第二章 有理数的运算（复习课件）数学人教版2024七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，通过知识结构框架图将各运算间的转化关系（如减法转化为加法、除法转化为乘法）和运算律（交换律、结合律、分配律）串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点示例-针对训练-创新拓展”模式，如用运算律简化运算培养运算能力，登山行程等实际问题发展应用意识，规律探究题提升推理意识。分层练习设计让不同学生巩固知识，教师可精准把握学情，提高复习效率。

单元复习 第二章 有理数的运算 人教版 七年级上册 1.理解有理数加法、减法、乘法、除法及乘方的意义，掌握相应运算法则. 2.掌握有理数的混合运算，理解并运用运算律简化运算.（重点） 知识目标 1.能正确进行有理数的四则运算及乘方运算，提升运算能力. 2.运用有理数运算解决简单实际问题，发展应用意识.（难点） 能力目标 一、知识结构 二、知识梳理 三、高频考点 四、针对练习 五、创新题型 CONTENTS 目录 有 理 数 的 运 算 加法 乘法 减法 除法 交换律 结合律 分配律 乘方 知识结构 有理数的加法法则： 有理数的加法运算律： 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0． 一个数与0相加，仍得这个数. 加法交换律：a+b=b+a. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 知识梳理 一、 有理数的加法 知识梳理 有理数的减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． a－b＝a＋ (－b) 数轴上两点之间的距离： 在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b，则点 A，B 之间的距离为 | a－b |. 二、 有理数的减法 三、 有理数的乘法 知识梳理 1.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 2.任何数与 0 相乘，都得 0. 有理数的乘法法则： 1.乘积是 1 的两个数互为倒数； 2.倒数是成对出现的； 3. 0 没有倒数，倒数等于它本身的数只有 1，－1； 4. 互为倒数的两个数符号相同. 倒数： 有理数的乘法运算律： 乘法交换律：ab=ba. 乘法结合律：(ab)c = a(bc). 分配律：a(b + c) = ab + ac. 三、 有理数的乘法 知识梳理 多个有理数相乘的积的符号法则： 1.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数； 2.负的乘数的个数是奇数时，积为负数； 3.几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. 知识梳理 四、 有理数的除法 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 有理数的除法法则1： a ÷ b = a × （b ≠ 0） 有理数的除法法则2： 1.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 2. 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 . 知识梳理 五、 有理数的乘方 一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”. 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 有理数乘方的概念： 有理数乘方的符号规律: 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 2. 正数的任何次幂都是正数； 3. 0的任何正整数次幂都是0. 知识梳理 六、 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序: 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 知识梳理 七、 科学记数法 科学记数法的概念: 把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 大于或等于 1， 且 a 小于 10，n 是正整数），使用的是科学记数法. 科学记数法中整数位数与指数关系的基本规律: 用科学记数法表示一个n位整数(n ≥2)，其中10的指数是n－1. 知识梳理 八、 近似数 准确数与近似数: 1.与实际完全符合的数叫准确数； 2.与实际数据接近但还有差别的数叫近似数. 精确度: 1.近似数与近似数的接近程度可以用精确度表示; 2.利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 高频考点 一、运用有理数加法运算律简化运算 例1 计算： (1)(－23)＋72＋(－31)＋47； (2)(－17)－(－46)－(＋13)＋(－16)； 解：(1)原式＝－23＋72－31＋47 ＝(－23－31)＋(72＋47) ＝－54＋119 ＝65 (2)原式＝－17＋46－13－16 ＝(－17－13)＋(46－16) ＝－30＋30 ＝0 例1 计算： (3)(－0.19)＋(－3.27)＋6.19＋(－5)＋3.27； (4) . (3)原式＝－0.19－3.27＋6.19－5＋3.27 ＝(－0.19＋6.19)＋(－3.27＋3.27)－5 ＝6＋0－5 ＝1 高频考点 (4) =(－3.5－0.5)( 1 ) =－42 =－2 一、运用有理数加法运算律简化运算 应用加法运算律简化运算的技巧： (1)互为相反数的先相加； (2)能凑成整数的先相加； (3)符号相同的先相加； (4)分母相同的先相加； (5)同类的(整数和整数、小数和小数)先相加． 归纳小结 归纳小结 针对训练 计算： (1)(－17)+59+(－37)； (2)(－4 )+(－3 )+6 +(－2 ). 解：(1)(－17)+59+(－37) =[(－17)+(－37)]+59 =(－54)+59 =5 (2)(－4 )+(－3 )+6 +(－2 ) =[(－4 )+(－3 )+(－2 )]+6 =(－10 )+6 =－3 ； 一、运用有理数加法运算律简化运算 高频考点 例2 计算： (1)(－2.5)×0.37×1.25×(－4)×(－8)；（2）×(5) 解：(1)原式=－(2.5×4)×(1.25×8)×0.37 =－10×10×0.37 =－37． （2）原式=(100－ )×(－5) =100×(－5)－ ×(－5) =－500+ =－499 ． 二、运用有理数乘法运算律简化运算 【小结】拆带分数：将带分数转化为整数与真分数的和或差，保持数值不变，确保整数与分数部分的符号和大小关系正确. 高频考点 例2 计算： （3） ； （4）(－9)×31 －(－8)×(－31 )－(－16)×31 ； 解：（3）原式= ×(－36)+ ×(－36)－ ×(－36) =－18－30+21=－27 (4)原式=31 ×(－9－8+16) =31 ×(－1) =－31 二、运用有理数乘法运算律简化运算 正用分配律 逆用分配律 针对练习 计算：（1）－999 ；（2） 解：（1） 原式=(－999－ )× =－999× － × =－111－ =－111 ． ( － + )×(－24)． （2）原式= ×(－24)－ ×(－24)+ ×(－24) =－12+4－8 =－16． 二、运用有理数乘法运算律简化运算 高频考点 三、有理数的混合运算 例3 计算： (1)(－2)2×5－(－2)3÷4; (2)－(3－5)+32×(1－3). 解：(1)原式=4×5－(－8)÷4 =20+2 =22; (2)原式=－(－2)+9×(－2) =2－18 =－16. 高频考点 例3 计算：(3) {1+[()3] ×(－2)4 } ( ); 解：(3)原式=[1+() ×16] ( ) = (1+1) () = = = . 三、有理数的混合运算 注意除法没有分配律 针对练习 计算：(1) －22×(－ )+8(－2)2; (2) (－3)2 2×(－) 2+4－22×(－); 解：(1)原式=2+8÷4 =4. (2)原式=9×+4+ = +4+ = . 三、有理数的混合运算 (3) ． 解：(3) 原式= = = = ． 针对练习 三、有理数的混合运算 高频考点 例4 阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式= (第一步) =(15)÷(25)(第二步) = (第三步) (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　　步，错误原因是 　　； 第二处是第 　　步，错误原因是 　　； (2)请写出正确的结果 　　． 三、有理数的混合运算 乘除混合运算的顺序 解：(1)第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． (2)原式=15÷( )×6 =15× ×6 = ． 故答案为： (1)二，没有按同级运算从左至右运算．三，符号弄错． (2) ． 高频考点 三、有理数的混合运算 针对练习 计算 ，下面的解法正确吗？若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 解：不正确，同级运算要从左到右运算， 正确解答： = =80． 三、有理数的混合运算 三、有理数的混合运算 例5 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示． ________________ (1)接力中，计算错误的学生是 _____________ ； (2)请正确计算老师出示的算式； (3)计算： ． 高频考点 考点：有理数混合运算的顺序 解：(1)接力中，计算错误的学生是小明和小强； (2)42+20÷(4)6×(2)3 =16+(5)6×(8) =165+48 =21+48 =27； (3) =110×2×4+5 =180+5 =81+5 =76． 三、有理数的混合运算 高频考点 针对练习 三、有理数的混合运算 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是(　　) 甲：9－32÷8=0÷8=0． 乙：24－(4×32)=24－4×6=0． 丙：(36－12)÷ =36× －12× =16． 丁：(－3)2÷ ×3=9÷1=9． A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 C 高频考点 四、有理数运算的实际应用 例6 某登山队的5名队员，以1号位置为基地，开始向海拔高于基地300米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下(单位：米)： ＋150，－35，－42，－35，＋128，－26，－5，＋40，＋75. (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ 解：(1)150＋(－35)＋(－42)＋(－35)＋128＋(－26)＋(－5)＋40＋75＝250(米)，300－250＝50(米). 答：他们最终没有登上顶峰，离顶峰还差50米． 【小结】多个有理数相加时，遵循加法法则，可结合运算律简化计算。 (2)登山时，5名队员在全程中都使用了氧气瓶供氧，且平均每人每走1米要消耗氧气0.04升．他们共使用了多少升氧气？ 解：150＋|－35|＋|－42|＋|－35|＋128＋|－26|＋|－5|＋40＋75＝536(米)， 536×0.04×5＝107.2(升). 答：他们共使用了107.2升氧气． 高频考点 四、有理数运算的实际应用 1.某仓库原有商品300件，现记录了10天内该类商品进出仓库的件数如下所示(“+”表示进库，“－”表示出库)：+30，－10，－15，+25，+17，+35，－20，－15，+13，－35． (1)请问经过10天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件3元，请问这10天要付多少人工搬运费？ 解：(1)+30+(－10)+(－15)+(+25)+(+17)+(+35)+(－20)+(－15)+(+13)+(－35) =25(件)，300+25=325(件)， 答：经过10天之后，该仓库内的商品是增加了25件，此时仓库还有325商品. 针对练习 四、有理数运算的实际应用 1.某仓库原有商品300件，现记录了10天内该类商品进出仓库的件数如下所示(“+”表示进库，“－”表示出库)：+30，－10，－15，+25，+17，+35，－20，－15，+13，－35． (1)请问经过10天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件3元，请问这10天要付多少人工搬运费？ (2)|+30|+|－10|+|－15|+|+25|+|+17|+|+35|+|－20|+|－15|+|+13|+|－35| =215(件)，215×3=645(元)， 答：这10天要付645元搬运费． 针对练习 四、有理数运算的实际应用 2.下表是云南某地气象站本周平均气温变化的情况：(记当日气温上升为正)． 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温变化(℃) +3.5 +8.9 +2.6 －7.6 +6.5 －9.4 －5.5 (1)上周星期日的平均气温为15℃，则本周气温最高的是哪一天？请说明理由； 针对练习 解：(1)由条件可得，本周的平均气温如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温(℃) 18.5 27.4 30 22.4 28.9 19.5 14 ∴本周气温最高的一天是星期三； 四、有理数运算的实际应用 2.下表是云南某地气象站本周平均气温变化的情况：(记当日气温上升为正)． 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温变化(℃) +3.5 +8.9 +2.6 －7.6 +6.5 －9.4 －5.5 (2)本周日与上周日相比，气温是升高了还是下降了？升或降了多少℃？ 针对练习 (2)+3.5+8.9+2.6－7.6+6.5－9.4－5.5=－1． 故下降了1℃． 四、有理数运算的实际应用 高频考点 例7 有20箱苹果，每箱以30千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 与基准的偏差(千克) －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 箱数(箱) 1 3 5 6 3 1 1 (1)这20箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)求这20箱苹果的总质量． 解：(1)2－(－2)=2+2=4(千克)， 即这20箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重4千克； (2)30×20+(－2×1－1.5×3－1×5+0×6+1×3+1.5×1+2×1) =600－5=595(千克)， 即这20箱苹果的总质量为595千克． 四、有理数运算的实际应用 针对练习 某超市去年由于受物价上涨的影响，第一季度平均每月亏损1.2万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2.5万元，第三季度平均每月盈利2.1万元，第四季度平均每月亏损0.9万元.试通过计算说明这个超市去年总的盈亏情况. 解：记盈利为正，亏损为负，依题意得 (－1.2)×3+2.5×3+2.1×3+(－0.9)×3 =(－1.2+2.5+2.1－0.9)×3 =7.5(万元). 答:这个超市去年盈利7.5万元. 四、有理数运算的实际应用 高频考点 五、有理数中的规律探寻 例8 如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相等，则c= ____ ，第200个格子中的数为 ____ ． 解：∵任意三个相邻格中所填整数之和都相等， ∴3+a+b=a+b+c，∴c=3， 又∵a+b+c=b+c+(－1)，∴a=－1， 根据排列规律可得，b=2， 故这列数为3，－1，2，3，－1，2，……3，－1，2， ∵200÷3=66……2，∴第200个数为－1，故答案为：3，－1． 3 －1 高频考点 五、有理数中的规律探寻 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． (1)〇= ____ ； (2)若前m个台阶上所标有理数之和是－2021，则m的值为 _____ ． 解：(1)∵任意相邻三个台阶上数的和都相等， ∴〇+□－12=□－12+3， ∴〇=3， 故答案为：3； 3 607 高频考点 五、有理数中的规律探寻 (2)∵－1+△+〇=△+〇+□ ∴□=－1 ∵△+〇+□=□－12+3 ∴Δ=－12 ∴－1+△+〇=－1－12+3=－10 ∴每三个数一循环，且和等于－10 ∵－2021÷(－10)=202......1 ∴m=202×3+1=607， 故答案为：607． 高频考点 五、有理数中的规律探寻 例9 观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…通过观察，用你所发现的规律确定22025的个位数字是 ____ ． 解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， 2025÷4=506……1， 所以22025的个位数字是2， 故答案为：2． 2 观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测32025-5的个位数字是( ____ ) A.8 B.2 C.6 D.7 解：结果中个位数字的规律3、9、7、1、3、9、7、1…… 每4个数字一循环， ∵2025÷4=506……1， ∴32025－5的个位数字为：13－5=8；故选：A A 针对练习 五、有理数中的规律探寻 高频考点 六、科学记数法 例10 根据计划，我国将在2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等．地球与月球的距离大约为380000千米，用科学记数法可表示为( ____ ) 千米． A.38×104 B.3.8×105 C.3.8×106 D.3.85 解：380000=3.8×105． 故选：B． B 针对练习 六、科学记数法 1.据海关统计，今年一季度，我国货物贸易进出口10.3万亿元，增长1.3%．其中10.3万亿用科学记数法表示为　　　　　　． 解：10.3万亿=10300000000000=1.03×1013． 故答案为：1.03×1013． 1.03×1013 2.2025年，中国在可控核聚变领域取得重大突破，“中国环流三号”核聚变实验装置首次实现连续300秒的150000000摄氏度高温等离子体运行，并同步完成电力输出，标志着人类首次实现可控核聚变从实验室到电网的跨越．其中数据150000000用科学记数法应表示为　　　　． 解：150000000=1.5×108． 故答案为：1.5×108． 1.5×108 七、近似数 高频考点 例11 按括号内的要求取近似数，下列选项正确的是( ____ ) A.403.53≈403(精确到个位) B.2.604≈2.60(精确到十分位) C.0.0906≈0.1(精确到0.1) D.0.01361≈0.014(精确到0.0001) C 解：根据近似数的定义和四舍五入法逐项分析判断如下： A、403.53≈404(精确到个位)，故选项A不符合题意； B、2.604≈2.6(精确到十分位)，故选项B不符合题意； C、0.0906≈0.1(精确到0.1)，故选项C符合题意； D、0.01361≈0.0136(精确到0.0001)，故选项D不符合题意； 七、近似数 针对练习 1.下列说法中正确的是( ____ ) A.2.46万精确到万位 B.近似数6千和6000精确度是相同的 C.317500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为3.18×105 D.近似数8.4和0.8的精确度不相同 C 2.(1)将12.95精确到0.1得 ______ ； (2)数12.3万是精确到 ____ 位； (3)将175.65精确到个位得 _____ ． 13.0 千 176 创新题型 1.规定一种新的运算：a*b=ab－a－b2．例如3*(－4)=3×(－4)－3－(－4)2=－31．请用上面规定计算下列各式： (1)1*5；(2)(－5)*[3*(－1)]． 解：(1)1*5=1×5－1－52=5－1－25=－21； (2)3*(－1)=3×(－1)－3－(－1)2=－3－3－1=－7， (－5)*[3*(－1)]=(－5)*(－7)=(－5)×(－7)－(－5)－(－7)2=35+5－49=－9． 一、定义新运算 创新题型 2.若“！”是一种数学运算符号，并1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，则 的值为( ____ ) A.0.2！ B.2450 C. D.49！ 解：原式= =50×49=2450， 故选：B． B 一、定义新运算 创新题型 二、数学文化 3.算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如图1中用算筹表示的算式是“7408+2366”，则图2中算筹表示的算式的运算结果为 ______ ． _____________ 解：由题意，可知图2中算筹表示的算式为103－529， 103－529=－426． 故答案为：－426． －426 创新题型 二、数学文化 4.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则(x－y)m-n的值是( ____ ) A.－27 B.－1 C.4 D.－4 A 解：根据题意，可得： x+2=y+(－1)，m+(－1)=n+2， ∴x－y=－3，m－n=3， ∴(x－y)m－n=(－3)3=－27． 故选：A． 创新题型 5.阅读以下内容，并解决所提出的问题．我们知道，23=2×2×2，25=2×2×2×2×2，所以：23×25=(2×2×2)×(2×2×2×2×2)=28． (1)根据上述信息，试计算填空：53×56=5( )，a2×a5=a( )，am×an=a( )； (2)已知2m=3，2n=5，试根据(1)问的结论计算：2m+n+1的值． 解：(1)根据题意可得：53×56=53+6=59，a2×a5=a2+5=a7，am×an=am+n， 故答案为：9，7，m+n. (2)2m+n+1=2m×2n×21， 将2m=3，2n=5代入， 原式=3×5×2=30． 三、规律探究与运用 6.阅读材料，回答问题 = = =1×1=1． 根据以上信息，请求出下式的结果. 三、规律探究与运用 创新题型 解：原式= × × ×…× × × × ×…× =( × )×( × )×( × )×…×( × ) =1×1×1×…×1 =1． 三、规律探究与运用 创新题型 创新题型 四、简便运算 7.数学老师布置了一道思考题“计算： ”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式= = = 小红的解法：原式的倒数为 =－20+3－5+12=－10，故原式= (1)你觉得 _____ 的解法更好． 小红 (2)请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 解：(2)原式的倒数为 = =－7+9－28+12=－14，故原式= 创新题型 四、简便运算 8.为了求1+2+22+23+⋯+220的值，可令S=1+2+22+23+⋯+220，则2S=2+22+23+⋯+221，因此2S－S=221，所以1+2+22+23+⋯+220=221，仿照以上推理，计算1+5+52+53+⋯+52025=( ____ ) A.52025－1 B.52024－1 C. D. (52025－1) 解：令M=1+5+52+53+⋯+52025， C 则5M=5+52+53+54⋯+52026， 那么5M－M=52026－1， 即4M=52026－1，则M= ，即原式= = (52026－1)，故选：C． 一套在手，备课无忧！ 人教版 七年级上册 谢谢观看 $$