销农产品，切实提高农民的家庭收入，我省某县副县长亲自开抖音直播销售当地农民种植的一种农产品，已知这种农产品的成本价为10元/千克．当这种农产品的售价为每千克20元时，3月份销售了10000千克．4，5月该农产品月销售量持续走高，在售价不变的基础上，5月份的销售量达到12100千克．设4，5这两个月月销售量的平均增长率不变． (1)求4，5这两个月月销售量的平均增长率； (2)在5月份的基础上，6月份该抖音直播间采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/千克，销售量就增加100千克，当农产品每千克降价多少元时，该抖音直播间6月份获利75000元？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，根据4月份及5月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每袋降价元，则6月份的销售量为千克，根据总利润=每千克利润×销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设4，5这两个月月销售量的平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：4，5这两个月月销售量的平均增长率为； （2）解：设当每袋降价元时，根据题意可得： ，整理得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每千克降价4元时，6月份可获利75000元． 【例3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 2025年4月23日是第三十个世界读书日，学校计划购买文学和科普两类图书，已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元． 素材2 为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）． 问题解决 任务1 预计购买数量 如果每本文学类图书的单价量25元，则至少购买文学类图书多少本 任务2 拟定购买方案 如果学校购进两类图书共120本，用去购书款3948元，求购进文学类图书多少本？ 【分析】本题主要考查不等式，一元一次方程，一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务1：设购买文学类图数本，根据题意得到当单价为25时的数量，结合题意即可求解； 任务2：设购进文学类图书有本，则科普类图书有本，根据题意，分类讨论即可． 【详解】解：任务1：设购买文学类图数本， ∴， 解得，， ∵超过一定的购买数量后，单价保持25元不变， ∴如果每本文学类图书的单价量25元，则至少购买文学类图书本； 任务2：设购进文学类图书有本，则科普类图书有本， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 综上所述，购进文学类图书本． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为x元，根据题意列出一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为x元， 整理得， ∵， ∴方程无解， ∴不能达到15000元． 【变式2】（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同为等量关系列出关于的一元二次方程，再设，将方程换成关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 设， 则原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去， ， 即， 答：的值为 【变式3】（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元. （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， . 答：售价应降低20元. 题型6. 动态几何问题 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 【例2】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 则，整理得：， 解得：， 答：2秒或者3秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图， 在矩形 中， ，点从点沿向点以的速度移动，同时点从点沿边向点以的速度移动． 当其中一点达到终点时，另一点也随之停止． 设，两点移动的时间为． (1)当为何值时，； (2)当为何值时，的面积为． 【分析】（1）由题意得，得，当，得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即当时，； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当为或时，的面积为； 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、掌握以上知识是解题的关键． 题型7. 工程问题 【例1】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【变式2】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 题型8. 行程问题 【例1】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 题型9. 图表信息问题 【例1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 【变式1】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型10. 握手、循环赛问题 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 【变式1】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【变式2】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去）答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 题型11. 其他问题 【例1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是520； （3）解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 【例2】（24-25九年级上·山西临汾·期中）阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握各类求解方法是解题关键． （1）由题意得，推出或，即可求解； （2）两边同时平方得：，解得：，；结合且，即可求解． 【详解】（1）解： 因式分解，得   ∴或； 即：或 解得：，， （2）解：两边同时平方得：， 整理得：； 解得：， ∵且， ∴ ∴原方程的解为． 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ， ， ， 该方程没有实数根， 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ， ， 解得：或． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设黑键个，则白键个，根据等量关系：黑键数和白键数的乘积是1872，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设黑键个，则白键个， 由题意得：， 整理得：， 解得或52； 由于黑键比白键少，故x取36． 所以黑键36个，白键52个． 【变式2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平场是场，再列出一元一次方程，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行场比赛，即可作答． 【详解】解：问题一：∵有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分， ∴负场为0， ∴设这支球队胜的场次是场，则平场是场， 依题意得， 解得 ∴这支球队胜的场次是7场； 问题二：设报名队伍为， 则， ∴（负值已舍去）， ∵把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组， ∴， 即每个小组有5支报名队伍， 则（场）， ∴（场）， ∵小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴共有支队伍进入淘汰赛， ∴淘汰赛需要进行场比赛， ∴（场）， ∴这种方案共需要场比赛决出冠军． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期末）某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． (1)若参加研学活动的学生共人，求学生人均研学费用； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列式计算即可； （2）设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，根据共支付给旅行社38940元其中随队的领队、教师共人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，（元）， 答：学生人均研学费用为元； （2）解：设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，则学生人均研学活动费用为： 元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：学校这次到该景点参加研学活动的学生有人． 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【分析】本题主要考查了分式方程和一元二次方程的实际应用， （1）设每张零售电影票的原定价为x元，根据“在原定零售票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元”列方程，即可求解； （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m，根据“原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， 故每张零售电影票的原定价为元． （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 即原定零售票价平均每次的下降率为． 【变式5】（2025·山东威海·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为，根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：停车位的宽为． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程；            乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为；    丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 【分析】根据一元二次方程的应用，解方程，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，解方程，熟练掌握增长率，解方程是解题的关键． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x，则第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 根据题意，得， 故， 又， 故， 解得，即每天遗忘约30%， 故甲，丙正确，乙，丁错误． 故选：A． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可． 【详解】设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程： ， 整理得： 解得（舍去） 故选B． 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程． 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，得 ． 故选：A． 5．（24-25八年级下·山东·期末）在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润=销售量x单位利润， 根据利润=单台利润×销售数量，设定价为元，单台利润为元．原售价2900元时每天售出8台，每降价50元多售4台．当售价为元时，降价元，相当于降价个50元，因此销量增加台，总销量为．由此列方程即可． 【详解】解：设定价为元，则单台利润为元． 售价降低元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为． 总利润方程为： 故选：B． 6．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 8．（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，设现有的篱笆总共长度是米，分别表示出两个矩形的面积，然后列方程求解即可． 【详解】解：设现有的篱笆总共长度是米， ∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为； 设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为， ∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为， ∴， 解得， 故选：A． 9．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 10．（2025·重庆·模拟预测）已知一组单项式，其中，且为整数，均为非负整数，记：． 若，则； 若，且，则满足的实数的值有6个； 关于的多项式，若，且，则满足条件的不同多项式共有7个。 以上说法中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，得，而均为非负整数， 存在，所以，故不正确； 当时，有，与矛盾； 当时，有， ∴， ∴（舍）或， 当时，有，解得； 当时，有， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， 综上所述，满足条件的实数的值共有个，故不正确； ，且， 满足条件的值有以下情况： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 7 1 2 3 4 8 1 2 3 5 6 1 2 3 5 7 1 2 4 5 6 满足条件的不同多项式共有种，故正确， 综上可知：正确的个数为个， 故选：． 二、解答题 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程的应用，根据题意列关系式是解题的关键． 设相遇时补给船航行了x海里,则海里，由军舰的速度是补给船的倍,它们的时间相同,可得 海里，根据勾股定理可得方程,解方程即可求解． 【详解】解：设相遇时补给船航行了,即． 军舰的速度是补给船的2倍,他们的时间相同, ． , ． 在中，，根据勾股定理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 故相遇时补给船航行了． 12．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2023年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 13．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 15．（24-25八年级下·全国·期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得解； （2）设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，根据总利润每件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：售价应定为175或185元． 16．（24-25八年级下·山东威海·期末）某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）将型洗衣机的售价定为m元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元； （2）解：设将型洗衣机的售价定为m元，根据题意得： ， 解得：， ∵力求尽快清空库存货品， ∴， 答：将型洗衣机的售价定为2400元． 17．（24-25八年级下·山东泰安·期末）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出关系式，和一元二次方程是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，再减去其他开支，列出方程进行求解即可． （3）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，根据完全平方公式的非负性即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 18．（24-25八年级下·山东滨州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1 经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长量相同． 素材2 根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1 分析数量关系 根据素材1中的信息，请确定“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2 分析变量关系 根据素材2中的信息，若设该系列手办的售价为元/件，月销售量为件，请确定（件）关于（元/件）的函数关系式． 任务3 探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，在考虑到与其他文创公司之间的竞争的前提下，为使月销售利润达到元，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、一次函数关系式是解题的关键． 任务1：设增长率为a ，根据该手办2月份及4月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，求解即可； 任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少100个列出函数关系式即可； 任务3：根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：设增长百分率为a， 依题意列方程为：， 解得：或（舍去）； ∴增长率为； 任务2：设该系列手办的售价为元/件，月销售量为件， 根据题意得：； 任务3：根据题意得： ， 整理得：， 解得：，， ∵在考虑到与其他文创公司之间的竞争的前提下， ∴该文创公司应将手办的实际售价定为元． 19．（24-25八年级下·上海·假期作业）有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【分析】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，设设个位数字为，则十位数字是，由题可得，整理并解得的值， 从而可得答案． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：，     整理得：， ， 解得：，（不是整数，舍去）． 答：这个两位数为． 20．（24-25八年级下·山东济宁·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【分析】用平移法，计算阴影的长为米，米，利用矩形的面积公式列方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程，并解答是解题的关键． 【详解】解：根据道路的宽为x米，根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽为4米． 21．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某种工业原料今年第一季度价格下降，价格下降后买30吨这种原料比原来便宜75万元． (1)求该种工业原料下降后的价格； (2)从第二季度开始，该种工业原料的价格开始回升，经过两个季度，该种工业原料的价格上升到每吨16.9万元，求第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，根据题意，找出等量关系列方程是解题的关键； （1）设该种工业原料原价为x万元/吨，根据题意列方程求解； （2）设平均增长率为a，根据题意列方程求解． 【详解】（1）设该种工业原料原价为x万元/吨， 依题意得：， 解得， ， 答：下降后的价格为10万元/吨； （2）设平均增长率为a， 依题意得：， 解得，(舍去)， ， 答：第二和第三季度的平均增长率为． 22．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用． 材料一：设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可； 材料二：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 23．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数乘方运算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设进馆人次的周平均增长率为，然后根据题意列方程，再解方程并检验即可； （）根据（）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的周平均增长率为， 根据题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：进馆人次的周平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由， ∵进馆人次的周平均增长率为， ∴第四周的进馆人次为， ∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次． 24．（2025九年级上·全国·专题练习）新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学每两个人间必须相互通电话1次．若同学们共通话1225次，求该班同学的人数． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据同学们共通话1225次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故答案为：该班同学的人数为50． 25．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年2025年种植了121亩． (1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； (2)一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价x（元） 22 24 27 销售量y（件） 200 180 150 ①求y与x之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） ②若要使每天的销售利润为1200元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用．正确求出一次函数解析式、列出一元二次方程是解题的关键． （1）设种植黄桃亩数的年平均增长率为m，列一元二次方程，求出正数解即可； （2）①利用待定系数法求解；②根据进价、售价、销量的关系，列关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为m， 由题意得，， 解得，， ∵增长率大于0， ∴， 即种植黄桃亩数的年平均增长率为； （2）解：①黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系， ∴设， 将表格前两组数据代入，得：， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； ②要使每天的销售利润为1200元， ∴， 整理得：， 解得，， ∵要让顾客得到实惠，， ∴销售单价应定为30元． 26．（24-25八年级下·安徽池州·期末）2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件”即可表示平均每天的销售量，再由售价减去进价表示每件的盈利； （2）根据每件的盈利乘以销售数量等于每天盈利30000元建立一元二次方程求解； （3）若平均每天盈利32000元，即：，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元 ∴今年平均每天将卖出件，每件盈利元； 故答案为：，； （2）解：由题意知： 整理得： 解得：， ∵要使顾客得到较多的实惠 ∴x取20 ∴ 答：售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠． （3）解：平均每天不可能盈利32000元，理由如下： 若平均每天盈利32000元，即： 整理得： ∴方程无解故平均每天不可能盈利32000元．（答案不唯一，合理即可） 27．（2025九年级上·全国·专题练习）小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 【分析】根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出的值，进而求出总产量； 由于降价，日销售量增加，用含有的代数式表示每斤的销售利润和日销售量，根据日销售利润可列方程求解，注意结果的合理性. 【详解】解：由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 当时，． 故小琴的父母今年共收获蜜梨kg． 设每千克零售价应降价元，才能使得每天的销售利润为元． 由题意，得， 解得． 为了加快销售速度， 应该舍去0.5，选降价1 元。 故每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为元． 【点睛】一元二次方程及应用，列出合理的方程是解题的关键，分析数量关系则显得尤其重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意. 28．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 29．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列出代数式，方程是解题的关键． （1）根据题意，分段收费计算即可； （2）设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克，根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据各段的费用计算即可求解； （3）设2月份的A类垃圾为千克，由题意可得，再由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：∵超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴当时，（分）， 当时，（分）， 故答案为：，； （2）解：已知超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴每千克积分， 已知超过300千克的部分，每20千克积15分， ∴每千克积分， 设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，， ∴小李家1月的月分类垃圾总量是千克； （3）解：月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分， ∴每千克积（分）， 由（2）可知，小李家1月的月分类垃圾总量是千克，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克， ∴小李家2月的月分类垃圾总量是千克， 设2月份的A类垃圾为千克， ∴， 解得，， ∴（千克）， ∴小李家2月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∵3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加， ∴小李家3月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∴ 解得，． 30．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；； 故答案为：40； （2）设裁去小长方形的宽为，长为， 则， 解得：（舍去），； 则体积为； （3）由题意可得阴影部分的长为， 储物盒的底面长为， 则需要裁出的正方形为图中③，④两块， 裁出的正方形的边长为， 底面的宽为， ． 答：储物盒的底面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 03讲 实际问题与一元二次方程 题型归纳 【题型1. 传播问题】……………………………………………………………………… 2 【题型2. 增长率问题】…………………………………………………………………… 4 【题型3. 与图形有关的问题】…………………………………………………………… 6 【题型4. 数字问题】……………………………………………………………………… 10 【题型5. 营销问题】……………………………………………………………………… 12 【题型6. 动态几何问题】………………………………………………………………… 16 【题型7. 工程问题】……………………………………………………………………… 18 【题型8. 行程问题】……………………………………………………………………… 19 【题型9. 图表信息问题】………………………………………………………………… 21 【题型10. 握手、循环赛问题】…………………………………………………………… 23 【题型11. 其他问题】……………………………………………………………………… 24 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 29 知识清单 知识点1 一元二次方程实际问题步骤结构图 题型专练 题型1. 传播问题 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【例2】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【例3】（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A型流感）为主．特别是A（H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【变式3】（23-24九年级上·广西防城港·期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 题型2. 增长率问题 【例1】（2025·辽宁盘锦·三模）“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？ 【例2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 【例3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【变式1】（24-25九年级下·安徽黄山·期中）2025年1月29日大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》正式上映，电影一上映就引起了热烈的反响，票房一路飙升，从2月6日的约60亿元到2月8日同一节点上升到约亿元，求这两天电影票房的平均增长率． 【变式2】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 【变式3】（2025·安徽滁州·二模）“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【变式4】（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【变式5】（2025·甘肃武威·一模）某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 题型3. 与图形有关的问题 【例1】（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【例3】（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【变式1】（2025·江苏常州·二模）如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 【变式2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【变式3】（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【变式4】（24-25八年级下·北京顺义·期末）某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 【变式5】（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 题型4. 数字问题 【例1】（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为，并且个位数字的平方比十位数字大，求这个两位数． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 【变式2】（23-24九年级上·山西晋中·期中）2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．        题型5. 营销问题 【例2】（2025·甘肃武威·三模）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【例2】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）为帮助农民推销农产品，切实提高农民的家庭收入，我省某县副县长亲自开抖音直播销售当地农民种植的一种农产品，已知这种农产品的成本价为10元/千克．当这种农产品的售价为每千克20元时，3月份销售了10000千克．4，5月该农产品月销售量持续走高，在售价不变的基础上，5月份的销售量达到12100千克．设4，5这两个月月销售量的平均增长率不变． (1)求4，5这两个月月销售量的平均增长率； (2)在5月份的基础上，6月份该抖音直播间采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/千克，销售量就增加100千克，当农产品每千克降价多少元时，该抖音直播间6月份获利75000元？ 【例3】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 2025年4月23日是第三十个世界读书日，学校计划购买文学和科普两类图书，已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元． 素材2 为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）． 问题解决 任务1 预计购买数量 如果每本文学类图书的单价量25元，则至少购买文学类图书多少本 任务2 拟定购买方案 如果学校购进两类图书共120本，用去购书款3948元，求购进文学类图书多少本？ 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【变式2】（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带货进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为千克，销售均价为元千克，枇杷的销售量为千克，销售均价为元千克；第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了，销售均价与第一季度相同，枇杷的销售量比第一季度增加了，但销售均价比第一季度减少了若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二季度销售樱桃和枇杷的销售总金额相同，求的值 ． 【变式3】（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 题型6. 动态几何问题 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【例2】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图， 在矩形 中， ，点从点沿向点以的速度移动，同时点从点沿边向点以的速度移动． 当其中一点达到终点时，另一点也随之停止． 设，两点移动的时间为． (1)当为何值时，； (2)当为何值时，的面积为． 题型7. 工程问题 【例1】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【变式2】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 题型8. 行程问题 【例1】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 题型9. 图表信息问题 【例1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【变式1】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【变式2】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型10. 握手、循环赛问题 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【变式1】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【变式2】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 题型11. 其他问题 【例1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【例2】（24-25九年级上·山西临汾·期中）阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【变式2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期末）某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． (1)若参加研学活动的学生共人，求学生人均研学费用； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 【变式4】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【变式5】（2025·山东威海·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程；            乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为；    丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东·期末）在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 8．（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 9．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．（2025·重庆·模拟预测）已知一组单项式，其中，且为整数，均为非负整数，记：． 若，则； 若，且，则满足的实数的值有6个； 关于的多项式，若，且，则满足条件的不同多项式共有7个。 以上说法中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 12．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 13．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 14．（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 15．（24-25八年级下·全国·期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 16．（24-25八年级下·山东威海·期末）某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 17．（24-25八年级下·山东泰安·期末）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 18．（24-25八年级下·山东滨州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1 经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长量相同． 素材2 根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1 分析数量关系 根据素材1中的信息，请确定“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2 分析变量关系 根据素材2中的信息，若设该系列手办的售价为元/件，月销售量为件，请确定（件）关于（元/件）的函数关系式． 任务3 探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，在考虑到与其他文创公司之间的竞争的前提下，为使月销售利润达到元，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 19．（24-25八年级下·上海·假期作业）有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 20．（24-25八年级下·山东济宁·期末）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 21．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某种工业原料今年第一季度价格下降，价格下降后买30吨这种原料比原来便宜75万元． (1)求该种工业原料下降后的价格； (2)从第二季度开始，该种工业原料的价格开始回升，经过两个季度，该种工业原料的价格上升到每吨16.9万元，求第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率． 22．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 23．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同． (1)求进馆人次的周平均增长率； (2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由． 24．（2025九年级上·全国·专题练习）新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定本班同学每两个人间必须相互通电话1次．若同学们共通话1225次，求该班同学的人数． 25．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年2025年种植了121亩． (1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； (2)一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价x（元） 22 24 27 销售量y（件） 200 180 150 ①求y与x之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） ②若要使每天的销售利润为1200元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 26．（24-25八年级下·安徽池州·期末）2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑．本次赛事按照中国田径协会类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题．在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件．今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元． (1)预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）； (2)每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠； (3)要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明． 27．（2025九年级上·全国·专题练习）小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 28．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 29．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 30．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$