第1章 二次函数（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

第1章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的定义与求参 【解惑】下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， 综上所述：m的值为4． 故答案为：4． 3．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 类型二、列二次函数表达式 【解惑】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 2．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 3．如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．圆增加的面积=新圆的面积半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可． 【详解】解：新圆的面积为， ∴． 故答案为． 类型三、二次函数与一次函数的图象 【解惑】一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．熟练掌握一次函数和二次函数图象及性质是解题的关键 根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向、对称轴、于y轴的交点，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， ∴二次函数的开口向上，， ∴对称轴在y轴右侧， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点为，在轴正半轴 ． 结合以上特征，符合条件的是选项B． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴， 对称轴应在轴的右侧． 故选：C． 2．一次函数与二次函数的图象交于A、B两点．若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，学会利用图象法解不等式是解题的关键．令，得到一次函数与二次函数的交点坐标，，画出和的图象，利用图象法，写出二次函数的图象在一次函数的图象上方对应的x取值范围即可． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴，， 如图，画出和的图象， 由图象可得：当，即二次函数的图象在一次函数的图象上方， ∴x的取值范围是或． 故答案为：或． 3．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 类型四、二次函数与x、y轴的交点 【解惑】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解． 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．二次函数的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，只需将代入二次函数解析式，计算对应的值即可得出答案． 【详解】解：将代入中，得： ， 因此，二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故选：C． 2．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 3．抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标． 令，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 类型五、二次函数的平移 【解惑】将抛物线G：先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到新抛物线 H 的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解： ∵抛物线先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， ∴平移后的解析式为： 故选：A. 【融会贯通】 1．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为． 故选：A． 2．将二次函数先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的函数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将二次函数先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的函数是， 故答案为：． 3．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的平移，根据二次函数的平移规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位， 则平移后的二次函数的解析式， 故答案为：． 类型六、二次函数的增减性与对称性 【解惑】已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 t … … m p p n … 其中m，n，p为常数，且． 有下列四个结论： ①；②抛物线的对称轴是直线； ③0和1是方程的两个根；④若，则． 其中正确的结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性、开口方向、与方程的关系及函数值比较．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的对称性可求出对称轴为直线，可判断②，再结合当时，；当时，，且，即可知该抛物线开口向下，可判断①；令，则该抛物线是由向上平移3个单位得到．根据原函数当时，，即可知新函数当时，，再结合二次函数的对称性可求出时，，即得出方程的两个根为0和1，故③正确；由二次函数的对称性可求出当时，．再根据在对称轴右侧，y随x的增大而减小，且，即得出，故④错误． 【详解】解：由表格可知当或时，， ∴该抛物线的对称轴为直线，故②错误； ∵当时，；当时，，且， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴该抛物线开口向下， ∴，故①正确； 令，则该抛物线是由向上平移3个单位得到． 对于，当时，， ∴对于，当时，， ∵抛物线的对称轴为直线，且是方程的一个根， ∴根据对称性，方程的另一个根为 ∴方程的两个根为0和1，故③正确； ∵该抛物线对称轴为直线，当时，， ∴当时，． 又∵该抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 2．抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 对于，，都有， ， 解得， 综上，当时，都有． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，二次函数的图象与轴交于、两点，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据点在二次函数的图象上，整理得，对称轴为直线，因为，故二次函数的开口向上，再结合二次函数的图象与轴交于、两点，得当时，得，把代入，解得；当时，解得， 把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 即对称轴为直线， ∵二次函数的图象与轴交于、两点， ∴， 即， ∵， ∴当时， 即， ∴， 则， 解得， 把代入，得， 解得； ∴当时， 即， ∴， 则， 解得， 把代入，得， 解得； ∵， ∴二次函数的开口向上， ∴当，则的取值范围为， 故答案为：． 类型七、图象法解一元二次不等式 【解惑】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法： ①； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时． ④当时，y随x的增大而增大． ⑤若点在二次函数图象上，则， 其中正确的序号有 ． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，则，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误； 综上所述，正确的有②③， 故答案为：②③． 2．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 3．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 类型八、待定系数法求二次函数解析式 【解惑】如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括交点问题，确定不等式的解集及平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意将点代入求解即可； （2）根据题意先确定函数与x轴的交点，然后结合图象求解即可； （3）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后将交点问题转化为一元二次方程根的问题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ ∴． ∴； （2）令， 解得： 结合图象可知，不等式的解集为：． （3）由（2）得， ∵直线相交于点A和点． ∴， 解得： ∴， 设新抛物线： 即， ∵只有一个交点， ∴， ． 【融会贯通】 1．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 【答案】 【分析】该题考查了待定系数法求二次函数解析式，可设抛物线对应的二次函数解析式为代入求解即可． 【详解】解：根据题意，可设抛物线对应的二次函数解析式为， 把代入得， 解得：， 则抛物线解析式为． 2．已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）将点A与对称轴代入计算可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再利用公式求解可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴此二次函数表达式为； （2）当时，，解得：， ∴，， ∵， ∴， 求的面积． 【点睛】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，抛物线与直线交于C、D两点．连接、． (1)求抛物线对应的二次函数解析式及D点坐标． (2)抛物线上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． （1）利用待定系数法即可解决问题，联立方程组，求解即可； （2）由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由， 得或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴此方程无实数解， 当时，， 解得：，， ∴或． 类型九、二次函数的应用——增长率问题 【解惑】随着数字技术，新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产4000个，6月份生产5760个．已知该厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时间后发现，当零件售价30元/个时日销售量为130个，若在此基础上售价每上涨1元，则日销售量将减少5个． (1)求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2)为使日销售利润达到1600元，且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ (3)应如何定价，才能使日销售利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率 (2)该零件的实际售价应定为元 (3)实际售价定价为元时，能使日销售利润达到最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程，二次函数关系式是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量（该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，列出方程求解即可； （3）设该零件的实际售价a元，日销售利润为y元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于y的二次函数，根据二次函数的性质即可确定结论． 【详解】（1）解：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）解：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为元； （3）解：设该零件的实际售价a元，日销售利润为y元，则每个的销售利润为元， 根据题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴实际售价定价为元时，能使日销售利润达到最大，最大利润是元． 【融会贯通】 1．随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，我市某共享汽车租赁公司年初在我市投放了一批共享汽车． (1)据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； (2)一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额最大？ 【答案】(1)全天包车数的月平均增长率为 (2)当租金降价40元时，公司每月获得租金总额最大 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用及二次函数的实际应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）设全天包车数的月平均增长率为，根据三月份的全天包车数为25次，五月份的全天包车数达到64次列出方程求解即可； （2）设租金降价元，公司每月获得的租金为y元，根据题意可得：，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设全天包车数的月平均增长率为， 根据题意可得 解得：，（不合题意舍去） 答：全天包车数的月平均增长率为． （2）解：设租金降价元，公司每月获得的租金为y元， 根据题意可得： 化简得： ∵， ∴时，y有最大值， 答：当租金降价40元时，公司每月获得租金总额最大． 2．惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ (3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 (3)当售价为60元时，经销商能获得最大利润，最大利润为9000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为w，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔每个售价为元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 因要尽可能让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． （3）设该品牌头盔每个售价为y元，月利润为w元， 则 ， ∴当售价为60元时，最大利润为9000元． 3．云南某商店以35元/件的进价购进批纪念品，当售价为55元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率； (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售3件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)日销售量的平均增长率为 (2)将旧款纪念品的售价定为每件51元时，每天可获得最大利润，最大利润是768元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题． （1）设日销售量的平均增长率为a，根据增长率问题列方程解应用题； （2）设旧款纪念品降价x元，每天可获得的利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【详解】（1）解：设日销售量的平均增长率为a， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：日销售量的平均增长率为； （2）解：设旧款纪念品降价x元，每天可获得的利润为W元， 由题意得：， 这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， 则当时，W取得最大值，最大值为768，此时售价为（元）， 答：将旧款纪念品的售价定为每件51元时，每天可获得最大利润，最大利润是768元． 类型十、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 【解惑】如图，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在平面直角坐标系中，其表达式为． (1)求城门洞最宽处的长． (2)现在有一高，宽的小货车，问它能否完全通过此城门（单行车道）？请说明理由． 【答案】(1) (2)小货车能完全通过此城门，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求出当时，的值，进而即可得到的长； （2）设小货车行驶到城门正中间，用矩形表示小货车的横截面，根据题意得到均垂直于，点E，F到的距离均为，点F的横坐标为，设所在的直线交抛物线于点G，则点G横坐标为，进而求出点G到的距离，再与高进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：拱高为， 当时，，解得， 故城门洞最宽处的长为． （2）解：小货车能完全通过此城门，理由：如图，设小货车行驶到城门正中间，用矩形表示小货车的横截面， 则均垂直于，点E，F到的距离均为， 点F的横坐标为， 设所在的直线交抛物线于点G，则点G横坐标为， 则点G纵坐标为， 点G到的距离为， 所以小货车能完全通过此城门． 【融会贯通】 1．一个横截面为抛物线形的隧道底部宽，高，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧距道路边缘这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请你根据这些要求，建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了二次函数的应用，首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式，然后求出当时，，再根据车辆顶部与隧道有不少于的空隙，得隧道车辆的高度限制为． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 由已知可得，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点为， 设抛物线的表达式为， 把代入表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，， ∴， ∴通过隧道车辆的高度限制为． 2．如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点． ①当时，求的长； ②直接写出M点横坐标m的取值范围． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2)； 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解直角三角形等知识点． （1）根据，在抛物线上建立方程组求解b，c并将解析式整理成的形式即可得解； （2）①先求出直线的解解式，取表示任意位置的小树高，令解得M，N横坐标，即可求解； ②设，根据题意得到直线与抛物线在区间上有两交点，m为靠左一点的横坐标，注意到，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①∵点，，点C在x轴上， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，即， 解得：， 故直线的解析式为， 令d表示小树高，则， ，即， ， 整理得， 解得：，， 在左侧，故，， ； ②设，则在上有两解，且m为其中较小解， 即直线与抛物线在上有两交点， 当时，， 令，得或舍去， ， 又， 对称轴为直线， 为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，． 3．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的定义与求参 【解惑】下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 3．若是关于的二次函数，则的值为 ． 类型二、列二次函数表达式 【解惑】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 3．如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 类型三、二次函数与一次函数的图象 【解惑】一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【融会贯通】 1．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 2．一次函数与二次函数的图象交于A、B两点．若，则x的取值范围是 ． 3．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 类型四、二次函数与x、y轴的交点 【解惑】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【融会贯通】 1．二次函数的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 3．抛物线与y轴的交点坐标为 类型五、二次函数的平移 【解惑】将抛物线G：先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到新抛物线 H 的表达式为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．将二次函数先向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后的函数是 ． 3．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为 ． 类型六、二次函数的增减性与对称性 【解惑】已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 1 2 t … … m p p n … 其中m，n，p为常数，且． 有下列四个结论： ①；②抛物线的对称轴是直线； ③0和1是方程的两个根；④若，则． 其中正确的结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 3．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，二次函数的图象与轴交于、两点，且，则的取值范围为 ． 类型七、图象法解一元二次不等式 【解惑】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法： ①； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时． ④当时，y随x的增大而增大． ⑤若点在二次函数图象上，则， 其中正确的序号有 ． 2．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 3．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 类型八、待定系数法求二次函数解析式 【解惑】如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 【融会贯通】 1．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 2．已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的面积． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，抛物线与直线交于C、D两点．连接、． (1)求抛物线对应的二次函数解析式及D点坐标． (2)抛物线上有一点P，满足，求点P的坐标． 类型九、二次函数的应用——增长率问题 【解惑】随着数字技术，新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产4000个，6月份生产5760个．已知该厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时间后发现，当零件售价30元/个时日销售量为130个，若在此基础上售价每上涨1元，则日销售量将减少5个． (1)求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2)为使日销售利润达到1600元，且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ (3)应如何定价，才能使日销售利润达到最大？最大利润是多少？ 【融会贯通】 1．随着“共享经济”概念的迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，我市某共享汽车租赁公司年初在我市投放了一批共享汽车． (1)据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； (2)一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为64次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价5元，平均每月全天包车数增加8次．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额最大？ 2．惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ (3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？ 3．云南某商店以35元/件的进价购进批纪念品，当售价为55元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求日销售量的平均增长率； (2)由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售3件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 类型十、二次函数的应用——喷水、拱桥问题 【解惑】如图，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在平面直角坐标系中，其表达式为． (1)求城门洞最宽处的长． (2)现在有一高，宽的小货车，问它能否完全通过此城门（单行车道）？请说明理由． 【融会贯通】 1．一个横截面为抛物线形的隧道底部宽，高，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧距道路边缘这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请你根据这些要求，建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制． 2．如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点． ①当时，求的长； ②直接写出M点横坐标m的取值范围． 3．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$