第1章 二次函数（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

第1章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的图象与各系数符号 【解惑】丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【融会贯通】 1．如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（    ） ①；②；③是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；② ；③抛物线上两点与，若有且，则；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为与，则． 其中结论正确的是 ．    3．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 类型二、二次函数的最值(将军饮马) 【解惑】如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）与轴交于点． (1)如图，若抛物线经过，两点， 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为，求的面积； 点是抛物线对称轴上的动点，则的最小值为______； (2)若抛物线经过，，三点，对于，，都有，求的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 3．如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E． (1)求抛物线的表达式． (2)①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标． ②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标． (3)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值． 类型三、二次函数的最值(增减性与对称性) 【解惑】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点A．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当时，求图象G的最大值和最小值； (3)当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，直接写出m的取值范围． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，求的取值范围． (3)若，且当时，有最小值，求的值． 2．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 3．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 类型四、二次函数中最大值与最小值的差 【解惑】已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 2．已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值； (3)若，是图象上不同的两点，当时，求m的值． 3．已知二次函数的图象与x轴交于和两点． (1)若． ①求b，c的值； ②当时，二次函数最大值和最小值的差为12，求m的值； (2)当时，若存在实数s，总有，求满足条件的s的取值范围． 类型五、二次函数的应用——图形问题 【解惑】要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，当菜园面积最大时．的长是多少？并求面积最大值． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，某景区内有一块矩形油菜花田地（单位：），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若改造后观花道的面积为，求x的值． (3)若要求，求改造后油菜花地所占面积的最大值． 3．有一块矩形地块，，，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为，现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．且甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过，甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为30元、40元、60元，设三种花卉的种植总成本为y元． (1)用含x的代数式分别表示（直接写化简后的结果）： 甲种花卉种植面积______； 乙种花卉种植面积______； 丙种花卉种植面积______； (2)求种植总成本y与x的函数表达式，并求出种植总成本的最小值； (3)若总种植成本不高于27200元，直接写出x的取值范围． 类型六、二次函数的应用——销售问题 【解惑】一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【融会贯通】 1．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数）． (1)每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？ (2)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 2．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价5元时，工厂每天的利润为多少元？ (2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元/千克？ 3．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． (1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为_____元． (2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？ (3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 类型七、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 2．如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度为？ (3)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P、Q的运动时间，如果不能请说明理由． (4)若用S表示四边形的面积，请直接写出经过______秒S取得最小值，最小值是______． 3．如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 类型八、二次函数的翻折与旋转 【解惑】如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 【融会贯通】 1．二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点． (1)则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______； (2)如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．     ①当点在第四象限，且时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围． 2．已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的对称轴及解析式； (2)如图1，为抛物线对称轴上的一点，将B，D两点绕点旋转后分别得E，F两点，若E，F两点都在抛物线上，求m的值； (3)如图2，将抛物线向左平移得，使的顶点落在y轴上，过原点的两条直线、交抛物线于M、N、S、T，直线交于P，求证：P点在一条定直线上运动． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标． 类型九、二次函数的铅垂高 【解惑】已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 2．如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 类型十、二次函数的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【融会贯通】 1．【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 2．定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． (1)有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）； (2)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式； (3)若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值． 3．综合与探究 【定义】对于y关于x的函数，函数在范围内有最大值m和最小值n，则称为极差值，记作． 【示例】如图，根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出反比例函数的的值为________； (2)已知二次函数的图象经过点，求该函数的的值． (3)已知函数，函数的图象经过点，且一个函数的相等，求k的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的图象与各系数符号 【解惑】丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知， ∴． ∴①正确． ∵函数图象开口向上， ∴， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x，， 又由①知，, ∴， ∴②正确． ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， ∴③正确． ∵，， ∴． ∴． ∴④错误； ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时， 即， ∴⑤正确． 其中正确的有①②③⑤． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（    ） ①；②；③是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向上得，；由对称轴位于轴的右侧得，符号相异，；由抛物线与轴交于负半轴得，；∴，该选项正确，符合题意； ②由对称轴为直线得，，，的对称点为， 当时，，该选项正确，符合题意； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ∴，该选项错误，不符合题意； ④由②得， ， 将代入上式得，， 解得， 由关于x的一元二次方程没有实数根，结合图象得， ， 即， 解得， 又因为抛物线开口向上， ∴，该选项正确，符合题意； ⑤∵抛物线开口向上， ∴顶点为最低点，顶点纵坐标为最小值， ∴ 即，该选项错误，不符合题意； 所以正确的选项是①②④， 故选：B． 2．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；② ；③抛物线上两点与，若有且，则；④直线与抛物线两个交点的横坐标分别为与，则． 其中结论正确的是 ．    【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线对称轴是直线，经过， ，， ，， ， ，， ，故①正确， 抛物线对称轴是直线，经过， 和关于对称轴对称， 时，， ，故②错误； 抛物线上两点与，且 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ，故③正确； 令，则整理得， 直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，， ， ，故④正确， 故答案为：①③④． 3．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤；⑥一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤⑥ 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图象的关系，结合图像逐项分析，结合已知条件得出结论是解题的关键． ①根据图象开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a，b，c的正负；②根据对称轴公式，判断之间的关系；③根据时，，比较与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可；⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论；⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标即可得到结论． 【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②错误； ∵抛物线图象与y轴交点位于x轴下方， ， ，故①正确； ③经过， 又由①得，， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等， 当时，即 ， 即， 经过，即经过，故④正确； ⑤当时，，当时，， ， 函数有最小值， ， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥方程的解即为抛物线与直线的交点的横坐标，结合函数图象可知，抛物线与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：①③④⑤⑥正确． 故答案为：①③④⑤⑥． 类型二、二次函数的最值(将军饮马) 【解惑】如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交直线于，连接、，由轴对称的性质可得，从而可得的周长的最小值为，再利用勾股定理计算即可得解； （3）将抛物线函数解析式化为顶点式得出，，从而可得，，求出直线的解析式为，则，，，从而可得，，，连接，则四边形的面积为，再结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵拋物线经过，，三点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交直线于，连接、， ， 由题意可得，点、关于直线对称， ∴， ∵的周长，其中为定值， ∴的周长的最小值为， ∵，，， ∴，， ∴周长的最小值为； （3）解：∵， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），设点E的横坐标为m， ∴， ∵过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G， ∴，， ∴，，， 如图，连接， ， ∴四边形的面积为 ， ∵，， ∴当时，四边形的面积为S最大，最大值为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数，）与轴交于点． (1)如图，若抛物线经过，两点， 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为，求的面积； 点是抛物线对称轴上的动点，则的最小值为______； (2)若抛物线经过，，三点，对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) ；1； (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； 求得的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，求得与轴的交点，然后根据求得即可； 找出的最小值为，利用勾股定理即可求得． （2）先求出抛物线的对称轴是直线直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； 抛物线是常数，与轴交于点， ， ， 抛物线顶点， 设直线的解析式为，与轴的交点为， ，解得， 直线的解析式为， ， ， ； 连接交抛物线的对称轴于，此时，的值最小，最小值为， ∵，， 即的最小值为， 故答案为：； （2）由条件可知：抛物线的对称轴是直线， 当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ， 又， ； 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 此时， 解得， 又， ； 综上，当或时，都有． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，线段最值问题，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，设抛物线的对称轴交线段于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段于点F，若四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，M是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，，再根据待定系数法求出直线的表达式为，则可求，进而求出，设，则，，由四边形为平行四边形，，由此建立方程求解即可； （3）设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，根据轴对称的性质得到当点M与点重合时，取得最小值，即为的长，求出，即可得到取得最小值，再求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， 当时，， ∴顶点， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得（不符题意，舍去），， ∴， ∴； （3）解：设直线与抛物线的对称轴直线相交于点，连接， 则， ∴当点M与点重合时，取得最小值，即为的长， ∵， 即取得最小值为， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的知识． 3．如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E． (1)求抛物线的表达式． (2)①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标． ②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标． (3)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)①存在；  ②或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）①过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，利用待定系数法可求出直线的表达式为，再求出直线的表达式为，最后联立方程组求解即可； ②过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解； （3）过点作轴，，证明，可得，由三角形的三边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过，， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：①存在， 如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积， 设直线的表达式为， ，， ，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 在二次函数中令，得， 解得：， ， 将代入得：，解得， 直线的表达式为， 联立方程组得，解得：或， ； ②如图1，过点作交轴于，连接， ， 的面积为， ，解得， ， ， ，直线的表达式为， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为， 联立与抛物线得， 解得，， 点的坐标为或； （3）解：如图2，过点作轴，，连接，， 轴， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小为的长， 直线的表达式为， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键． 类型三、二次函数的最值(增减性与对称性) 【解惑】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点A．点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，将该抛物线上P、A两点之间的部分（包括P、A两点）记为图象G． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当时，求图象G的最大值和最小值； (3)当图象G上只有两个点到x轴的距离为3时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，图象G有最小值，且最小值为；当时，图象G有最大值，且最大值为13 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了解析式的求解、二次函数的最值、二次函数的对称性等知识点，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）将代入即可求解； （2）根据可得抛物线的对称轴为直线，求出时函数的最值即可求解； （3）求解由可得，画出函数图象即可求解； 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，图象G有最小值，且最小值为； 当时，图象G有最大值，且最大值为； （3）解：由可解得：， 如图所示： 即：， 当点位于之间时，图象G上只有两个点到x轴的距离为3， ∴． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，求的取值范围． (3)若，且当时，有最小值，求的值． 【答案】(1)该函数图象的顶点坐标 (2) (3)的值是或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； （2）根据点坐标，表示出，代入到，得到结果； （3）根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． 【详解】（1）解：， ∴在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； （2）解：∵，在二次函数的图象上 ∴，， ， ∴ ， （3）解：， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 2．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，和时，y值相等，即可求解； （3），可得，而时，，则时，，即，解不等式即可． 【详解】（1）解：在函数的图象上， ， ， 对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：由（1）得，， 当时，；当时，． 根据对称性，和时，值相等， ． （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，，即， 解得：． 3．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质． （1）将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线，得出在对称轴的左侧，则当时，y最小为，得出，解得．再根据，则，得到，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． （2）解：∵1＞0， ∴抛物线开口向上． ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧， ∴当时，y最小为， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 此时二次函数的解析式为． 类型四、二次函数中最大值与最小值的差 【解惑】已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． （1）利用待定系数法将点代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出，根据根与系数的关系可得出的值，然后根据，整理得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ， ； （2）解：由（1）得，二次函数对称轴为，开口向上， ∴当时，的最大值为， y的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为； （3）解：由题意及（1）得， 整理得， 即， ∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和， ， 化简得， 即， 解得， ∴为方程的两个解， 又∵， ， 即， ， 综上所述，m的取值范围为． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． （3）解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （4）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 2．已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值； (3)若，是图象上不同的两点，当时，求m的值． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）有得到表达式，然后求出当时，二次函数有最小值3，求出当时，，然后根据题意得到当时，，然后代入求解即可； （3）根据题意得到，然后得到点和点关于对称轴对称，即可得到． 【详解】（1）∵二次函数 ∴对称轴为直线； （2）若， ∴二次函数 ∴当时，二次函数有最小值3 ∴当时， ∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9， ∴当时， ∴ 解得（舍去）或； （3）∵若，是图象上不同的两点，当时， ∴ 由（1）得，该二次函数图象的对称轴为直线 ∴点和点关于对称轴对称 ∴． 3．已知二次函数的图象与x轴交于和两点． (1)若． ①求b，c的值； ②当时，二次函数最大值和最小值的差为12，求m的值； (2)当时，若存在实数s，总有，求满足条件的s的取值范围． 【答案】(1)①b的值为2，c的值为3；②m的值为或3 (2)满足条件的s的取值范围为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②根据二次函数的图象和性质分类讨论进行解答即可； （2）求出二次函数的对称轴为直线，进一步得到，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）①当时，点和， 将A，B两点坐标代入二次函数中，得， 解得 ∴b的值为2，c的值为3； ②由①知， ∴二次函数的表达式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 分类讨论： ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，即时，都在对称轴左侧， 此时，y有最小值，，y有最大值， ∴，解得，符合题意； 当时，都在对称轴右侧， 此时，y有最大值，，y有最小值， ∴， 解得，符合题意； 当时，即时，时，y取得最大值4， 若最大值与最小值差为12，则最小值为， 将代入， 即，解得， 将代入， 即， 解得， 均不在的范围内，故不符合题意， 综上所述，当函数最大值和最小值的差为12时，m的值为或3； （2）根据题意，二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于和两点， ∴点A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴点A，B到对称轴的距离相等，设点A在点B左侧， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将代入中， 得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴． 类型五、二次函数的应用——图形问题 【解惑】要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，当菜园面积最大时．的长是多少？并求面积最大值． 【答案】的长为，矩形的面积为 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，找到数量关系准确地列出二次函数是解题的关键．根据矩形的面积公式列二次函数即可解答． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为， 由题意得：，即， 其中，即， ，开口向下，且满足， 当时，， 答：的长为，矩形的面积为． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)的面积最大，且为 (3)不存在，理由见详解 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）解：不存在，理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 2．如图，某景区内有一块矩形油菜花田地（单位：），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若改造后观花道的面积为，求x的值． (3)若要求，求改造后油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据题意，列出二次函数的解析式即可； （2）根据函数解析式，求自变量的取值即可； （3）根据题意列出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴； （3）解：设油菜花地占地面积为w， 则， ∴当时，w随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， ∴改造后油菜花地所占面积的最大值为． 3．有一块矩形地块，，，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为，现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．且甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过，甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为30元、40元、60元，设三种花卉的种植总成本为y元． (1)用含x的代数式分别表示（直接写化简后的结果）： 甲种花卉种植面积______； 乙种花卉种植面积______； 丙种花卉种植面积______； (2)求种植总成本y与x的函数表达式，并求出种植总成本的最小值； (3)若总种植成本不高于27200元，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)；； (2)，最小值为24000元 (3) 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，，，从而逐个计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得，种植总成本，然后结合二次函数的性质即可判断得解； （3）依据题意，令，则，可得或，结合抛物线的开口向上，且总种植成本不高于27200元，同时，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 甲种花卉种植面积：； 乙种花卉种植面积：； 丙种花卉种植面积：； 故答案为：；；； （2）解：由题意，结合（1）可得，种植总成本 又甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过， ∴， ∴， 种植总成本， 当时，y取最小值，且最小值为24000元． （3）解：由题意：令，则， 可得或 又， 结合抛物线的开口向上，且总种植成本不高于27200元，则． 类型六、二次函数的应用——销售问题 【解惑】一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】(1) (2)，每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键． （1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答； （2）根据每天的销售利润等于单件的利润每天的销售量，列出二次函数，再由确定W的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：， 由 ， 解得． （2）， 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为（元）． 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元． 【融会贯通】 1．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数）． (1)每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？ (2)每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】(1)每件文具的售价定为32元时，月销售利润为2520元 (2)当售价定为36元或37元时，月销售利润最大，最大是2720元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数关系式是解答的关键． （1）设每件文具的销售单价上涨了x元时，根据“月销售利润为2520元”列出方程求解即可； （2）设月销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数关系式，进而利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件文具的销售单价上涨了x元， 根据题意，得 解得，， 当时，每件文具售价为41元，与每件文具售价不能高于40元矛盾，故舍去； 当时，每件文具售价为32元，符合题意， 答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润为2520元； （2）解：月销售利润为y元， 根据题意，得当销售单价上涨了x元时，销量是件， ∵每件文具售价不能高于40元， ∴， 故， 整理得：， 即， ∵，是正整数， ∴取6或7， 当时，，当时，， 答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元． 2．渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价5元时，工厂每天的利润为多少元？ (2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元/千克？ 【答案】(1)，9750元 (2)当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元 (3)43元/千克 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润每千克的利润销量建立函数关系式，再根据要求保证盈利求出的取值范围，然后将代入求解即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得； （3）根据工厂每天的利润要达到9750元建立一元二次方程，解方程求出的值，再根据让利于民确定的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵要求保证盈利， ∴， 解得， ∴， 当时，， 答：工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系式为．当降价5元时，工厂每天的利润为9750元． （2）解：， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为9800， 答：当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元． （3）解：由题意得：， 解得或， ∵要求让利于民， ∴， ∴定价为（元/千克）， 答：定价应为43元/千克． 3．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． (1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为_____元． (2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？ (3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 【答案】(1)， (2)每盒售价应定为60元 (3)当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握题干中的等量关系是解答本题的关键． （1）利用日销售量等于20加上降低的价格2倍即可确定日销售量；每盒口罩的利润等于售价减去进价即可得到每盒口罩的利润； （2）根据日利润等于日销售量乘以每盒口罩利润以及日利润保持不变列方程求解即可； （3）先确定日利润与每盒销售定价的函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒， ∴降低x元，销售量增加盒， 那么日销售量为盒，每盒口罩利润为元， 故答案为：，． （2）解：设每盒售价降低x元时日利润保持不变，根据题意可知： ， 解得：（舍去），， ∴售价应定为元． 答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元． （3）解：设每盒售价降低x元，商家获得的利润为W元， 由题意可知：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，W有最大值，即元， ∴售价应定为元． 答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元． 类型七、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于 (2)面积的有最大值，此时时间是秒 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 【融会贯通】 1．如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 2．如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度为？ (3)如果P、Q分别从A、B同时出发，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P、Q的运动时间，如果不能请说明理由． (4)若用S表示四边形的面积，请直接写出经过______秒S取得最小值，最小值是______． 【答案】(1)2或3秒 (2)3秒 (3)不能，理由见解析 (4)， 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程以及配方法的应用． （1）设运动t秒后的面积等于，用t表示出、的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可； （2）在中，根据勾股定理，得，把、代入可得方程，解方程即可； （3）根据三角形的面积公式，得，则，然后判断方程根的情况，方程无根说明线段不能把分成面积相等的两部分； （4）根据题意求出，根据配方法求得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设运动t秒后的面积等于， 根据题意，知，， 根据三角形的面积公式，得， 则，即， 解得或3， 故2或3秒后，的面积等于； （2）根据勾股定理，得， 解得（不合题意，舍去）或， ∴． 故3秒后，的长度等于； （3）不能，理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ． 故线段不能把分成面积相等的两部分； （4）设运动时间为t秒，根据题意，知，， ∵， ∴时，S有最小值，最小值为， 故答案为：， 3．如图，在中，，点P从点C开始沿向点B以的速度移动，点Q从A开始沿向点C以的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问： (1)出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于？ (2)出发多少时间时，的面积为？ (3)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)2秒 (2)当出发秒或秒时，的面积为 (3)是，最大面积为，此时运动时间3秒 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）利用勾股定理列出方程进行求解即可； （2）利用面积公式，列出方程进行求解即可； （3）利用面积列出二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 由题意，得：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：出发2秒时间时，点P，Q之间的距离等于 （2）由题意得：， 解得：或； 答：当出发秒或秒时，的面积为； （3）有最大值： ， ∴当时，面积最大为． 类型八、二次函数的翻折与旋转 【解惑】如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；0②0 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，图象与轴交点问题，翻折变换，一元二次方程与二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线可求出点的坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，对称轴以及点A的坐标，在范围内可求出最大值和最小值； ②分、和三种情况，分别求出最大值和最小值，根据列式求解即可； （3）求出翻折后的函数关系式，求出经过点A且与平行的直线的解析式和与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵, ∴, ∴当时最大值为4，最小值为0， 故答案为：4；0； ②∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，与关于对称轴对称，函数值相等， 分以下三种情况： （i）当时， 又∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或（舍去）； （ii）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， 此时，不满足题意舍去； （ⅲ）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或； 因为，则或都不符合题意，舍去； 综上，t的值为0， 故答案为：0； （3）解：根据题意得，翻折后的抛物线顶点坐标为， 设翻折后的抛物线解析式为， 把代入得， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设经过点A且与平行的直线的解析式为， 把代入得，， 解得，； 设与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式，则有： ， 整理得： ∴， ∴， ∴直线与这个新图象有4个公共点时，的取值范围． 【融会贯通】 1．二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点． (1)则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______； (2)如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．     ①当点在第四象限，且时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)，，直线的解析式为 (2)①点的横坐标为或；②或 (3)当时，直线与这个新图象有4个公共点 【分析】（1）先令，求出坐标，再令，求出，再有待定系数法求解直线的解析式； （）①由题意得，，即得，根据对称轴为直线，可得，即得，解方程即可求解；②由，设，其开口向上，对称轴为，当时，，解得，，画出其函数图象，当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，然后观察图象可以得出答案； （）根据折叠可得翻折上来的部分抛物线解析式为，再分别求出直线与新图象恰好有个公共点时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 解得：或， ∴， 当时，， ∴点， 设直线， 代入点， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； 故答案为：；；； （2）解：①如图， ∵点为直线上的一点，其横坐标为，点在二次函数图象上，且轴， ∴，， ∴， ∵抛物线 ∴该抛物线的对称轴为直线， 又∵轴，且点在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴或 ， 解得（舍）或或或（舍）， ∴点横坐标为或； ②由①知，， 设，其开口向上，对称轴为， 当时，，解得，， 画出其函数图象，如图所示： 如图可知，当或时，；当时，； 当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，如图所示： 观察图象可知，当或时，的长度随的增大而增大； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点， 如图： ①当直线经过点时， 把代入得，， 解得； ②当直线与相切时，即直线与抛物线只有一个交点，此时方程只有一个解， 即方程的判别式， ∴， 解得； 综上，直线与这个新图象有个公共点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数几何应用，折叠的性质，一次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的对称轴及解析式； (2)如图1，为抛物线对称轴上的一点，将B，D两点绕点旋转后分别得E，F两点，若E，F两点都在抛物线上，求m的值； (3)如图2，将抛物线向左平移得，使的顶点落在y轴上，过原点的两条直线、交抛物线于M、N、S、T，直线交于P，求证：P点在一条定直线上运动． 【答案】(1)对称轴为， (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，二元一次方程组的解法等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）根据抛物线的对称轴公式得出对称轴的解析式，进而得出的长，进而得出的长，从而得出c的值，将点A坐标代入抛物线的解析式，求得a的值，进一步得出结果； （2）可得出，，设，从而得出，将F点坐标代入抛物线的解析式，从而求得z的值，进一步得出结果； （3）可求得的解析式为∶，从而设，，，，进而求得直线的解析式，根据其过原点，得出，同理可得及和的函数关系式，进而求得点P的坐标，可计算得出点P的纵坐标是恒定的值，从而得出结果． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：．     ． ， ． 即．解得． ． ，解得． ． （2）解：由题意得，，，设， 由，解得（舍去）或， ． ， ． ，解得． ． ． （3）证明：点P在直线上运动，理由如下： ， 的解析式为∶． 设，，，，的解析式为∶， ，解得． 过原点， ，解得． 同理可得，． 直线的解析式为：， 直线的解析式为：． 由，得． ∴点P在直线：上运动． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数图象的平移变换，直线的旋转以及一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握函数交点坐标的求解方法，灵活运用平移和旋转的性质，结合一元二次方程的相关知识进行计算． （1）联立直线与抛物线的方程，得到一个一元二次方程．通过求解该方程的根，再将根代入直线方程，从而得到A，B两点的坐标．这是利用函数交点坐标满足两个函数方程的性质来求解． （2）先写出直线向上平移个单位长度后的直线方程，因为平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，所以联立它们的方程得到的一元二次方程的根的判别式为0．通过求解这个关于的方程，得出的值． （2）先求出直线与坐标轴的交点D，E的坐标，进而得到一些线段长度和角度关系．利用直线是由直线绕点顺时针旋转得到的这—条件，求出直线与坐标轴的交点F，G的坐标，从而确定直线的解析式，最后联立直线与抛物线的方程，求解得到点的坐标． 【详解】（1）联立， 得， 整理，得，解得，． ∵当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）直线向上平移个单位长度后为直线， 当直线与抛物线仅有1个公共点时， 即关于x的方程的根的判别式为0． 将方程化为一般式得， 即， 解得． （3）如图，设直线：与x轴、y轴分别交于点D，E，直线与x轴、y轴分别交于点F，G． 易求得点D，E的坐标分别为，    ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设点G的坐标为，，则点F的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入 得， 解得或（舍去）， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理，得， 解得，． 当时，， ∴点C的坐标为． 类型九、二次函数的铅垂高 【解惑】已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的表达式为， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 点的坐标为， 如图，过点作轴交于点． 设点的坐标为，则点的坐标为， ，， ， ， 当时，取最大值， 当时，， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为3， 设， 由（2）得，， 分以下三种情况讨论： ①当为的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ②当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ③当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得 ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先得出，结合抛物线对称轴为直线，且，得，再运用待定系数法进行求出二次函数的解析式，即可作答． （2）先求出直线的解析式为，设（），则，所以，运用二次函数的图象性质，即可作答． （3）由（2）得最大时，证明四边形是矩形，得，故得出四边形是平行四边形，所以，，当共线时，取最小值，即取最小值，结合点为线段的中点，得，运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线，与y轴交于点C， ∴令，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，且 ∴ ， 将和代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图 由（1）得， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（）， 则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴． 此时， （3）解：由（2）得最大时， ∵过点P作轴，垂足为E， ∴， ∵ 则， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点，且， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的综合，二次函数的图象性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．如图，抛物线与直线交于A，B两点，且点的坐标为，点的横坐标为1． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为直线上方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点． （ⅰ）当线段取最大值时，求点的坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，过点作交直线于点，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，将点代入，求出，即可得出答案； （2）（ⅰ）过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，则点的横坐标也为，得出，，求出， 根据二次函数的最值，得出当时，取得最大值，求出结果即可； （ⅱ）先求出当抛物线经过点时，，当抛物线经过点时，，得出答案即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为，                                ， ， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：（ⅰ）如图，过点作轴于点，交直线于点． 设直线与轴交于点，则点的坐标为． ， ． ，， ， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标也为， ，， ，         当时，取得最大值， ， 点的纵坐标也为． 令， 解得， 点的坐标为．                        （ⅱ）由题意，得点的坐标为．                                         如图，当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有两个交点， 当抛物线经过点时， ， 解得， 当时，， 此时抛物线与线段有一个交点， 综上所述，若抛物线与线段只有一个交点，则． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的特点． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 类型十、二次函数的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，求该二次函数的纵横值的范围． 【答案】(1)8 (2) (3)函数纵横值 【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． （1）点的“纵横值”为，即可求解； （2）由题意得，解得，，进而得，即可求解； （3）由题意得，解得，，进而得，即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：8； （2）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 最优纵横值为5， ， 解得； （3）二次函数的顶点在直线上， ， 解得， ， ， 当时可知， 当时，， 当时，， 函数纵横值． 【融会贯通】 1．【定义与性质】 定义：如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和，若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）证明性质②； （2）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （3）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②在（3）①的条件下，若抛物线与轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）①，；②或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式的性质，结合“伴随抛物线的定义”求出抛物线的顶点坐标是解决本题的关键． （1）由是的伴随抛物线，可将点代入抛物线中可得成立，再将点代入抛物线中可证成立，即可得证； （2）根据“伴随抛物线”的定义，将二次函数的顶点代入中即可求解； （3）①先将抛物线化为顶点式，再求出抛物线的顶点，由“始终是的伴随抛物线”可令k的值，再将k的值代入抛物线中，即可求解； ②先求出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点，再根据抛物线的运动过程即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的伴随抛物线， 即抛物线的顶点在抛物线上， ∴成立， 抛物线的顶点坐标为， 将点代入中， 则有， 即， 整理可得，， ∴抛物线的顶点在抛物线上， ∴也是的伴随抛物线； （2）解：由“伴随抛物线”的定义可知， 若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， 则有顶点和顶点在抛物线上， ∴， ∴，即，解得， 故答案为：；； （3）①解：抛物线， 化为顶点式可得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴令，则顶点坐标为； 令，则顶点坐标为； ∴，解得， ∴的值为2，的值为3； ②解：由（1）可知，，顶点为， ∵始终是的伴随抛物线， ∴抛物线的顶点在抛物线上运动， 令，解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线与轴有两个不同的交点，， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∵始终是的伴随抛物线， 则也是的伴随抛物线， ∴顶点也在上， 当抛物线的顶点在下方时，则， ∴的取值范围为或． 2．定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． (1)有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）； (2)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式； (3)若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）对于每个函数，根据“纵三倍点”的定义，即点的纵坐标是横坐标的三倍，也就是，将其代入函数解析式，得到关于的方程，通过判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数． （2）首先根据“纵三倍点”的定义，设出交点坐标为，因为该点在直线上，所以可以求出的值，得到交点坐标．然后将交点坐标代入抛物线解析式，再结合抛物线与直线只有一个交点，即联立方程后的判别式，从而求出和的值，得到抛物线的函数表达式． （3）根据“纵三倍点”的定义，将代入抛物线解析式，得到关于的一元二次方程．因为抛物线上有且只有一个“纵三倍点”，所以该一元二次方程有且只有一个解，即判别式，由此得到和的关系式．然后将用这个关系式进行转化，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求出的最值． 【详解】（1）解：对于①，将代入， ， ， ； 此时，有一个解，所以①有一个“纵三倍点”． 对于②，将代入， ， ， ， 解得，，有两个解，所以②有两个“纵三倍点”． 对于③，将代入， ， ， ， 解得，有一个解，所以③有一个“纵三倍点”． 综上，答案为①③． （2）解：设交点为， ∵交点在上， ∴， 解得，则交点为． 将代入，得，即． 联立，消去得， 将代入得． ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， ， ， 解得，则． 所以抛物线的函数表达式为． （3）解：将代入，得， 整理得． ∵抛物线有且只有一个“纵三倍点”， ∴， ， ； 将代入，得． 对于二次函数，其中二次项系数，对称轴为． 当时，，无最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，求解一元二次方程，涉及到新定义“纵三倍点”，一元二次方程解的个数与判别式的关系等知识点．熟练掌握“纵三倍点”的定义，以及利用判别式判断方程解的个数是解题的关键． 3．综合与探究 【定义】对于y关于x的函数，函数在范围内有最大值m和最小值n，则称为极差值，记作． 【示例】如图，根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出反比例函数的的值为________； (2)已知二次函数的图象经过点，求该函数的的值． (3)已知函数，函数的图象经过点，且一个函数的相等，求k的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或3 【分析】本题考查了新定义问题以及函数的最值问题，解题的关键是理解极差值的定义，并结合不同函数的性质进行求解． （1）根据反比例函数的单调性，求出在范围内的最大值和最小值，进而计算极差值； （2）先将点代入二次函数求出的值，得到函数表达式，再分析函数在范围内的单调性，求出最大值和最小值，从而计算极差值； （3）将点代入函数得，得或，分类讨论：①求解的值，②得到的表达式，再分类讨论当时，，内函数的单调性，求出它们的极差值，根据极差值相等列出方程求解的值． 【详解】（1）解：反比例函数在第一象限内随增大而减小，故， ， 故答案为：4； （2）解：将点代入二次函数得，解得， 即二次函数为，开口向上，对称轴为， 故时有最小值，， ， ∴时有最大值，， ； （3）解：对于函数，故随增大而增大，则， 将点代入函数得，得或， 当时，，此时随增大而减小，则，解得； 当时，，二次函数开口向下，对称轴为， 当时，，最大值， 最小值， ，解得或（舍弃）； 当时，， 有最大值，最小值， ，不合题意； 当时，， 时有最大值，时有最小值， ， 解得（舍弃）或（舍弃）， 综上所述，或3． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$