专题1.6 有理数的乘方（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题1.6 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的意义，明晰幂、指数、底数的概念 ，能准确阐述其含义。 2. 熟练掌握有理数乘方运算，无论是正数、负数还是零的乘方，都能正确计算结果。 3. 深入探究并掌握乘方运算的符号法则，依据法则准确判断结果正负 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解乘方的意义，精准区分幂、指数、底数的概念。 （2） 熟练运用乘方运算法则，快速且准确地进行有理数乘方运算。 2.难点 （1）深入理解并灵活运用有理数乘方运算的符号法则，判断复杂乘方运算结果的正负。 （2）面对实际问题时，能准确分析并将其转化为有理数乘方运算来求解 。 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即学即练1】甲、乙、丙、丁四位同学，学了有理数的乘方之后，发表了一下自己的见解： 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果；丙：中底数是，指数是5； 丁：是个7相乘． 其中，观点正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数幂的概念理解,熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则以及有理数幂的概念理解逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘；故甲观点错误， ，，与是相同的结果，故乙观点正确， 中底数是，指数是5，故丙观点正确， 是7个m相乘，故丁观点错误， 故观点正确的有1个， 故选：B 【即学即练2】（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0． （1）（2）（3）（4）根据乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即学即练1】月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【即学即练2】东营市2024年某企业可支配收入是3700万元，比2023年提高了，3700万元用科学记数法表示是 元． 【答案】 【分析】本题考查了单位换算（万元到元）及科学记数法的应用，用科学记数法表示一个数时，必须表示为的形式，其中（a为整数位数只有一位的数），n为整数． 解题的关键是正确进行单位换算，并严格遵循科学记数法中的规则确定系数和指数． 将 3700 万元转换为元（元）；通过移动小数点确定和，最终表示为元． 【详解】1万元元，因此3700万元元元． 将的小数点向左移动7位，得到，此时指数为7， 故科学记数法表示为元． 故答案为：. 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴可以表示成3个相乘， 故选：A． 【变式1】的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 【变式2】（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 题型02 有理数的乘方运算 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （2）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （3）根据乘方的定义将展开算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 【答案】(1)64 (2) (3) (4) (5)32 (6) (7) (8) (9) 【分析】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ． 题型03 乘方运算的符号规律 【典例3】当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律、绝对值非负性 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 【变式1】有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 【变式2】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 【变式3】已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 题型04 乘方的应用 【典例4】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 【变式1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了乘方的应用，由已知可得第格放的米粒数为，据此即可求解，根据题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一格放粒米，即粒， 第二格放粒米，即粒， 第三格放粒米，即粒， 第四格放粒米，即粒， 第五格放粒米，即粒， ， ∴第格放的米粒数为粒， ∴第格放的米粒数是粒． 【变式2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 题型05 与有理数乘方有关的新定义型问题 【典例5】用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：． (1)计算的结果； (2)若，求n的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解； （2）根据题中所给新定义运算可列出方程进行求解． 【详解】（1）解：根据可得： ； （2）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法及新定义运算，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式1】我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方； （1）根据有理数的乘方和对数的定义求解即可； （2）根据结合对数的定义可得，进而可求m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵，而， ∴， ∴． 【变式2】对于整数，定义一种新的运算“”： 当与同号时，规定（且）；当与异号时，规定（且 ）． (1)当， 时，则 ； (2)当， 且， 则 ； (3)已知，求式子的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或或或或． 【分析】（）根据题中定义即可求解； （）根据题中定义即可求解； （）根据题中定义分当与同号时和当与异号时两种情况即可求解； 本题考查了有理数的乘方，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 时， ∴与异号， ∴， 故答案为：； （2）解：由，，为整数，则与不可能为异号， ∴当与同号时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当与同号时， ∴， ∴，或，或，， 则的值为或或； 当与异号时，， ∴， ∴，或，， 则的值为或； 综上可知：的值为或或或或． 【变式3】定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作． (1)根据D数的定义，填空： ， ． (2)D数有如下运算性质：，、其中q＞p．根据运算性质，计算： ①若，求； ②若已知，，试求，的值（用a、b、c表示） 【答案】(1)， (2)①  ②， 【分析】本题主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力. （1）根据新定义进行求解即可； （2）①先计算出，然后代入计算即可；②转化为， 然后代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ， ， ， 故答案为:，； （2） ， ， ； ， ； ． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例6】“北京大兴国际机场”一期将满足年旅客吞吐量45 000 000人次的需求，将45 000 000用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式1】金秋十月．各大电商平台为了稳定消费吸引更多新客户。特推出“百亿补贴”活动．某知名品牌10月的销售量达到了4573万元左右，获得同类品牌销售冠军，数据“4573万元”用科学记数法表示为 元． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：4573万． 故答案为：． 【变式2】记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：亿． 故答案为：． 一、单选题 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查乘方的意义，注意中没有括号，所以负号不参与乘方运算． 【详解】解：表示的意义是3个2相乘的相反数， 故选：B． 2．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 5．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 二、填空题 7．的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 8．今年3月12日是我国第47个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2024年，我国完成造林6669万亩，6669万用科学记数法表示是 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将6669万写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：6669万， 故答案为：． 9．在数，，中，负数有 个． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，正数和负数的定义等知识点．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：,是负数； ,是正数； ,是负数； 负数有，,共2个． 故答案为：2． 10．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可，解题的关键是掌握有理数的混合运算的法则． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 11．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 12．有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 运用有理数的混合运算进行计算使其等于即可． 【详解】解：四张牌的点数分别是3、4、1、7， ∴，， 故答案为：或（答案不唯一） ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先计算括号内的运算和乘方，再计算乘除法即可； （2）先计算乘方和利用乘法分配律进行计算再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3)5 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用乘法分配律及有理数的乘方法则计算即可； （3）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 16．在如图所示的数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． ． 【答案】图见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，有理数的乘方，相反数，先化简各数，然后根据数轴上数的特点表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】解： ． 在数轴上表示如下：      所以， 17．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 18．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【答案】（1），9；（2），；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：，9； （2）由题意可得， ， ， 故答案为：，； （3） ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的意义，明晰幂、指数、底数的概念 ，能准确阐述其含义。 2. 熟练掌握有理数乘方运算，无论是正数、负数还是零的乘方，都能正确计算结果。 3. 深入探究并掌握乘方运算的符号法则，依据法则准确判断结果正负 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解乘方的意义，精准区分幂、指数、底数的概念。 （2） 熟练运用乘方运算法则，快速且准确地进行有理数乘方运算。 2.难点 （1）深入理解并灵活运用有理数乘方运算的符号法则，判断复杂乘方运算结果的正负。 （2）面对实际问题时，能准确分析并将其转化为有理数乘方运算来求解 。 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【即学即练1】甲、乙、丙、丁四位同学，学了有理数的乘方之后，发表了一下自己的见解： 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果；丙：中底数是，指数是5； 丁：是个7相乘． 其中，观点正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即学即练2】（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【即学即练1】月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ． 【即学即练2】东营市2024年某企业可支配收入是3700万元，比2023年提高了，3700万元用科学记数法表示是 元． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【变式1】的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【变式2】（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 题型02 有理数的乘方运算 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)． 题型03 乘方运算的符号规律 【典例3】当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 题型04 乘方的应用 【典例4】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【变式1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 【变式2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … 题型05 与有理数乘方有关的新定义型问题 【典例5】用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：． (1)计算的结果； (2)若，求n的值． 【变式1】我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【变式2】对于整数，定义一种新的运算“”： 当与同号时，规定（且）；当与异号时，规定（且 ）． (1)当， 时，则 ； (2)当， 且， 则 ； (3)已知，求式子的值． 【变式3】定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作． (1)根据D数的定义，填空： ， ． (2)D数有如下运算性质：，、其中q＞p．根据运算性质，计算： ①若，求； ②若已知，，试求，的值（用a、b、c表示） 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例6】“北京大兴国际机场”一期将满足年旅客吞吐量45 000 000人次的需求，将45 000 000用科学记数法表示应为 ． 【变式1】金秋十月．各大电商平台为了稳定消费吸引更多新客户。特推出“百亿补贴”活动．某知名品牌10月的销售量达到了4573万元左右，获得同类品牌销售冠军，数据“4573万元”用科学记数法表示为 元． 【变式2】记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客1613.7万人次，旅游收入78.7亿元．数据“78.7亿”用科学记数法表示为 ． 一、单选题 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 2．DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2025年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破33700000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示33700000，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 6．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 二、填空题 7．的底数是 ，指数是 ． 8．今年3月12日是我国第47个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2024年，我国完成造林6669万亩，6669万用科学记数法表示是 ． 9．在数，，中，负数有 个． 10．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 11．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 12．有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．计算： (1) (2) 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．在如图所示的数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数． ． 17．仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 18．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$