专题04 中考压轴思维培养Ⅲ—几何中的化简计算能力篇（高效培优专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题04 中考压轴思维培养Ⅲ—几何中的化简计算能力篇 题型一：列函数解析式 题型二：新定义、情景探究题 题型三：动态几何 题型四：其他问题 题型一：列函数解析式 1．如图，在中，，，，点是上一点，且，过点作，垂足为，点是边上的一个动点，连接，过点作交线段于点（不与点、重合）． (1)求证：； (2)设，，求出关于的函数解析式，并直接写出定义域； (3)联结，若与相似，直接写出的长度． 2．如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 3．在梯形中，，．（如图1） (1)试求的度数； (2)若E、F分别为边上的两个动点（不与端点A、D、C重合），且始终保持，与交于点．（如图2） ①求证：； ②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明； ③设，试求关于的函数解析式，并写出定义域． 4．在梯形中，，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），连接，过点E作交射线于点F，连接．设，．    (1)求的长； (2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 5．在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 6．如图，在△ABC中，AB=10，BC=34，cos∠ABC=，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF=EC，交BC的延长线于点F，设BD=x． (1)如图1，当AD∥EF，求BD的长； (2)若CE=y，求y关于x 的函数解析式，并写出定义域； (3)如图2，点G在线段AE上，作∠AGD=∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长． 7．如图，已知正方形中，相交于点，过点作射线，点是射线上一动点，连接交于点，以为一边，作正方形，且点在正方形的内部，连接． （1）求证：； （2）设，正方形的边长为，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，当是等腰三角形时，求的长． 题型二：新定义、情景探究题 8．新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 9．【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 题型三：动态几何 10．我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 11．如备用图，已知在矩形中，，． (1)若延长至E，使，以为边向右侧作正方形，O为正方形的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点M、N，求线段的长； (2)将矩形绕点A旋转，得到四边形，使点D落在直线上，求线段的长； (3)E、F分别是边、是若把矩形纸片，沿着直线翻折，点A，B的对应点分别为，，交射线于点G，交于点P，当时，求的值． 12．在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合）    (1)将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； (2)当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 题型四：其他问题 13．在梯形中，，，，，过点C作对角线的垂线，垂足为E，交射线于点F． (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，如果F是的中点，求的值； (3)连接，当时，是什么三角形（直接写出结果）． 14．已知在中，点D在边上，点E在射线上．直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点E在边上时，如果，求证：； (2)如果， ①如图2，当时，求的值； ②填空：当时，那么的长为______． 15．在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 中考压轴思维培养Ⅲ—几何中的化简计算能力篇 题型一：列函数解析式 题型二：新定义、情景探究题 题型三：动态几何 题型四：其他问题 题型一：列函数解析式 1．如图，在中，，，，点是上一点，且，过点作，垂足为，点是边上的一个动点，连接，过点作交线段于点（不与点、重合）． (1)求证：； (2)设，，求出关于的函数解析式，并直接写出定义域； (3)联结，若与相似，直接写出的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，根据，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质即可得答案； （3）当时，过点作于，可得，根据角平分线的性质得出利用证明，得出，根据角的和差关系得出，利用证明，进而得出，列方程即可求出的值，代入（2）中关系式即可求出的长；当时，可得，根据可得，可得，，进而可证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可得的长；综上即可得答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 2．如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 3．在梯形中，，．（如图1） (1)试求的度数； (2)若E、F分别为边上的两个动点（不与端点A、D、C重合），且始终保持，与交于点．（如图2） ①求证：； ②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明； ③设，试求关于的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析；③ 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． （1）作，垂足为，得四边形为正方形，从而得，进而即可求解； （2）①由，得，进而可得； ②根据条件得出，从而得出为等腰直角三角形． ③延长交的延长线于点，由，得，从而得，由，得，结合，即可得到结论． 【详解】（1）解：作，垂足为， 在四边形中，，， 则四边形为正方形 ， ∴， 又在中，， ∴， ∴． （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②是等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又在中，，为等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形； ③延长交的延长线于点， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ∴，即， ． 4．在梯形中，，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），连接，过点E作交射线于点F，连接．设，．    (1)求的长； (2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)6； (2)； (3)或或； 【分析】本题考查矩形得判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形，勾股定理： （1）过点作，可得四边形为矩形，利用勾股定理求出的长即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：过点作与点，    ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 整理，得：， ∵点E在线段上， ∴， ∴； （3）当点在线段上时， ①当时，如图，过点作与点， ∵，， ∴，    由（1）知，， ∴， 由（2）知：， 当时，，解得：或， 即：或； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； 当点在线段的延长线上时：如图，    则：，， 同法（2）可得：， ∴ 即：， 整理，得：， ∵是以为腰的等腰三角形，则：， 在中：， 在中：， 在中：， 整理，得：， ∵， ∴， 整理，得：， 解得：或（不符合题意舍去）； ∴， 综上：或或． 5．在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2) (3)，（） 【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度； （2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为． （3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． （2）∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． （3）过点作交于点，则．    ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式． 6．如图，在△ABC中，AB=10，BC=34，cos∠ABC=，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF=EC，交BC的延长线于点F，设BD=x． (1)如图1，当AD∥EF，求BD的长； (2)若CE=y，求y关于x 的函数解析式，并写出定义域； (3)如图2，点G在线段AE上，作∠AGD=∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长． 【答案】(1)12 (2) (3)8或17 【分析】（1）可推出是等腰三角形，从而求得BD； （2）作于G，于H，可证得，可求得进一步求得结果； （3）推出可以是或，当时，可推出及，进而求得此时BD的值；当时，推出四边形是平行四边形，再根据，进而求得此时BD． 【详解】（1）解：如图1， 作于G， ， ∴， （2）解：如图2， 作于G，于H， 化简，得， 当时，， 此时， ∴。 ∴； （3）如图3， ∵， ∴点D、G、E、F共圆， 或 当时， 当时，如图4， ∴四边形是平行四边形， 由（1）（2）知， 综上所述：BD＝17或8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找出条件，正确分类，注意图形的特殊性等． 7．如图，已知正方形中，相交于点，过点作射线，点是射线上一动点，连接交于点，以为一边，作正方形，且点在正方形的内部，连接． （1）求证：； （2）设，正方形的边长为，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）（）；（3）当是等腰三角形时，或 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD，∠EOH=90°，OE=OH，由全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图1，过O作ON⊥AB于N，根据等腰直角三角形的性质得到， 根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论； （3）①当AE=EG时，△AEG是等腰三角形，②当AE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P③当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 即， ． （2）如图1，过O作ON⊥AB于N， 则， ∵BF=x， ∴AF=4-x， ∴FN=2-x， ∴， ∴， ∵AM⊥AC， ∴AE∥OB， ∴， ∴， ∴； （3）①当AE=EG时，△AEG是等腰三角形，则AE=OE， ∵∠EAO=90°， ∴这种情况不存在； ②当AE=AG时，△AEG是等腰三角形， 如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE， ∴∠PAE=∠AEO， ∴△APE∽△EAO， ∴， ∵AE=AG， ∴，， ∴， 解得：x=2， ②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形， 如图3，过G作GQ⊥AE于Q， ∴∠GQE=∠EAO=90°， ∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°， ∴∠EGQ=∠AEO， ∵GE=OE， ∴△EGQ≌△OEA（AAS）， ∴， ∴， ∴， ∴BF=2或． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型二：新定义、情景探究题 8．新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； （2） 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； （3） 由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴矩形ABCD的“度量值”为， （2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； ∴的“度量值”为； （3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 9．【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：．    （2）解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 题型三：动态几何 10．我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 【答案】(1) (2)见详解 (3)或时，、分别是、的黄金分割点 【分析】（1）由根据黄金分割的定义直接求出的长即可； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）先证明，得，由，得，再证明，得，所以，再分两种情况讨论，一是，可证明，所以，则、分别是、的黄金分割点；二是，先探究出当、分别是、的黄金分割点时，，再证明当时，则，，所以、分别是、的黄金分割点． 【详解】（1）解：，点是的黄金分割点， ， 故答案为：． （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形，， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点． （3）解：或时，、分别是、的黄金分割点， 理由：设交于点， 四边形是正方形， ，，， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若，如图③， 则， 当时，则， ， 、分别是、的黄金分割点； 若，如图④， 设，则， 由可知， ， 当时，由得， 整理得， 解关于的方程得，（不符合题意，舍去）， ，， 、分别是、的黄金分割点． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法与应用、黄金分割原理的应用等知识与方法，解题过程中还要注意数形结合与分类讨论数学思想的运用，求得所有符合题意的结论． 11．如备用图，已知在矩形中，，． (1)若延长至E，使，以为边向右侧作正方形，O为正方形的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交、于点M、N，求线段的长； (2)将矩形绕点A旋转，得到四边形，使点D落在直线上，求线段的长； (3)E、F分别是边、是若把矩形纸片，沿着直线翻折，点A，B的对应点分别为，，交射线于点G，交于点P，当时，求的值． 【答案】(1) (2)2或2 (3)1或3 【分析】（1）连接交于点， 过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点， 取中点， 连接， ， 过点作于，由三角形中位线定理可求 ，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可求的长，即可求解； （2）根据题意，画出示意图，再根据图形旋转的性质，结合相似三角形的判定和性质即可解决问题； （3）设与交于点， 连接，根据折叠的性质及矩形的性质证明 利用平行线的性质即可得证四边形是菱形，分情况讨论：如图①，当点在上时，连接， 设菱形的边长为， 则；如图②，当点在的延长线上时， 连接， 过点作于点，利用勾股定理，正方形的性质，菱形的性质即可解答. 【详解】（1）如图， 连接， 交于点， 过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点， 取中点， 连接， ， 过点作于， ∵四边形是矩形， ， 又∵是中点， ， 同理可求 ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ； （2）当点在矩形内部时，连接，如图所示， 由旋转可知，， 在中，， 所以， 在中，， 因为 所以 又因为， 所以， 所以， 所以； 当点在矩形外部时，连接，如图所示， 同理可得，， 因为 ， 所以 所以， 综上所述，的长为或； （3）设与交于点，连接，如图， 由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， （3）如图①， 当点在上时， 连接， 设菱形的边长为，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得(舍去) 或， ∴此时点 ，与点重合，点与点重合，即菱形为正方形， ， ； 如图②，当点在的延长线上时，连接，， 过点作于点， 设菱形为边长为，则， ， ， 在中，由勾股定理得 解得 或(舍去)， ， ， ， ； 综上所述， 的值为或 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转和翻折的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 12．在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合）    (1)将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； (2)当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质和，可推出，即可证明；②分情况讨论，当时，可推出四边形为平行四边形，得到，设，则，，，根据，推出，最后利用勾股定理，即可得到；当时，连接，作，可得四边形是平行四边形，结合勾股定理得到，然后证明，可设，则，，最后利用，即可求得； （2）连接，作于点，证明，，，，设，则，，，，由得到值，再由和得到，最后由得到答案． 【详解】（1）①证明：根据折叠的性质， 又 ②解：第一种情况：根据题意，当时，如图 ， 四边形为平行四边形 设，则， 又， 由题意可知， ，即 解得：，（舍去负值） 第二种情况：根据题意，当时，连接，作，如图所示： ，， ，， 又 四边形是平行四边形 又， 又， ， 又根据折叠的性质，可知 设，则， 由①可知， 由题意可知，， ，即 综上所述，或． （2）解：连接，作于点，如图 由（1）可知， 又 ， 又 设，则， ， 又， ，即 解得： ， ，即 又， 的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 题型四：其他问题 13．在梯形中，，，，，过点C作对角线的垂线，垂足为E，交射线于点F． (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，如果F是的中点，求的值； (3)连接，当时，是什么三角形（直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)等腰三角形 【分析】（1）证明即可； （2）证明，得到，中点得到，进而得到，在，利用勾股定理求出，再根据，进行求解即可． （3）根据，结合，得到，进而推出垂直平分，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ∵，，， ； （2）在和中， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 又∵F是的中点， ∴， ∴， 在中，， 解得，或（舍去） ∴； （3）如图： ∵，由（2）可知：， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中垂线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 14．已知在中，点D在边上，点E在射线上．直线与直线相交于点F． (1)如图1，当点E在边上时，如果，求证：； (2)如果， ①如图2，当时，求的值； ②填空：当时，那么的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过点作，交于点G，证明，得到，结合，推出，再推出，即可得出结论； （2）①分别过点作的垂线，垂足分别为，过点A作，交于点N，设，则，，由等腰三角形三线合一求出，证明，利用三角形相似的性质求出，，由勾股定理求出，再证明，推出，求出，，进而求出，由勾股定理求出，即可得到的值；②根据已知求出，分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况讨论，同理①即可解答． 【详解】（1）过点作，交于点G， ∵ ， ∴， ∴即， ∵即， ∴即， ∴， ∴； （2）解：①分别过点作的垂线，垂足分别为，过点A作，交于点N， 设，则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当点E在的延长线上时， ∵，， ∴， 同理①可得：当时，，即； ∴当时，； 点E在线上时，如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，过点E作，交于点K， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，计算量较大，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 15．在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$