精品解析：浙江省杭州市拱墅区杭州第十一中学2024-2025学年高二下学期期中考数学试题

2024学年第二学期高二年级期中考试数学学科问卷 时长：120分钟 满分：150分 命题人：吕蔚 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 为的极小值点 B. 为的极大值 C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数 4. 某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人 5. 从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为128 C. 项系数为280 D. 所有项的系数之和为 11. 已知函数，则（ ） A. ， B. 在上单调递增 C. 的极大值为1 D. 的极小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________． 13. 某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是__________． 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，证明：数列的前项和． 16. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 18. 抛物线，点为焦点，点，点是抛物线上任意不重合的两点.当线段为通径时，其长度. （1）求抛物线及其准线的方程. （2）若直线过点，且向量，求弦长. （3）若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值. 19. 已知函数，． （1）求函数在点处的切线方程； （2）当时，，求实数a的取值范围； （3）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高二年级期中考试数学学科问卷 时长：120分钟 满分：150分 命题人：吕蔚 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【详解】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共面的判定方法可得答案. 【详解】因为构成空间的一组基底，所以不共面； 由于，所以，，共面，A不正确； 由于，所以，，共面，B不正确； 由于，所以，，共面，D不正确； 对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面. 故选：C 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 为的极小值点 B. 为的极大值 C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象，分析出函数的单调性及单调区间，再逐项分析即可. 【详解】由导函数的图象可知，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，故A、 D错误； 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以为的极大值点，即为的极大值，故B正确， 函数在单调递减，在上单调递增，所以C错误. 故选：B 4. 某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解； 【详解】由题意，，，则， 得分在区间内的学生大约有． 故选：C． 5. 从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全概率公式即可知所得的两位数能是偶数的概率. 【详解】设“两位数的十位是奇数”为事件，“两位数的十位是偶数”为事件，“两位数是偶数”为事件； 则可得， 可得. 故选：A. 6. 如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 7. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的半焦距为，结合双曲线的渐近线方程为，可得，设，结合双曲线定义，余弦定理列关系式可得，结合角平分线性质求结论. 【详解】设的半焦距为， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以，故，. 设，，， 由余弦定理有， 化简得，则， 因为为的角平分线， 所以，又， 所以， 所以. 故选：D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的首项和公差，列方程即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 依题意， 解得, 所以, 对于A，由上面可知，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故当时，取得最小值为，故，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为128 C. 项系数为280 D. 所有项的系数之和为 【答案】BD 【解析】 【分析】借助二项式展开式定义可得A；借助二项式系数和为可得B；借助二项式展开式的通项公式计算可得C；借助赋值法令可得D. 【详解】对A：由可得其展开式共项，故A错误； 对B：，故所有项的二项式系数之和为128，故B正确； 对C：对可得， 则，故C错误； 对D：令，可得，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. ， B. 在上单调递增 C. 的极大值为1 D. 的极小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据函数的解析式结合分析判断；对B，C，D，利用导数判断单调性和极值判断. 【详解】由，得的定义域为， 对于A，由.当时，，，所以，故A正确； 对于B，C，D，由，得. 由，得或，由，得或， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以B，D错误，C正确. 故选：AC. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________． 【答案】96 【解析】 【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可. 【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程， 则有：种情况， 剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有： ①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况， ②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况， 所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为： 种情况， 故答案为：96. 13. 某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解. 【详解】设甲获胜为事件A，甲第一局获胜为事件B， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率． 故答案为： 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个不同的零点，即函数的图象与x轴有两个不同的交点，利用导数探讨函数的最值，建立不等式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大， 函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点， 因此，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，证明：数列的前项和． 【答案】（1） 证明：由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2） 证明：由（1），故， ， 故 ，即得证. 【解析】 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式，根据裂项相消求和证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为侧面是平行四边形，所以为的中点， 又因为点为线段的中点，所以， 因为面，面，所以面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明； （2）由已知可知，为等边三角形，故，利用面面垂直的性质定理可证得底面，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，因为，， 所以为等边三角形，， 因为点为线段的中点， 所以， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以底面， 过点在底面内作，如图以为坐标原点，分布以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 又因为平面的法向量为， 则， 经观察，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 17. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 数学期望为 （3）两队积分相等的概率小于 【解析】 【分析】（1）计算6场比赛甲赢的频率即可； （2）利用第1问求出的概率，分类列出其分布列，再求期望； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，求两者之间的关系，将问题转化为时的概率，再结合第2问可求其概率. 【小问1详解】 由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． 【小问3详解】 记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 18. 抛物线，点为焦点，点，点是抛物线上任意不重合的两点.当线段为通径时，其长度. （1）求抛物线及其准线的方程. （2）若直线过点，且向量，求弦长. （3）若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值. 【答案】（1）抛物线，准线方程：； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据通径长求出系数，代入得到抛物线方程，再根据定义求其准线方程； （2）根据题意设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到与系数的关系，并求得直线斜率，再根据两点间距离公式计算弦长； （3）根据题意设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到与系数的关系，根据根的判别式得到系数的取值范围，结合点到直线的距离公式以及两点间距离公式表示出，根据的取值范围求其最小值. 【小问1详解】 因为通径长为. 所以抛物线，准线方程为. 【小问2详解】 由题意知点为中点，且直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线， 联立可得， 设点， . 于是. 【小问3详解】 因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线 由可得，则， 设，则， 因为以线段为直径的圆过点，所以，即， 即，， 将代入得则有， 所以，且，解得或. 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积. 19. 已知函数，． （1）求函数在点处的切线方程； （2）当时，，求实数a的取值范围； （3）已知，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 当时，由（2）得， 则，所以，即，则， 令，得，所以，即， 又， 令，则，且不恒为零， 所以在上单调递增，即，则， 所以， 即 ． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式直线方程求解即可； （2）先利用导数法证明，然后按照和分类讨论，时结合结论放缩证明即可，时举反例判断，即可得解； （3）当时，由（2）得，变形得，令，得，再构造函数，利用导数法证明，进而，利用累加法即可证明. 【小问1详解】 因为， 则函数在点处的切线斜率为， 又， 所以函数在点处的切线方程； 【小问2详解】 设，， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 则函数，所以， 当时，，即， 当时，取，观察的其中的一个零点为， 由于， 而，得， 即，不合题意， 综上所述，实数的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $