1.3—1.4 二次函数的性质 二次函数的应用 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

1.3—1.4 二次函数的性质 二次函数的应用 1、 二次函数的性质 1. 二次函数的图像是一条抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线。 2. 抛物线有一个顶点P，坐标为。 3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。 5. 常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与y轴交于点(0,c)。 6. 抛物线与x轴交点的个数由判别式Δ=b²-4ac决定。当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。 2、 二次函数的应用 1. 二次函数在实际问题中的应用非常广泛，如建筑设计、工程设计、物理学等领域。 2. 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值。 3. 二次函数图像与一元二次方程、不等式的关系也是重要的应用内容。通过二次函数的图像，可以直观地理解一元二次方程的解和不等式的解集。 巩固课内例1:已知y=ax²+bx+c,求其性质 1．二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 2．二次函数（a，b，c为常数，且）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 根据上述信息回答问题： (1)一元二次方程的根是 ． (2)当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，从表格中获取信息是解题的关键． （1）将整理后，根据方程的根是二次函数和一次函数图象的交点的横坐标即可求解； （2）结合表格分析抛物线的对称轴以及开口方向，求出时对应的的值，进而求出答案． 【详解】（1）解：由，得． 结合表格可知，抛物线与直线的交点为和， 且直线与抛物线最多有两个交点， 一元二次方程的根是． 故答案为：． （2）解：根据表格可知，抛物线的对称轴是直线， 由表中数据可知，当时，随着的增大而增大， 抛物线开口向下． 令，解得， 可知当和时，， 当时，． 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若二次函数的图象经过点，顶点坐标． ①求关于的函数解析式； ②求该二次函数的图象顶点最低时的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴为直线，求解即可； （2）①根据二次函数的图象经过点，得出，根据顶点坐标得出，解答即可； ②由①知，，得出顶点有最低点，求出二次函数的解析式即可解答． 【详解】（1）解：二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ． （2）解：①∵二次函数的图象经过点， ， ， ∵二次函数的顶点坐标为， ，， ； ②由①知，， ∴当时，顶点纵坐标取得最小值为0，此时顶点最低点为， 二次函数中， ∴二次函数的解析式为， ． 巩固课内例2:窗户边框问题 1．如图，用长的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决问题的关键是熟练掌握矩形和圆的周长公式和面积公式，求二次函数的最大值．窗户由半圆和矩形两部分组成，分别求出它们的面积，相加即可得到窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；根据二次函数的性质可求出面积的最大值． 【详解】解：设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S， 则窗框总长， ∴， ∴， ∵， ∴S有最大值，为． 故选：C． 2．现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是 （不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意，正确找出等量关系是解题的关键．设窗户位于上方的矩形的宽为，根据该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，得到窗户位于下方的矩形的长为，窗户位于上方的矩形的长为，再根据矩形的面积公式求函数关系式即可． 【详解】解：设窗户位于上方的矩形的宽为， 该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，且窗户框架的总长度为， 窗户位于下方的矩形的长为，窗户位于上方的矩形的长为， 根据题意得：， 即． 故答案为：． 3．问题背景 教室改造采光窗户，如图（1），窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形． 建立模型 如图（2），不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长．设的长为， （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的透光面积； （2）当窗户的总面积为时，求的长； 方案解决 （3）窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定的长． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要涉及矩形的面积公式以及一元二次方程的应用、二次函数的应用．由图形找准数量关系正确列式计算是解题的关键． （1）根据矩形面积公式，用含x的式子表示出相关边长，进而得到面积表达式； （2）根据窗户总面积列出方程求解； （3）先根据条件得到面积关于x的函数，再结合的条件求函数的最大值以及对应的x值． 【详解】解：（1）观察图形可知，， 因为图中所有线段总长，其中横向的线段有3条长度为的，纵向的线段有3条长度为以及3条长度为的， 所以可列出，即， 那么． 矩形的面积． 矩形的面积； （2）由题意得：， 解方程，得． 当时，．不合题意，舍去． 当时，． （3）窗户采光面积． ， ， ． ，抛物线开口向下， 当时，随的增加而增加， 在的范围内，当时，即时，采光面积最大． 巩固课内例3:小球方向飞行问题 1．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， ∵ ∴当时，有最大值． 故选：A． 2．如图，以的速度将小球沿与水平地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系． （1）小球飞行的最大高度是 米； （2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了 秒． 【答案】 20 2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意建立方程是解决问题的关键． （1）求出抛物线的顶点坐标，即可得到结论； （2）把代入函数关系式可得方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴小球飞行的最大高度是米； 故答案为：20； （2）当时，， 整理得， 解得，， （秒）， ∴小球在高于15米（包括15米）的空中保持了2秒． 故答案为：2． 3．如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【答案】(1) (2)小球飞行高度能达到，此时秒． (3)当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求解； （3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设关于的二次函数关系式为， 将代入得 ∴， 解得：． ∴关于的二次函数关系式为． （2）当，， 解得：，（舍去）． ∴小球飞行高度能达到，此时秒． （3）解： ∵ ∴当值为秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是． 巩固课内例4:售价问题 1．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，能够表示出一台电视的利润和销售量增加的部分是解题的关键．根据利润问题公式：总利润单台利润销售数量，单台利润为原售价减进价再减去降价，销售数量随降价增加，即可列出方程． 【详解】解：设每台电视降价元， 降价后单台利润是元，卖出的台数是台， 商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元， 可列方程为， 故选：B． 2．宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用利润问题，解题的关键是找到等量关系． 根据利润利润单价数量即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 3．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 【答案】(1)20元 (2)每件衬衫需降价15元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要能利用基本数量关系：平均每天售出的件数×单件盈利=每天销售的利润． (1)依据题意，设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到的值； (2)依据题意，用“配方法”即可求出的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则多售出件， 由题意：， 解得，（要尽快减少库存，故舍去） 答：每件衬衫降价20元． （2）设盈利元，则与的关系式为：， ， 当时，该二次函数有最大值，为1250元． 答：每件衬衫需降价15元，商场平均每天赢利最多． 巩固课内例5:抛球问题 1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解题的关键．对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数关系式为． ， ∴篮圈中心在抛物线上，故选项②正确； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，拋物线的顶点坐标是．故选项①正确，选项③错误； 设篮球出手时离地面的高度是. 令中， 可得． 可知篮球出手时离地面的高度是.故选项④错误． 则说法正确的有①②， 故选：C． 2．一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，当得，解方程，即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 3．根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 (1)求实心球运动轨迹的抛物线解析式； (2)小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (3)体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围． 【答案】(1)； (2)不能得到满分，见解析； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是关键． （1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令代入解析式求出值与比较即可得到结论； （3）设调整后抛物线解析式为，当时，，令，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，由表中数据可得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：当时， 解得舍去，， ， 小刚在此次训练中不能得到满分； （3）解：设调整后抛物线解析式为， 当时，， 令， 解得， 的取值范围为：． 巩固课内例6:利用二次函数的图象求一元二次方程近似解 1．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 2．已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 3．如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 【答案】(1)的解是，． (2)画图见解析 【分析】本题考查的是利用图象法求解一元二次方程的解，掌握数形结合的方法是关键； （1）由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，，即方程的解； （2）由方程可得其解是函数函数与直线的交点的横坐标；或函数与直线的交点的横坐标；再画图即可． 【详解】（1）解：由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，， ∴，是方程的解； ∴的解是，． （2）解：如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； 如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； ； 类型一、二次函数的自变量求值 1．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 2．如果是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 3．已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 类型二、二次函数的对称性 1．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 2．二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当时， ． 【答案】 向上 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．依据题意，根据抛物线的对称性，、时的函数值相等，然后列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，、时的函数值都是相等， 此函数图象的对称轴为直线，即直线． 又当时，随的增大而减小， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴是直线， 当时与当时的函数值相等． 当时，， 当时，． 故答案为：向上，． 3．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式． (2)若和是抛物线上不同的两点，且，求p的值． 【答案】(1) (2)p的值为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，解题的关键是正确的理解题意． （1）把点，分别代入解方程组即可解答； （2）点A、B是抛物线上的对称点，可得，结合，解方程即可得，， 【详解】（1）解：把点，分别代入得 ， 解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 、B的坐标分别为，， 点A、B是抛物线上的对称点， ， 即， ， ，， 当时，， 即p的值为 类型三、二次函数与x轴、y轴的交点 1．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 2．抛物线与轴的交点纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与纵坐标轴的交点，解题的关键是掌握轴上的点的横坐标为0． 将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：将代入，得：， 抛物线与轴交点的纵坐标为． 故答案为：． 3．已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求此二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与y轴的交点坐标为；与x轴的交点坐标为和 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． （1）由待定系数法即可求解； （2）对于，令，得；令，解得：，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 把，，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为． （2）解：把代入得，则抛物线与y轴的交点坐标为； 把代入得， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 类型一、二次函数的增减性 1．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，，都在二次函数的图象上，， ∴， 故选：A． 2．已知二次函数图象上有点，若，则 （填写“小于”或“大于”或“”）． 【答案】大于 【分析】本题考查利用二次函数的增减性判断函数值的大小问题，准确判断函数的增减性是解题关键．利用二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：由题可知，该二次函数对称轴为直线，且开口向上， 即：当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：大于． 3．已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线过点，得且，求解即可； （2）当时，则，即可求解；当时，当时；当即时，只要满足即可；当即时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴且， 解得：或（舍去）， 即； （2）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴抛物线开口向上，点与关于直线对称， ∵，在抛物线上，且对于，都有， ∴， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下， ∵，在抛物线上，且对于，都有， 又∵， ∴在对称轴的右侧； 当，即， 此时，即， ∵， ∴与对称轴的距离小于与对称轴的距离， ∴， 则； 当即时，则， 解得：； 此时不合题意； 当即时，， 解得：； 此时不合题意； 综上，； 综上所述，的取值范围或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 类型二、矩形面积最大问题 1．如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用．已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，求当时，的范围，进而即可得到a的值，即可回答问题 【详解】解：设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∵墙的最大长度为， ∴， ∵最大值， ∴，即或（不合题意舍去）， ∴． 故选：A． 2．如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 【答案】48 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设宽为x米，则长为米，先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设宽为x米，则长为米， 则， 解得： 由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值， 即该羊圈最大面积可以建造， 故答案为：48． 3．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【答案】(1)； (2)20；800 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）构造二次函数，求最值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵， ∴， 由， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故答案为：20,800． 类型三、拱桥问题 1．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 根据题意得，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出，然后将代入求解即可． 【详解】用如图所示的方式建立平面直角坐标系， 根据题意得，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∵当水面增加时， ∴水面宽度为， ∴， ∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为， ∴当时，． ∴当水面增加时，水面下降了． 故选：B． 2．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 3．如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)该抛物线的表达式为，自变量的取值范围是； (2)其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【分析】（1）根据题意得出，，，设该抛物线的表达式为，再用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式求出，当时，自变量的值，即可得出在什么范围内能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解． 【详解】（1）解：依题得：，，， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 该抛物线的表达式为，其中自变量的取值范围是； （2）解：由（1）得，抛物线的表达式为， 则当时，， 解得， 其中，， 即在范围内，可通过高米的车辆， 要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆， 则能通过高米的车辆的宽度至少需为， ， 其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的实际应用． 类型四、喷水问题 1．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．如图，线段表示水池的宽，米，以边缘点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在O处安装一根带喷头A的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从A喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关．已知水注在与点O水平距离1米处达到最高，要使水注落点C不超出水池外，则喷头A的最大高度为 米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、二次函数的最值等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由函数解析式可得抛物线的对称轴为，解得，进而得到抛物线解析式为，然后说明喷头A的高度为c；由线段表示水池的宽于再根据米可得，则抛物线过点时喷头A的高度最大，然后将代入抛物线解析式求得c的值即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，解得：， ∴， 当时，，即喷头A的高度为c， ∵米， ∴， ∴当抛物线过点时，喷头A的高度最大， ∴，解得：， ∴喷头A的最大高度为4米． 故答案为4． 3．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度（）与水平距离（）之间的关系式分别是和； (1)求，关于的解析式； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1)和； (2)B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：根据题意，令，易得， 令，， ∴， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（）与水平距离x（）之间的关系式分别是和； （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 类型一、二次函数的最值 1．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：； （2）原抛物线顶点纵坐标为， 将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有： ， 此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值，为， 即该抛物线顶点纵坐标的最小值为， 故答案为：． 3．某次数学活动时，数学兴趣小组成员小明研究了函数的图象和性质． (1)下表是函数值与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 3 3 3 … 其中，的值为________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象． (3)根据函数图象回答下列问题： ①该图象的对称轴为：直线________， ②该函数的增减性为： 当________时，随的增大而增大， 当________时，随的增大而减小． ③当________时，函数取得最大值，且最大值为________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②或；或；③1或3； 【分析】本题考查分段的二次函数图象，可以根据自变量的取值范围分别作出对应的函数图象即可得出整个函数的图象．解题时要注意数形结合思想的运用． （1）把代入函数表达式，即可得出n的值； （2）把表格中 7 个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图象； （3）结合图象，可得图象的增减性以及关于直线对称且最大值为 3．5 ． 【详解】（1）解：当时，，即， 故答案为：； （2）解：图象如图所示： （3）解：根据（2）中图象可得： ①图象关于直线对称； ②当或时，随的增大而增大； 当或时，随的增大而减小； ③当或 3 时，函数取得最大值，且最大值为； 故答案为：或或或3，． 类型二、动点问题 1．如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 2．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 【答案】 2 4 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2， 3．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． (1)当点F与矩形顶点重合时，______； (2)求当且时，y关于x的函数解析式； 【答案】(1)1或4 (2)当时，；当时，；当时，，；当时， 【分析】（1）理解题意，先分类讨论，第一种情况，点在上，作图，证明，都是等腰直角三角形，则，，第二种情况，点在上，作图，则，故，，，可得结论； （2）理解题意，结合且，进行分类讨论，且逐个情况进行作图，结合直角三角形的面积公式进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：如图1中，点在上， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴时，点F与矩形顶点C重合． 如图：当点P运动到上时，此时都与点重合， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴, 则, ∴ 则 综上：当点F与矩形顶点重合时，或4； 故答案为：1或4 （2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则, 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当时，；当时，；当时，，；当时，． 【点睛】本题考查了函数与几何动点，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，函数关系式，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类型三、二次函数的图象与各系数关系 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由抛物线对称轴为，即，可判断②；由抛物线开口向下，，，再根据与y轴交于正半轴，即，则，故可判定①；由，则，将代入可得，即可判定③；当时，，则，将代入，即可判断④． 【详解】解：由图像可知：抛物线对称轴为，即，则，故②错误； 抛物线开口向下，即，所以，与y轴交于正半轴，即，则，故①错误； 由，则，将代入，因为，即，故③错误， 当时，，则，将代入，即，故④正确． 综上，错误的有①②③． 故答案为：A． 2．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：根据图象可知： 当时，， 故①错误； 当时，， 故②正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， 故③正确； ∵对称轴，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的有②③． 故答案为：②③． 3．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3—1.4 二次函数的性质 二次函数的应用 1、 二次函数的性质 1. 二次函数的图像是一条抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线。 2. 抛物线有一个顶点P，坐标为。 3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。 5. 常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与y轴交于点(0,c)。 6. 抛物线与x轴交点的个数由判别式Δ=b²-4ac决定。当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。 2、 二次函数的应用 1. 二次函数在实际问题中的应用非常广泛，如建筑设计、工程设计、物理学等领域。 2. 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值。 3. 二次函数图像与一元二次方程、不等式的关系也是重要的应用内容。通过二次函数的图像，可以直观地理解一元二次方程的解和不等式的解集。 巩固课内例1:已知y=ax²+bx+c,求其性质 1．二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．二次函数（a，b，c为常数，且）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 根据上述信息回答问题： (1)一元二次方程的根是 ． (2)当时，x的取值范围是 ． 3．已知二次函数． (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若二次函数的图象经过点，顶点坐标． ①求关于的函数解析式； ②求该二次函数的图象顶点最低时的值． 巩固课内例2:窗户边框问题 1．如图，用长的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（  ） A． B． C． D． 2．现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是 （不用写出自变量的取值范围）． 3．问题背景 教室改造采光窗户，如图（1），窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形． 建立模型 如图（2），不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线段总长．设的长为， （1）直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的透光面积； （2）当窗户的总面积为时，求的长； 方案解决 （3）窗户的面积越大，采光效果越好，基于美观的考虑，要求，请设计一个使采光效果最佳的方案，确定的长． 巩固课内例3:小球方向飞行问题 1．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 2．如图，以的速度将小球沿与水平地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系． （1）小球飞行的最大高度是 米； （2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了 秒． 3．如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 巩固课内例4:售价问题 1．新世纪商场销售某种电视，每台进价为6500元，销售价为6900元，平均每天能售出6台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出2台，商场要想使这种电视的销售利润平均每天达到1800元，每台电视应该降价多少元?若设每台电视降价元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 2．宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克元，公司每天直播销售的利润为元，则与的函数关系式为 ． 3．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 巩固课内例5:抛球问题 1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（   ） ①此抛物线的解析式是 ②篮圈中心的坐标是 ③此抛物线的顶点坐标是 ④篮球出手时离地面的高度是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是 秒． 3．根据年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于米时获得满分分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 (1)求实心球运动轨迹的抛物线解析式； (2)小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (3)体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式上可以理解为保持，值不变，调整值．求能使得小刚得到满分的的取值范围． 巩固课内例6:利用二次函数的图象求一元二次方程近似解 1．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 3．如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 类型一、二次函数的自变量求值 1．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 2．如果是二次函数，则的值为 ． 3．已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 类型二、二次函数的对称性 1．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的函数值自变量之间的部分对应值如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当时， ． 3．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式． (2)若和是抛物线上不同的两点，且，求p的值． 类型三、二次函数与x轴、y轴的交点 1．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．抛物线与轴的交点纵坐标为 ． 3．已知二次函数的图像经过，，三点． (1)求此二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标． 类型一、二次函数的增减性 1．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数图象上有点，若，则 （填写“小于”或“大于”或“”）． 3．已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 类型二、矩形面积最大问题 1．如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 2．如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造 3．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 类型三、拱桥问题 1．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（   ） A． B． C． D． 2．苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 3．如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 类型四、喷水问题 1．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，线段表示水池的宽，米，以边缘点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在O处安装一根带喷头A的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从A喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关．已知水注在与点O水平距离1米处达到最高，要使水注落点C不超出水池外，则喷头A的最大高度为 米． 3．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度（）与水平距离（）之间的关系式分别是和； (1)求，关于的解析式； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 类型一、二次函数的最值 1．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 3．某次数学活动时，数学兴趣小组成员小明研究了函数的图象和性质． (1)下表是函数值与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 6 … … 3 3 3 … 其中，的值为________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点，画出该函数图象． (3)根据函数图象回答下列问题： ①该图象的对称轴为：直线________， ②该函数的增减性为： 当________时，随的增大而增大， 当________时，随的增大而减小． ③当________时，函数取得最大值，且最大值为________． 类型二、动点问题 1．如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 3．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． (1)当点F与矩形顶点重合时，______； (2)求当且时，y关于x的函数解析式； 类型三、二次函数的图象与各系数关系 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 2．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 3．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$