第1章 二次函数拓展之几何篇（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

第1章 二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数中的全等三角形 【解惑】如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出n的取值范围； (3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）把和代入，求出a和c的值，即可得出函数解析式； （2）先求出时的函数值，再求出函数最小值，结合图象即可得出n的取值范围； （3）先得出抛物线解析式为直线，则点D到对称轴距离为1，到x轴距离为3，根据，点P在抛物线上，得出结论点在x轴下方，对称轴距离为1，到x轴距离为3，即可解答． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：把代入得：， ∴， ∵，， ∴当时，该函数有最小值， ∵在该抛物线上， ∴当时，n的取值范围为； （3）解：∵， ∴抛物线解析式为直线， ∵， ∴点D到对称轴距离为1，到x轴距离为3， ∵，点P在抛物线上， ∴点在x轴下方，对称轴距离为1，到x轴距离为3， ∴点或， 把代入得：， 解得，， ∴或在抛物线上， 综上：存在，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2．抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； (1)如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． (2)如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． (3)如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 【答案】(1)①；② (2)是定值 (3)点的横坐标为6 【分析】（1）①令，解得：或3，令，则，则点、、的坐标分别为、、，再根据即可求解； （2）设点，点，，把点P、A坐标代入一次函数表达式求得，确定点D坐标为，同理可得点，代入求解即可确定结果； （3）求出，由中点坐标公式得：，即可求解． 【详解】（1）解：①令， 解得：或3， 令，则， 则点、、的坐标分别为、、， ， 解得：， 故抛物线的表达式为：； ②当与全等时， 则点、关于抛物线的对称轴对称， 则点， 故答案为：； （2）的值是定值；理由如下： 设点，点，， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， 即点D坐标为， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， ∴点E的坐标为， ∴为定值； （3）由点、的坐标同上得，直线的表达式为：， 同理可得，直线的表达式为：， 联立上式两式得：， 解得：， 由（3）知，，， ∵恰好为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：或0（舍去）， 即点的横坐标为6． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、全等三角形等知识，作出求出对应函数的函数解析式是解题的关键． 3．如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的表达式； （2）由得对称轴为直线，，，即知是等腰直角三角形，根据以、、为顶点的三角形与全等，得，即可求得或． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图： 由得对称轴为直线，，， ， 是等腰直角三角形， 在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ， 或， 或； 类型二、二次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． (1) ______，顶点的坐标为______． (2)连接，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图2，连接、，点、分别在线段、上均含端点，且，若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)①1，②； (2)存在， (3)或或． 【分析】（1）把代入，求出b的值，根据二次函数的性质即可求出顶点的坐标； （2）过点作轴，交于点H，求出直线的解析式为，设，则点H的坐标为，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）证明，并求出m的取值范围，分①若；②若；③若，三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：①把代入， 得， 解得， 故答案为：1 ②抛物线的解析式为， 整理得， 得顶点的坐标为； 故答案为：； （2）存在， 过点作轴，交于点H， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则点H的坐标为， ∴， ∴的面积 ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，的面积取得最大值， 最大值为， 此时； （3）由抛物线对称性可得，， ∵， ∴， 把代入， 解得，， ∴点B的坐标为， 设点M的坐标为， ∵点M在线段上（含端点）， ∴， ①若，则， ∵， ∴， 得点N与点A重合，则点M与点B重合， ∴点M的坐标为； ②若，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为； ③若，则， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，若是等腰三角形，则点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，二次函数的面积综合题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题． 【融会贯通】 1．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；； (2)或或． 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）代入和，解方程组即可；令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （2）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入可得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； 令抛物线，则， ∴， ∴； （2）存在． 理由：∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数和二次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．【问题背景】 如图1，已知抛物线经过，，三点．     【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形； 【深入探究】 （3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）； （2），，； （3）或或或16 【分析】（1）先设出抛物线的解析式，利用待定系数法，将三点坐标代入求出抛物线的解析式； （2）先利用平行四边形的性质，得出，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标； （3）分，，三种情形，分别求解，求出的长． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，）， ∵抛物线经过，，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，有三种情况， ∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴，，，，，，， ∴点在点的左边距离为处，坐标为， 点在点的右边距离为处，坐标为， 点与的连线的中点是点，坐标为． （3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点， 则， ，， ，， ，， ， ， 设，则，， ， ，， ∵点， ∴， ，解得：（舍去）或， ； 当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点， 则轴， ，， ，， ，， ， ， 设，则，， ， ，， ，解得：（舍去）或； ②如图，当时，过点作交轴于点，则， 设，则， ， ，解得：， ， 设直线的关系式为， 则，解得：， 直线的关系式为， 设直线的关系式为， ，解得：， 直线的关系式为， ， ， ③如图，当时，过点作交轴于点，则， ，， ， ， ， 设直线的关系式为， 则，解得：， 直线的关系式为， 设直线的关系式为， ， ，解得：， 直线的关系式为， ， ． 综上所述，的长为或或或16． 【点睛】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形判定与性质等知识点，熟悉相关性质，进行分类讨论，并结合图形进行求解是解题关键． 类型三、二次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，两点代入即可求解； （）由直线，则，轴，又，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则有，设，则，，然后分当在上方时和当在下方时两种情况分析，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线， ∴，轴， ∵，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的解析式为得，当时，， ∴， ∴， 设，则，， ∴当在上方时，， 解得：或， ∴此时与重合，舍去；或， 当在下方时，， 解得：或， ∴，此时与重合，舍去；或，此时与重合，舍去； 综上可得：． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，由点)在函数图象上，对称轴为直线，列方程组即可求得解析式； （2）根据平移后的图象过原点，所以设，使抛物线第二象限上的点P与组成的是等腰直角三角形，所以分三种情况来讨论，分别求出三种情况的解析式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：当时，， ∴，则， ∵， ∴， 由平移后抛物线过原点，可设表达式是，分三种情况： ①当为等腰直角三角形的斜边，如解图①所示，作轴于点Q， ， ，， ． 又， ， ， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ②当为等腰直角三角形的斜边，如解图②所示，过作轴于H， 同上可得， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ③当为等腰直角三角形的斜边，如解图③所示， 此时是的中点， ， ， 把代入得，． ∴平移后抛物线表达式为． 综上所述，平移后抛物线表达式为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识，要注意数形结合和分类讨论思想方法的运用． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，且； (3)或或； (4)存在，或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3），矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为 时，，解得：；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点M在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点M在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：（1）抛物线经过原点O， 则抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：，则， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即，点B、M不重合，故， 即且； （3）解：∵点，矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， ∴当点M的纵坐标为 时， ∴，解得：； 当点M的纵坐标为时， ∴， 解得：或； 综上，m的值为或或； （4）解：存在，或，理由： 当点M在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， 则； 当点M在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去） 则； 综上， 或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 3．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为； (2)的面积的最大值为8，； (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的面积综合，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、分别代入，进行计算，得抛物线的解析式为，再结合直线，列方程计算，即可作答． （2）先表示，，得出，故，当时，的面积的最大值为8，此时，即可作答． （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为与直线交于B、D两点， ∴， 解得 ∴把代入，得， ∴点D的坐标为， （2）解：如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， ∵轴于H， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知， ∴点H的坐标为， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或. 类型四、二次函数中的直角三角形 【解惑】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； （3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． （3）解：， ∵， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为， 则，， ①当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为或； ②当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为； ③当为斜边时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，． (1)求抛物线关系式． (2)抛物线上是否存在一点P，使是以A为直角顶点的直角三角形．若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． (3)点D，E分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线的对称性、两点间的距离公式以及勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）求出，得，得出直线交y轴与，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立方程组，求解即可； （3）过点C作平行于x轴，且，连接EF，AF．证明，得，得出，即的最小值为的长，过点F作轴，交x轴于点G．在中由勾股定理得，从而可得结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把，，代入，得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在． ∵，， ∴， ∵是以A为直角顶点的直角三角形． ∴， ∴直线交y轴与， 设直线的关系式为：， 把代入求得． ∴， ∴ 解得    （舍） ∴； （3）解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 如图，过点C作平行于x轴，且，连接，． ∵平行于x轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． 过点F作轴，交x轴于点G． 在中，， ∴， 即的最小值为． 3．综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，的面积最大，最大面积为 (3)或或或． 【分析】（1）由，，得．将，代入即可求得抛物线的表达式，进而可求得点的坐标，即可用待定系数法求直线的表达式； （2）用表示点的坐标为，可得，根据即可得出关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解； （3）设点的坐标为．可得，，．分三种情况： ①当为斜边时，，②当为斜边时，，③当为斜边时，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 将，代入得解得 二次函数的表达式为． 在二次函数的图象上， ，D． 设直线的表达式为， 把，代入得 解得， 直线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴的平行线交于点． 点的横坐标为， 点的坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． （3）解：存在，点的坐标为或或或． ， 对称轴为直线，点的坐标为，设点的坐标为． ，，． 分三种情况： ①当为斜边时，，即． 解得，， 点的坐标为或． ②当为斜边时，，，解得， 点的坐标为． ③当为斜边时，， ，解得， 点的坐标为． 综上所述，存在点使得为直角三角形，且点的坐标为或或或． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形存在性质问题等，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 类型五、二次函数中的平行四边形 【解惑】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线； (2)直线的函数关系式为； (3)线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据题意，分别将、与抛物线的解析式联立，即可得点、点的坐标，将系数代入即可得抛物线的对称轴； （2）设直线的函数关系式为，代入点、点的坐标可得和，即可得直线的函数关系式； （3）根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为，代入对应的解析式，可得纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理，，即可得的值． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，由，得，， 结合题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 答：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）解：设直线的函数关系式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴， 答：直线的函数关系式为． （3）解：根据题意可知，点和点的横坐标均为，点和点的横坐标均为， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定． 2．在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①②，或 (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数和平行四边形的综合，二次函数和不等式综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和不等式的求解． （1）①当函数值为0时，转化成一元二次方程进行求解即可； ②根据题意，结合平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，分类进行讨论求解即可； （2）根据点的纵坐标相等判断出是对称点，得出，得到表示出，利用列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时， 解得， ； ②存在，理由如下： 由得 当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即， 解得 ∴； 当线段为边时，此时，，,假设， 解得，或， ∴或； 综上，，或； （2）解：∵， ∴两点是对称点， 解得， ， ， ∵， 整理得 解得或． 3．抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)①；②的值为或4或 【分析】（1）根据题意，抛物线（，为常数）经过点，且对称轴为直线，代入计算，即可求解，的值； （2）作轴交轴于点，交于点，过点作于点，抛物线与轴的交点是、，求出点、的坐标，推出直线的函数，即可设、，根据得出二次函数，通过二次函数的图象即可求解； （3）根据题意作图，根据对称的性质得、，在中，利用勾股定理，求出，得．设，得，解得的值即可求解； （4）①设点，则点和点的纵距为，与轴的交点为、，再分取值范围、、去绝对值符号，即可求解； ②点横坐标为、，结合四边形是平行四边形，可得、轴，设、，分或两种情况讨论，通过去绝对值计算即可求解的值． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）经过点， 当时，， 其对称轴为直线， ，解得：， ，，抛物线． （2）解：如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时，解得：或， 点在点左边， ，． 设经过点，点的函数解析式为， 得，解得：， 经过点，点的直线函数为． 设，，则， ， 当时，的面积最大． （3）解：如图，根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、， 点与点关于直线对称， ，， ， 在中，， ， 点． 设， ，， ，解得：， ． （4）解：①设点，则点和点的纵距为， 其与轴的交点为，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． ②由（1）得抛物线，由（4）①得， 如图所示： 点横坐标为，，且四边形是平行四边形， ，轴， 设，， 有两种情况，如下： I、由①可得，当时，或， ， ， 当时，解得或，皆舍去， 当时，解得或； II、当时，， ， ； 综上所述，当或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，用待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，对称图形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中两点距离公式，去绝对值的计算，平行四边形的判定与性质，理解题意、分类求解是解题关键． 类型六、二次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) ① ② 【分析】（）根据抛物线的对称性，可确定抛物线和轴的另一个交点为，待定系数法求出函数解析式即可； （）①分析函数在给定区间内的最值，结合二次函数的增减性进行求解即可． ②点在轴上，且四边形是菱形，结合点的坐标可得四边形是正方形，找到等量关系，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ 解得： ∴， ∴点， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． (1)求直的函数表达式； (2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）点作轴交于点，过点作于点，设，则，可得是等腰直角三角形，表示出，则，那么，再转化为二次函数求最值即可； （3）可求，结合条件得到将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，则新抛物线，求出交点．设．，，，由于以为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况讨论，即和，建立方程求出，再根据对角线互相平分的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线，令，则； 令，则．     解得． ∴． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如答图，过点作轴交于点，过点作于点． 设，则． ∴． ∵，   ∴      ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形．    ∴， ∴， 将代入得：， ∴． ∴， ∵， ∴面积的最大值为，此时．     ∴． ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴． ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 相当于平移了的长度，而点的水平距离为1，铅锤距离为3， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度． ∵抛物线， ∴新抛物线． ∴新抛物线的对称轴为直线． 联立．      解得．        ∴． 设． ∴， ， ． ∵以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①当时，即． 解得．     ∴． 设点的坐标为．    ∴， 即．       解得．        ∴点的坐标为； ②当时，即． 解得． ∴或． 同理可得点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，两点之间距离公式，函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 3．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)的值不变，且，理由见解析 (3)新抛物线的解析式为或． 【分析】（1）由题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）的值不变，且，先求得直线的解析式为，求得，，再用表示出，和的长，代入求解即可； （3）设平移后的解析式为，再设，，由四边形是菱形，则其对角线和相互平分，且，利用中点坐标公式和两点之间的距离公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点， ∴，又点的横坐标与纵坐标相等， ∴， ∴， 将代入得， 整理得， ∴或， 当时，，，此时和重合，不符合题意； ∴， ∵抛物线经过点， ∴，即， 解得， ∴，， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：的值不变，且，理由如下， 如图， ∵直线与与线段交于点（不与点、重合）， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：设平移后的解析式为， ∵点在上，点在轴上， ∴设，， ∵四边形是菱形， ∴其对角线和相互平分，且， ∵，， ∴的中点为， 的中点为， ∴，， 解得， 将代入， 并整理得， ∴， 由两点之间的距离公式得， ， ∵， ∴， ∴，即， 当时，， 则， ∴， ∴； 当时， ， 则， ∴， ∴； 综上，新抛物线的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键． 类型七、二次函数中的矩形 【解惑】已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该矩形周长的最大值是； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（1）由函数图象顶点坐标设函数解析式为，再将点坐标代入即可求出函数解析式； （2）由该二次函数的对称轴是，设点的坐标为，点，结合矩形周长的计算公式表示出周长关于的函数解析式后，根据二次函数的最值即可得解； （3）由题意得，当矩形周长最大时，点与点重合，求出的面积及直线解析式，设点坐标为，过作垂直于轴，交于点，则，结合图象可得，再解方程即可得到点的横坐标，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：设解析式为， 抛物线经过，代入上式得：， 二次函数表达式为：，或． （2）解：依题得：该二次函数的对称轴是， 设点的坐标为，则点， 则，， 矩形的周长， ， ， ， 当时，周长有最大值，最大值为． （3）解：点坐标为：或或． 二次函数表达式为， ， 当矩形周长最大时，点与点重合， 又此时的面积是矩形面积的， ， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 设点坐标为， 过作垂直于轴，交于点，则， ， 则， 即：， 解得，，， 故点坐标为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、解一元二次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【融会贯通】 1．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②该矩形周长的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当的边与轴垂直时，点的纵坐标为12，点的纵坐标为26或点的纵坐标为26，点的纵坐标为44 (4) 【分析】本题考查了二次函数解析式求解、顶点坐标、函数增减性及与矩形的综合应用．解题的关键是熟练运用二次函数性质，结合几何条件转化为代数问题求解，注意分类讨论和边界情况分析． （1）代入两点坐标列方程，求解得解析式． （2）求顶点坐标确定m，代入解析式得F坐标． （3）分平行于x轴，求m后算纵坐标． （4）确定矩形对角线的中点横坐标，结合抛物线增减性与对称轴，求m范围． 【详解】（1）将代入抛物线得； 将）和代入抛物线方程，得，解得 ∴抛物线解析式为． （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵点E与顶点重合，且E横坐标为， ∴，得． ∴点F横坐标为，代入抛物线解析式得， 即． （3）抛物线对称轴为．当的边与y轴垂直时，边平行于x轴． 若轴，则C纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F横坐标为，纵坐标为． 若轴，则D纵坐标为2，代入抛物线得，解得（舍去）．此时E横坐标为，纵坐标为；F 横坐标为 ，纵坐标为 ． ∴点E的纵坐标为12，点F的纵坐标为26或点E的纵坐标为26，点F的纵坐标为44． （4）抛物线开口向上，对称轴， ∵点C与点F的横坐标分别为， ∴矩形的中点横坐标为， 当矩形中点在对称轴左侧时，矩形内抛物线主要部分在左侧，且满足y随x增大而减小， ∴，解得， 结合，得（如图）． 【点睛】 3．如图1，在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为，将此矩形绕O点逆时针旋转．得到矩形，抛物线经过A、、三点． (1)求此抛物线的解析式（a、b、c用含n的式子表示）； (2)若，直线与抛物线交于点、N，点Q是线段上方的抛物线上一动点，求面积最大值及此时点Q的坐标． (3)若抛物线对称轴是的一条直线，直线与抛物线相交于两点、，当最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标． 【答案】(1) (2)面积最大值为； (3)； 【分析】（1）先根据旋转和矩形的性质得出，，，然后代入抛物线解析式，求出结果即可； （2）根据时，得出抛物线的解析式为：，过点Q作轴，交直线于点H，设点，则，得出，求出，根据二次函数的最值求出结果即可； （3）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出，． 【详解】（1）解：∵矩形中点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， ∵将此矩形绕O点逆时针旋转得到矩形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 把，，代入得： ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：当时，抛物线的解析式为：， 令， 解得：，， ∴点N的坐标为， 过点Q作轴，交直线于点H，如图所示： 设点，则， 则， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，且最大值为， 此时点Q的坐标为． （3）解：由对称轴为，得， 解得：， 则抛物线的解析式为， 令， 整理可得， ∴，， ∴， ∴当时，的最小值为4，即的最小值为2， ∴，由可得，， 即，． ∴当最小时，抛物线与直线的交点为，． 【点睛】本题主要为二次函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、方程思想及分类讨论思想等知识点． 类型八、二次函数中的正方形 【解惑】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知函数图象上两点和，若，则与的大小关系为_______； (3)为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②的值为或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，二次函数的性质，利用增减性解决最大最小值问题，结合几何图形求出参数的值． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的增减性求解即可； （3）①通过正方形中点的坐标，求出正方形左端点的横坐标，结合正方形内部的点的增减性得到正方形在对称轴的左边，从而求出的取值范围； ②分三种情况，分别画出图象，通过交点的纵坐标之差为列出方程，求出的值． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． 将点，点的坐标代入得：， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． （3）解：①抛物线的解析式为， 其对称轴为直线． 四边形为正方形，且轴， 轴，轴，轴． 点的横坐标为，且点为正方形中心，， 点和点位于轴上． 抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小， 正方形在直线的左侧． ． ． ②Ⅰ．当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ． 交点的纵坐标之差为， ， ． Ⅱ．当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ． 交点的纵坐标之差为， ， 解得：，（不合题意，舍去）． Ⅲ．当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ． 交点的纵坐标之差为， ． 解得：，（不合题意，舍去）． 综上可知，的值为或或． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为A，M，N是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． (1)求点A的坐标． (2)当时，判断的形状并说明理由． (3)当抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）对应的函数值y随x的增大而先减小后增大时，设函数值最大值与最小值的差为d，求d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． (4)过M，N两点中较高的点作y轴的垂线交抛物线于另一个交点P，以这个较高的点与点P的连线为边向其下方作正方形．当点O在该正方形内部，点A在该正方形外部，且点A到该正方形边的最小距离是1时，求t的值． 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）求出的坐标，得到两点关于对称轴对称，进而得到，即可得出结论； （3）根据题意，得到，再分时取的最大值，和时，取得最大值两种情况进行讨论求解即可； （4）分为较高点或为较高点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 点A的坐标为． （2）解：是等腰三角形．理由如下： ， 点的横坐标为，点的横坐标为． 把代入，得． 点的坐标为， 把代入，得． 点的坐标为， 轴． 由抛物线的对称性，知点A所在的直线垂直平分． ． 是等腰三角形． （3）解：抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）对应的函数值边的增大而先减小后增大， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点对应的函数值是最小值． ，解得． 当点对应的函数值是最大值时，则有，得． ． 此时． 当点对应的函数值是最大值（或点与点同时对应的函数值是最大值）时，则有．解得． ． 此时． 综上所述，； （4）解：当点为较高点时，， 利用抛物线的对称性质知，点． 点在该正方形内部， ． 点在正方形外部，且到该正方形边的最小距离是1， 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 当点为较高点时，点，同理可得． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型九、二次函数中的等角、倍角与角度 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)①，②存在， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）在上截取，连接，在中，，求出，再由，得到，直线与抛物线的交点即为所求； （3）①由题意可知的中点纵坐标与N点纵坐标相同，求出，则； ②设其中两个点的横坐标分别为s，t，且，则，根据求出，即可求l的值． 【详解】（1）解：将A、B代入， ∴， 解得； （2）由（1）可得， 在上截取，连接， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线BP的解析式为， 当时，解得或， ∴； （3）①∵，轴， ∴的中点纵坐标与N点纵坐标相同， 直线BC的解析式为， ∵， ∴， ∴的中点坐标为， ∴， ∴； ②存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1，理由如下： 设其中两个点的横坐标分别为s，t，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图（1），为抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； (3)，是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线，分别交轴于，，如图（2）若，直线经过定点，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程求出点A和点B的坐标，令， 求出点C的坐标； （2）过点C作于点H，先证，再求出所在直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求出点D的坐标； （3）设，，由已知条件可推出，分别求出点E和点F的坐标，表示出所在直线的解析式为，直线经过的定点即为P点． 【详解】（1）解：令， 解得，， A点坐标为，B点坐标为； 令，则， C点坐标为； （2）解：如图，过点C作于点H， ∵平分， ， 在和中， ， ， ，； 设， 则，， 解得，， ， 设所在直线的解析式为， 将点，代入可得， ， 解得，， 所在直线的解析式为， 将与联立， 解得，， 当时， ， D点的坐标为． （3）解：设，， 将点的坐标为代入可得，，， ，， ，， ， ， ， 将所在直线的解析式与抛物线的解析式联立， 可得， 解得，， 当时，， ， 同理可得， 设所在直线的解析式为， 将点，代入可得， ， 解得，， 所在直线的解析式为： ， 所在直线过定点，此点到原点的距离为定值， 定点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质，全等三角形的判定与性质等，熟练应用待定系数法求函数解析式，利用方程思想求函数图象交点是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于，两点（点在的左侧），． (1)求抛物线的表达式； (2)，是直线上方抛物线上的两个动点，点在点的左侧，分别过点，作轴的垂线，交直线于点，，若四边形是平行四边形，求周长的最大值； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，点为平移后抛物线上一动点，原抛物线的对称轴交轴于点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数平移，二次函数与平行四边形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，，代入中，求出的值即可； （）求出直线的表达式为，设，，则，，所以，，由平行四边形性质可得，即有，则，过点作的垂线，交的延长线于点，可得的周长为，最后通过二次函数性质即可求解； （）将抛物线沿方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到平移后的抛物线的表达式为，然后分当点在上方，满足时，和在直线下方作，交轴于点，交新抛物线于点，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴，， 将，代入中， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由，可知直线的表达式为， 设，， ∴，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， ∵，， ∴当时，平行四边形的周长最大，最大值为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵抛物线的表达式为， ∴平移后的抛物线的表达式为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在上方，满足时， 根据两直线平行内错角相等可得， ∵，， ∴直线的表达式为， ∵， ∴可设直线的表达式为． 将点代入，得， ∴直线的表达式为， 令，解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图，在直线下方作，交轴于点，交新抛物线于点 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 令，解得或（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 类型十、二次函数中的定值与比值 【解惑】我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．    （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 【答案】（1）的长度不变，；（2）点的横坐标为或；（3）①当时，；当时，；② 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数的平移、根据顶点坐标求函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用． （1）理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：作差求得，则． （2）根据点的横坐标和直线，求得的顶点坐标，则的函数解析式为，设，，分点在点上方和点在点上方两种情况求解即可； （3）①根据题意得顶点为，则的函数解析式为，进一步求得，当点和点重合时求得m，分当和时，分别求得； ②结合①利用二次函数的性质分别求得最大值即可； 【详解】解：（1）的长度不变，． 理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：∵， ∴． （2）∵，的顶点横坐标为4， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． 设，． 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则． ∴点的横坐标为或． （3）①∵的顶点横坐标为， ∴顶点为． ∴的函数解析式为． ∵， ∴． 当点，重合时，，解得，． 当时，； 当时，． ②当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，的最大值． 当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值． ∵． ∴的最大值为． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图像经过点，点是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接．若，求证的值为定值，并求出此值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，求函数解析式，三角形面积计算等知识，理解题意和熟悉函数的性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线表达式得，即可求解； （2）由，同理可得，即可求解； （3）求出线的表达式为：，则，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得： ， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）证明：令， ∴， ∴点， 设直线的表达式为：， 将点，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点的坐标分别为： ，则 ， 同理可得： ， ∴为定值； （3）解：点的坐标为，则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∴， ∵，点P在第二象限， ∴当时，有最大值，最大值为 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且．      (1)直接写出的值； (2)如图1，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1) (2)； (3)线段的长度不会改变，线段的长度为12． 【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值； （2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解； （3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度． 【详解】（1）解：由图象，可知， 将代入中，得， 点， ， 令，即， 解得，， 点A在点B的左侧， 点，， ， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，   ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 在中，， ， 解得或（负值不合题意，舍去）， ∴， 直线解析式为， 在抛物线上， ，解得（不合题意，舍去）或4， ； （3）解：设， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， 线段的长度不会改变，线段的长度为12． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点． (1)分别求b、t的值； (2)如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上． ①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围； ②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确画出图形，利用分类讨论解题是关键． （1）根据二次函数的解析式可得，代入可得，再求得的坐标，代入抛物线即可； （2）①画出图形，分类讨论即可； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，分类讨论，分或，逐一分析即可． 【详解】（1）解：把代入，可得， ， 把代入，可得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得， ， 把代入，可得， 解得； （2）解：①由（1）可得抛物线解析式为， 当时，可得， 解得， ， 将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A， 设平移后的直线解析式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线解析式为， 由题意可得点 当点在图象G的抛物线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得， 根据图象可得点在点和顶点之间，此时线段与图象G有两个交点， ， ， 故； 当点在图象G的直线部分时，如图， 设此时点刚好落在抛物线上，则可得， 解得（舍去）， 根据图象可得点在之间，此时线段与图象G有两个交点， 故； 综上，或； ②根据题意D，E之间（含D，E两点）的图象需要包含点，才符合题意， 如图，当点在点之间，点在之间时， ， 把代入，可得， 解得， ， ， ， 解得， ； 如图，当点在点之间，点在之间时， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数中的全等三角形 【解惑】如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出n的取值范围； (3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； (1)如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． (2)如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． (3)如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 3．如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 类型二、二次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． (1) ______，顶点的坐标为______． (2)连接，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图2，连接、，点、分别在线段、上均含端点，且，若是等腰三角形，求点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．【问题背景】 如图1，已知抛物线经过，，三点．     【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形； 【深入探究】 （3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长． 类型三、二次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 类型四、二次函数中的直角三角形 【解惑】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，． (1)求抛物线关系式． (2)抛物线上是否存在一点P，使是以A为直角顶点的直角三角形．若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． (3)点D，E分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 3．综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、二次函数中的平行四边形 【解惑】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求点、点的坐标和抛物线的对称轴； (2)求直线的函数关系式； (3)点为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点．设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ 2．在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 3．抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 类型六、二次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 2．综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． (1)求直的函数表达式； (2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 3．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 类型七、二次函数中的矩形 【解惑】已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，点、、、在抛物线上，其横坐标分别为、、、，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)当点与抛物线的顶点重合时，求点的坐标； (3)当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标； (4)连接，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 3．如图1，在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为，将此矩形绕O点逆时针旋转．得到矩形，抛物线经过A、、三点． (1)求此抛物线的解析式（a、b、c用含n的式子表示）； (2)若，直线与抛物线交于点、N，点Q是线段上方的抛物线上一动点，求面积最大值及此时点Q的坐标． (3)若抛物线对称轴是的一条直线，直线与抛物线相交于两点、，当最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标． 类型八、二次函数中的正方形 【解惑】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知函数图象上两点和，若，则与的大小关系为_______； (3)为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出的值． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为A，M，N是抛物线上不重合的两点，点的横坐标为，点的横坐标为（为常数）． (1)求点A的坐标． (2)当时，判断的形状并说明理由． (3)当抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）对应的函数值y随x的增大而先减小后增大时，设函数值最大值与最小值的差为d，求d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． (4)过M，N两点中较高的点作y轴的垂线交抛物线于另一个交点P，以这个较高的点与点P的连线为边向其下方作正方形．当点O在该正方形内部，点A在该正方形外部，且点A到该正方形边的最小距离是1时，求t的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 类型九、二次函数中的等角、倍角与角度 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图（1），为抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； (3)，是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线，分别交轴于，，如图（2）若，直线经过定点，求出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于，两点（点在的左侧），． (1)求抛物线的表达式； (2)，是直线上方抛物线上的两个动点，点在点的左侧，分别过点，作轴的垂线，交直线于点，，若四边形是平行四边形，求周长的最大值； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，点为平移后抛物线上一动点，原抛物线的对称轴交轴于点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 类型十、二次函数中的定值与比值 【解惑】我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．    （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图像经过点，点是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接．若，求证的值为定值，并求出此值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，且．      (1)直接写出的值； (2)如图1，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 3．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点． (1)分别求b、t的值； (2)如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上． ①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围； ②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$