专题1.1 二次函数y=ax²(a≠0)和y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（3大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题1.1 二次函数的图象与性质 （3大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1．理解二次函数的概念，能用实际情境列二次函数关系式； 2．会用描点法画出二次函数，，的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3. 掌握二次函数，，的图象的性质，掌握他们之间的关系； 4.培养学生结合二次函数的图象性质解决几何问题. 二、【知识梳理】 【知识点1】二次函数的概念 一般地，形如的函数是二次函数,, 都是二次函数的特殊形式，而是二次函数的一般式. 【知识点2】二次函数的图象及性质 1.二次函数y=ax2（a≠0）的图象 用描点法画出二次函数的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线关于轴对称，所以轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线的顶点是图象的最低点。因为抛物线有最低点，所以函数有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 2.二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 【要点提示】画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 3.二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质 二次函数的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点 坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 向上 （0，0） 轴 时，y随x增大而增大； 时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 向下 （0，0） 轴 时，y随x增大而减小； 时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 【要点提示】顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【知识点3】二次函数的图象及性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，k） （0，k） 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 【知识点4】二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（k＞0）【或向下（k＜0）】平移│k│个单位得到的图象. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【考点一】概念与定义 【题型一】二次函数的识别............................................................3 【题型二】列二次函数关系式..........................................................4 【题型三】根据二次函数的定义求参数..................................................4 【考点二】图象与性质 【题型四】用描点法画二次函数，图象.......................5 【题型五】二次函数，，对称轴、开口方向、顶点坐标、增减性..6 【题型六】二次函数，图象的平移关系.......................7 【题型七】求二次函数，解析式............................8 【题型八】二次函数，的增减性比较大小.....................8 【拓展延伸】 【考点三】图象与性质综合 【题型九】求二次函数，图象与性质综合.....................8 【题型十】二次函数，图象与性质与几何综合.................9 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“”难度系数0.85，“”难度系数0.65，“”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】二次函数的识别 【例题1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是 ． 【题型二】列二次函数关系式 【例题2】（23-24九年级上·福建泉州·期中）要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． （1）的长为_____________（用含的代数式表示） （2）若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 （3）能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【题型三】根据二次函数的定义求参数 【例题3】（2024·广东广州·一模）已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 【变式1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式2】（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【考点二】图象与性质 【题型四】用描点法画二次函数图象 【例题4】（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数．    （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； （2）补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【变式1】（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …   （1）补齐上表； （2）在所给坐标系内描出表格中的点； （3）将上述各点用平滑曲线连线． （4）由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 【变式2】（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． （1）在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … （2）任意写出两条该函数图象具有的特征． 【题型五】二次函数，，对称轴、开口方向、顶点坐标、增减性 【例题5】（20-21八年级下·全国·课后作业）填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 【变式1】（23-24九年级上·广东湛江·期末）比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的为 ． ①抛物线开口向上；②抛物线的顶点坐标为；③抛物线的对称轴为y轴；④当时，y随x的增大而增大 【题型六】二次函数，图象的平移关系 【例题6】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．   （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【变式1】（20-21八年级下·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 【题型七】求二次函数，解析式 【例题7】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线绕原点旋转，所得抛物线的解析式是（    ）i A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）顶点坐标为，且与抛物线 的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 ． 【题型八】二次函数，的增减性比较大小 【例题8】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列三个二次函数：①；②；③，将它们按抛物线开口大小从大到小的顺序排列是（   ） A．①③② B．②③① C．②①③ D．③②① 【拓展延伸】 【题型九】求二次函数，图象与性质综合 【例题9】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 【变式1】（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； （2）当______时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； （4）若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【题型十】二次函数，图象与性质与几何综合 【例题10】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 ． 【变式1】（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： （1）求之间满足的函数关系式； （2）已知在此函数图象上，请求出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 二次函数的图象与性质 （3大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1．理解二次函数的概念，能用实际情境列二次函数关系式； 2．会用描点法画出二次函数，，的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 3. 掌握二次函数，，的图象的性质，掌握他们之间的关系； 4.培养学生结合二次函数的图象性质解决几何问题. 二、【知识梳理】 【知识点1】二次函数的概念 一般地，形如的函数是二次函数,, 都是二次函数的特殊形式，而是二次函数的一般式. 【知识点2】二次函数的图象及性质 1.二次函数y=ax2（a≠0）的图象 用描点法画出二次函数的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线关于轴对称，所以轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线的顶点是图象的最低点。因为抛物线有最低点，所以函数有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 2.二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 【要点提示】画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 3.二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质 二次函数的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点 坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 向上 （0，0） 轴 时，y随x增大而增大； 时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 向下 （0，0） 轴 时，y随x增大而减小； 时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 【要点提示】顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【知识点3】二次函数的图象及性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，k） （0，k） 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 【知识点4】二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（k＞0）【或向下（k＜0）】平移│k│个单位得到的图象. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【考点一】概念与定义 【题型一】二次函数的识别...........................................................3 【题型二】列二次函数关系式..........................................................5 【题型三】根据二次函数的定义求参数..................................................7 【考点二】图象与性质 【题型四】用描点法画二次函数，图象........................8 【题型五】二次函数，，对称轴、开口方向、顶点坐标、增减性..13 【题型六】二次函数，图象的平移关系.......................14 【题型七】求二次函数，解析式.............................16 【题型八】二次函数，的增减性比较大小.....................18 【拓展延伸】 【考点三】图象与性质综合 【题型九】求二次函数，图象与性质综合........................19 【题型十】二次函数，图象与性质与几何综合....................23 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】二次函数的识别 ★【例题1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1）；（2）二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． （1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． ★【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，是二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． ★【变式2】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据表格得出时，；时，，然后计算的值即可． 解：由表格可知，当时，；当时，； ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的定义，二次函数的函数值，找出合适的自变量代入是解题的关键． 【题型二】列二次函数关系式 ★【例题2】（23-24九年级上·福建泉州·期中）要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． （1）的长为_____________（用含的代数式表示） （2）若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 （3）能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能；的长为 【分析】（1）根据长方形的周长公式，表示出的长即可； （2）根据长方形面积公式求出S与的函数关系式即可； （3）根据“鸡场的总面积为”，列出方程，求出方程的解即可． 解：（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． （3）解：能围成总面积为的两个长方形养鸡场； 根据题意得：， 解得：，， ∵墙的长度， ∴， 解得：， ∴不符合题意舍去， ∴的长为． 【点拨】本题考查了一元二次方程和不等式组的应用，列代数式，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出方程． ★【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． ★【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 解：由题意得， ， 故答案为：． 【题型三】根据二次函数的定义求参数 ★【例题3】（2024·广东广州·一模）已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A； （2）再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． ★【变式1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故选：B． ★【变式2】（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【答案】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 【考点二】图象与性质 【题型四】用描点法画二次函数图象 ★【例题4】（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数．    （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； （2）补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【答案】（1）轴，；（2），，图象见分析；（3）． 【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标； （）把的值代入解析式，即可得到的值； （）根据性质即可得出结论； 本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 解：（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． ★【变式1】（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …   （1）补齐上表； （2）在所给坐标系内描出表格中的点； （3）将上述各点用平滑曲线连线． （4）由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）见分析；（4）8，； 【分析】（1）根据计算填空即可； （2）在坐标系内描点即可； （3）将各点用平滑曲线连接即可； （4）通过图象可知：当时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当时，可直接写出的取值范围． 解：（1）当时，； 当时，； 故答案为：． （2）描点如下图． （3）用平滑曲线连线如下图．    （4）由图象可知： 当时，； 当时，． 【点拨】本题考查二次函数的性质、图象，及图象上点的坐标的特征．描点并作图是学习函数部分必备的基本能力，一定要熟练掌握． ★【变式2】（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． （1）在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … （2）任意写出两条该函数图象具有的特征． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 解：（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 【题型五】二次函数，，对称轴、开口方向、顶点坐标、增减性 ★【例题5】（20-21八年级下·全国·课后作业）填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 【答案】见分析 【分析】根据二次函数，，的图象与性质即可完成填表． 解： 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 上 y轴 最小值0 y随x增大而增大 下 y轴 最大值1 y随x增大而减小 上 直线 最小值0 y随x增大而增大 【点拨】本题考查了一类特殊的二次函数的图象与性质，掌握这些知识是关键． ★【变式1】（23-24九年级上·广东湛江·期末）比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可； 解：∵二次函数与， ∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为； 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为； 故选项B、D错误，选项C正确； ∵二次函数中的，中的， ∴它们的开口大小不一样，故选项A错误； 故选：C． ★【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的为 ． ①抛物线开口向上；②抛物线的顶点坐标为；③抛物线的对称轴为y轴；④当时，y随x的增大而增大 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数的图象和性质，分别得对称轴为轴，顶点为，当，开口向上，当，开口向下，据此逐个分析即可求解．本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点为， 当时，随的增大而增大， ∴①③④说法正确，符合题意，②说法错误，不符合题意． 故答案为：①③④． 【题型六】二次函数，图象的平移关系 ★【例题6】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．   （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】（1）答案见分析；（2）上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 解：（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． ★【变式1】（20-21八年级下·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移． 解：由于选项D中二次项系数相同，则抛物线与抛物线能够互相平移，其它选项中的两个二次函数的二次项系数都不相同，它们不能互相平移． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平移． ★【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 【题型七】求二次函数，解析式 ★【例题7】（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线关于轴对称，得出顶点横坐标为，求解，得出的值，得抛物线解析式为，根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于轴对称的图象解析式为，整理即可得出答案． 解：∵抛物线关于轴对称，即对称轴为轴， ∴顶点在轴上，即顶点横坐标为， ∴， ∴， ∴此时抛物线解析式为， 关于轴对称的图象解析式为，即． 故答案为：，． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质计算求解是解题的关键． ★【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线绕原点旋转，所得抛物线的解析式是（    ）i A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，二次函数图形和性质，由题意可得抛物线开口由向下变为向上，对称轴不变，顶点坐标由变为，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：将抛物线绕原点旋转后，抛物线开口由向下变为向上，对称轴不变，顶点坐标由变为， ∴所得抛物线的解析式为， 故选：． ★【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）顶点坐标为，且与抛物线 的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据顶点坐标设抛物线解析式为，再根据与抛物线 的形状相同、开口方向相反得出的值即可得到答案． 解：根据题意设抛物线解析式为， 由于与抛物线 的形状相同、开口方向相反， ， 故函数解析式为． 故答案为：． 【题型八】二次函数，的增减性比较大小 ★★【例题8】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． ★【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）求得该函数的对称轴为y轴，且开口向上，由点，，知． 解：（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为y轴，且开口向上， ∴在对称轴右边，y随x的增大而增大， ∵点，， ∴． 故选：B． ★【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列三个二次函数：①；②；③，将它们按抛物线开口大小从大到小的顺序排列是（   ） A．①③② B．②③① C．②①③ D．③②① 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，的绝对值越小，开口越大．利用二次函数的绝对值决定抛物线的开口大小可得出答案． 解：， 抛物线开口按从大到小的顺序排列是②③①， 故选：B． 【拓展延伸】 【题型九】求二次函数，图象与性质综合 ★★【例题9】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键． （1）求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标； （2）根据题意，分两种情况分别求：当和时，根据“线段与抛物线恰有一个公共点”列出不等式，再结合图象可确定m的范围． 解：（1）抛物线与y轴交于点A， ∴， 点A关于x轴的对称点为点B， ∴， 故答案为：； （2）当时， 通过观察可得：C在直线l上，若要与抛物线有一个交点， 则， 解得（舍）， 当时， ， 解得，即． ★★【变式1】（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． ★★【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； （2）当______时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； （4）若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【答案】（1）5，3；（2）或2；（3）或；（4）或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 解：（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【题型十】二次函数，图象与性质与几何综合 ★★【例题10】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等等，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接，利用勾股定理求出，根据题意推出的周长，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 解：如图所示，过点M作轴于H，过点P作轴于E，连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：5． ★★【变式1】（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． ★★【变式2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： （1）求之间满足的函数关系式； （2）已知在此函数图象上，请求出的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式； （2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积. 解：（1）解：连接，过点作轴于． 则，， ，． ． （2）由（1）知，，如图， . 【点拨】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$