第二十四章 相似三角形（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第二十四章 相似三角形章节压轴训练 一、单选题 1．已知中，，，点为三条内角平分线的交点，若，则，的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，平分， ，， ，平分， ， 设， 在和中， ， ∴， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上，将线段绕点逆时针旋转得线段，若点纵坐标为，则点横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过作轴于点，过作，交延长线于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交轴于点， 则，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即为中点， ∴，， ∴， ∴，即为中点， ∴，， ∵点坐标为，点纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴，解得：，， ∴， ∴点横坐标为， 故选：． 3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点，点，点，点，点，其中．三角形的面积为．则以下说法错误的是（   ） A．点F在y轴上 B．的长度为4 C．点C到直线的距离为3 D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点，点，点，点，点， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴， ∴， ∴， ∴，，即，故A正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴三角形的面积为 ∴， ∴点C到直线的距离为，故C错误，符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】D 【详解】解：过B点作的垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接，过点作交于点， ∵矩形中，, ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴， 当点共线，且点重合时，取得最小值即为， ∴的最小值为 故选：D． 5．如图，在平行四边形中，的顶点，分别在边，上，满足，，，，在上一取点，满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：如图， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴ 设， ∴ ∴，即， 解得： ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：D． 6．如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，．下列四个结论： ①； ②； ③； ④的周长是． 其中正确结论的为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：是正方形， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在正方形中，，， ，， 在和中， ， ， ，即，故②正确； ，， ， ，即， ， ， ， ，， ，故③错误； 在和中， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点，是直角三角形， ，， 是直角三角形，为的中点， ， 的周长，故④正确． 故选：． 【点睛】 二、填空题 7．如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴, ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 8．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 9．如图，已知在矩形中，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作， 在矩形中，，， ∴， 由旋转可知：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是添加辅助线，充分运用相似三角形的性质求出相应线段的长． 10．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点．将矩形沿着对角线折叠，使得点落在点处．已知点的坐标为，的长度为，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】解：已知， ∴， ∵四边形是矩形，对角线交于点， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，，即，则， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴负半轴上，点在第四象限， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，为等腰三角形且，延长交于点E，过D作于点F，交于点G，若，，，则边 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 在中，设，则，，，， 在中，， 解得：，（此时，不合题意，舍去）， ∴， ∴，， 过点G作， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 12．在中，，，，是边上的一点，是边上的一点、与端点不重合），如果与相似，那么的长是 ． 【答案】或 【详解】解：，，， ， 当，如图， 则，， 为等腰三角形， ， ， ， ， 当，如图， 则，， 而， ， ， ， 当，如图， 则，， ， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 13．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为 ． 【答案】1或3或9 【详解】解：， ， ∵D为的中点， ， 如图（1），当时，， 由折叠可知，， ， ， 如图（2），当时，点在点P左侧时，， ， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， 由折叠可知， ， ， ， ∴， ∴， 即， 解得， ； 如图（3），当，点在点P右侧时，取的中点E， 连接，则，． ， ， ，， ∴， ， 由折叠可知， ， ， ． 综上所述，的长为1，3或9， 故答案为：1或3或9． 14．如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，由中垂线性质可知，如图所示， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ，， ，， ∴． 由勾股定理可得， ∴． 作于点，如图所示， 平分， ， ，， ． ，即， 解得． ∵，， ∴， ∴， ∴． 过点作交的延长线于点，如图所示， ， 平分， ， ， ． 由，可得， ，即， 整理可得，进一步整理得， 解得（负根舍去）， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 15．如图，边长为6的正方形，为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长交边于点，若，则的长是 【答案】/ 【详解】解：如图，过点P作，分别交于点M，N，过点P作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴四边形，四边形，四边形和四边形都是矩形， ∴，， 又∵，，， ∴，， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， ∴， ∵将沿翻折，点B的对应点为点P， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查翻折变换，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，能够作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 16．如图，在矩形中，点分别落在上，连接得到正方形．在上取一点，在上取一点，使得，连接，和分别交于点和，若，，则四边形与的面积比为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于，交于点，连接，则， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形、四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点， ∵菱形的周长和面积分别为12和6， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在正方形中，，点，分别在边，上不与顶点重合，且满足，连结，交于点，分别是边，的中点，连结，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接，连接， ，，， ， ， ， ， 是的中点， ， 是的中点， ， 是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝． (1)当＝2时，＝______；（用与表示） (2)当＝时，＝______； (3)在原图上作出在、上的分向量． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析；分向量分别为， 【详解】（1）∵＝，BM：CM＝2， ∴＝， ∴＝ ． 故答案为：． （2）∵＝， ∴＝＝， ∴BM：BC＝3：7， ∴BM：MC＝3：4， 故答案为：． （3）如图所示，作平行四边形AEMF：在、上的分向量分别为，． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．如图，直线与反比例函数分别交于点，，经探索研究发现：结论始终成立．已知，另一直线交线段于点，交反比例函数图象于点F． (1)求反比例函数的解析式． (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：直线经过点， ， 则， 直线的解析式为：， 令，则， ， ， ， ， ， ， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：， ， ， ， ， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则， ∴， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍）或， ； 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，直线和双曲线的交点坐标的求法，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形，求出点E的坐标是解本题的关键． 21．如图，在四边形中，，，对角线交于点，将沿翻折得． (1)求证：； (2)若， 求的值； 如图，连接交于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)；见解析 【详解】（1）证明：， 、、、都在以为直径的圆上，即、、、四点共圆， ， ， ， ，即； （2）解：由已知，则设，， 故，从而． 作于点，如图所示： 则， 故． 由折叠可知，， 故，相似比为， 故． 证明：作于点，交于点，连接，如图所示： 由中结论可知， 故． 由三线合一性质可知为中点，， 则， 故． ，且， 四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理推论，四点共圆，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上内容并根据条件作出准确恰当的辅助线是解此题的关键． 22．如图1，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接． (1)变化时，设．若用表示和，那么___________，___________； (2)若，且与相似，求相应长； (3)如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明． 【答案】(1)，． (2) (3)，见解析． 【详解】（1）解：，． 、分别平分、， 平分， ， 是的外角的平分线， ， ， 、分别平分、， ， ， ， ， ， ； （2）与相似，根据题意知，所以本题分三种情况： 若，如图1， 易证，则为等腰直角三角形， ． ，如图2， 推出， ， ， ，，， ，如图3， 同，推出中，，，． （3）写出：，，． 证明其中一个三角形与相似．如：． 证明：平分， ， 同理可得出，． ， ， ； ， ； ． 又， ． 【点睛】本题考查了三角形角平分线定义、内心性质、三角形外角性质、相似三角形的判定和性质、平角定义等知识点，数形结合是解题的关键． 23．如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 24．在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点是的中点，连接，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，当旋转到时，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）设正方形的边长为，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交延长线于，如图， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵交延长线于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设正方形的边长为，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，解题关键是掌握正方形的性质、旋转的性质、这些性质定理．相似三角形的判定与性质． 25．【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接． ， ， 由折叠可知， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图，连接， 由题意， 设， 设． ①当点在点的左侧时， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理， ∵， ∴， ∴， 即， ∴或（舍弃）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形章节压轴训练 一、单选题 1．已知中，，，点为三条内角平分线的交点，若，则，的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴上，将线段绕点逆时针旋转得线段，若点纵坐标为，则点横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，点，点，点，点，点，其中．三角形的面积为．则以下说法错误的是（   ） A．点F在y轴上 B．的长度为4 C．点C到直线的距离为3 D． 4．如图，矩形中，，点M在上，点N在上，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 5．如图，在平行四边形中，的顶点，分别在边，上，满足，，，，在上一取点，满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．如图，点是正方形对角线的交点，． 中，，过点，，分别交，于点，，连接，，．若，．下列四个结论： ①； ②； ③； ④的周长是． 其中正确结论的为（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题 7．如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 8．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 9．如图，已知在矩形中，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 10．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点．将矩形沿着对角线折叠，使得点落在点处．已知点的坐标为，的长度为，则点的纵坐标为 ． 11．如图，为等腰三角形且，延长交于点E，过D作于点F，交于点G，若，，，则边 ． 12．在中，，，，是边上的一点，是边上的一点、与端点不重合），如果与相似，那么的长是 ． 13．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为 ． 14．如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ． 15．如图，边长为6的正方形，为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长交边于点，若，则的长是 16．如图，在矩形中，点分别落在上，连接得到正方形．在上取一点，在上取一点，使得，连接，和分别交于点和，若，，则四边形与的面积比为 ． 17．如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 18．如图，在正方形中，，点，分别在边，上不与顶点重合，且满足，连结，交于点，分别是边，的中点，连结，，则的最小值为 ． 三、解答题 19．如图，已知点M是△ABC边BC上一点，设＝，＝． (1)当＝2时，＝______；（用与表示） (2)当＝时，＝______； (3)在原图上作出在、上的分向量． 20．如图，直线与反比例函数分别交于点，，经探索研究发现：结论始终成立．已知，另一直线交线段于点，交反比例函数图象于点F． (1)求反比例函数的解析式． (2)若，求点的坐标． 21．如图，在四边形中，，，对角线交于点，将沿翻折得． (1)求证：； (2)若， 求的值； 如图，连接交于点．求证：． 22．如图1，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接． (1)变化时，设．若用表示和，那么___________，___________； (2)若，且与相似，求相应长； (3)如图2，延长交延长线于．当形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与相似？写出这些三角形，并选其中之一证明． 23．如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 24．在正方形中，将绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到，点与点对应，点与点对应，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点是的中点，连接，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，当旋转到时，若，求的长． 25．【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$