1.1—1.2 二次函数 二次函数的图象 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

1.1—1.2 二次函数 二次函数的图象 一、二次函数定义 二次函数是指形式为y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 二、二次函数图象特点 1. 二次函数y=ax2（a≠0）的图象是抛物线，该抛物线关于y轴对称，顶点位于原点。 当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。 2. 函数y=a(x-m)2+k（a≠0）的图象可通过将y=ax2的图象先沿x轴向右（m>0）或向左（m<0）平移|m|个单位，再沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位得到。其顶点为(m,k)，对称轴为直线x=m。 巩固课内例1:面积问题 1．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 2．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 3．在矩形中，，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t（s），的面积为S（cm2） (1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围． (2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，再根据解答即可； （2）先求出，，，再分①当为直角时，②当为直角时，③当为直角时三种情况讨论，应用勾股定理求出t的值，即可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 根据题意得 ， 解得：； （2）由勾股定理可得， ， ， ， ①当为直角时，， 即 解得， ； ②当为直角时，， 即， 解得或， ， 都不符合； ③当为直角时，， 即， 解得（舍）或， ． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是找到． 巩固课内例2:代入数值求二次函数的表达式 1．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 2．二次函数的图象过点，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求解析式，代数式求值，将，，代入解析式求出，然后代入求解即可． 【详解】∵二次函数的图象过点，， ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 3．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解． 【详解】解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是． 巩固课内例3:y=ax²的图象 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A正确， 该函数图象开口向上，关于y轴对称，故选项B正确， 图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C错误， 图象的顶点坐标是，故选项D正确， 故选：C． 2．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 3．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 巩固课内例4:y=a(x-h)2的图象 1．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 2．二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为： 3．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 巩固课内例5:y=ax²+bx+c的对称轴与顶点坐标 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 2．二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴，根据对称轴的定义即可求得． 【详解】解：由二次函数得，，， 则对称轴为直线． 故答案为：． 3．求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 【答案】顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 【分析】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴、最值． 【详解】解： ∴顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 类型一、二次函数的定义 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 2．给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①不是二次函数； ②是一次函数，不是二次函数； ③不是二次函数； ④是二次函数； 综上，是二次函数的有④， 故答案为：． 3．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 【答案】(1)是二次函数 (2)不是二次函数 (3)是二次函数 (4)不是二次函数 (5)是二次函数 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：是二次函数，符合题意； （2）解：不是二次函数，不符合题意； （3）解：是二次函数，符合题意； （4）解：不是二次函数，不符合题意； （5）解：是二次函数，符合题意． 类型二、二次函数的项、系数 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 2．把变成一般式，它的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 3．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； (2)不是二次函数； (3)是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； (4)不是二次函数． 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． （1）（2）（3）（4）根据二次函数定义进行解答即可． 【详解】（1）解：，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是； （2）解：不是二次函数，是一次函数； （3）解：，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是3，常数项是； （4）解：不是二次函数． 类型三、函数的对称轴、开口、顶点坐标 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为：； 故选B． 2．抛物线的对称轴是 ． 【答案】轴 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据对称轴公式解答即可，掌握对称轴公式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 3．已知抛物线． (1)开口方向：__________； (2)顶点坐标：__________； (3)对称轴：__________； (4)当__________时，的最__________值是__________； (5)当__________时，随的增大而减小． 【答案】(1)向上 (2) (3)直线 (4)，小， (5) 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握二次函数图象开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性是解题的关键． （1）中，开口向上，，开口向下； （2）中顶点坐标为； （3）中是对称轴； （4）根据顶点坐标可得二次函数最值； （5）根据增减性即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴函数图象开口向上； （2）解：的顶点坐标为； （3）解：的对称轴为； （4）解：中当时，二次函数有最小值，最小值为； （5）解：的对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小． 类型四、二次函数的平移 1．抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的平移，根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为， 故选：A． 2．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象，遵循“左加右减，上加下减”的原则．这里是沿轴向右平移，只 需要对的值进行相应变化． 【详解】解：∵原抛物线为，沿轴向右平移个单位长度， ∴根据“左加右减”原则，把变为， ∴得到新抛物线表达式为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换．用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据左右平移只改变二次函数的顶点的横坐标得到新抛物线的顶点． 3．已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的二次函数解析式，然后将点代入，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：． 类型一、增长率问题 1．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 2．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：与的函数关系是， 故答案为：． 3．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】见解析． 【分析】根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】依题意，得：， 此函数是二次函数. 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 类型二、描点法画图象 1．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：，点， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意； ，点， 当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 2．在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ． 【答案】对称轴都为（答案不唯一） 【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可． 【详解】如图所示， 由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为， 故答案为：对称轴都为（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 3．已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)，，；函数图象见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键． （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 时，；时，，时，， 描点、连线、绘制函数图象如下： 故答案为：，，； （2）解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足， ∴t的取值范围为， 故答案为：． 类型一、已知点在图象上求解 1．已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 先把点代入，求得，则，，根据二次函数的图象顶点在第三象限，则，解得，则，即可求解． 【详解】解：把点代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴的最小整数解是3． 故选：D． 2．二次函数的图象的顶点在坐标轴上，则的值为 ． 【答案】1或或0 【分析】由二次函数y=x2+2mx+1的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可． 【详解】解：当图象的顶点在x轴上时， ∵二次函数y=x2+2mx+1的图象的顶点在x轴上， ∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2， ∴m=±1． 当图象的顶点在y轴上时，m=0， 故答案为1或−1或0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是熟记二次函数的性质． 3．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 类型二、铅球问题 1．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（   ）． A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可；令得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点坐标为，图象过点 ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴铅球所经过路线的函数表达式为； 令得，， 解得：（舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴铅球的落地点与该运动员相距大约在之间． 故选：B． 2．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 ． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； ∴该运动员此次掷铅球的成绩是； 故答案为：6． 3．一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． (1)分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． (2)求铅球落到坡面上时与的水平距离． (3)铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 【答案】(1)； (2)m (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标是，且，据此把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；过点C作轴于H，则，设，则，故点C在直线上； （2）求出抛物线与直线在第一象限内的交点横坐标即可得到答案； （3）铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离等于二次函数的函数值减去一次函数的函数值，据此列出对应的函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，且， 设抛物线所对应的函数表达式为． ∵图象过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 如图所示，过点C作轴于H， ∵斜坡为射线，坡度． ∴在中，， 设，则， ∴点C在直线上， ∴斜坡所对应的函数表达式为； （2）解；联立得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴铅球落到坡面上时与的水平距离为m． （3）解：设落地前球与斜坡的铅垂线距离为， 由题意得． ∵， ∴当时，L最大，最大值为2． 故铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是． 类型三、周长问题 1．如图（1），在中，点D是边上一点，点P从点A出发，沿运动到点B，设点P运动的路程为x，点P到点B的距离为y，在点P运动过程中，y随x变化的关系图象如图（2）所示，其中点E为第一段函数图象的最低点，则的周长为（　　） A． B．18 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与几何综合，包括勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，由图象得，当点运动到点时，，，求出，得到，推出，得到是等边三角形，根据函数图象得，推出，得到，求出，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 由图象得，当点运动到点时，，， 当点运动到点时，， ， ， ， ， 是等边三角形； 当点P运动到点D时，y的值是a， 根据函数图象，结合点P的运动路线，得， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故选：D． 2．已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线标准方程的焦点、准线，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 将抛物线化成顶点式，结合抛物线标准方程的焦点及平移规律得到的焦点坐标，正好是题目中的F点，结合图象，当周长最小时，即最小，根据抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，可知当、、处于同一条直线上时，最小，从而得到P点横坐标等于A的横坐标，进而求得P点坐标． 【详解】解：，可看成向右平移1个单位，向上平移3个单位得到， 由抛物线标准方程可得的焦点，准线：， 故抛物线的焦点为即为F点，准线l：， 如图，A、F为定点， 当周长最小时，即最小， F为抛物线焦点，则等于P到准线l的距离， 当、、处于同一条直线上时，最小，此时P的横坐标与A的横坐标相同，为3，代入抛物线得纵坐标，故点P坐标为， 故答案为：． 3．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线对称轴上求作一个点，使的周长最小，并求出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）根据对称轴，可求出的值，再代入点的坐标即可求出的值，即可解答； （2）连接交对称轴于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上的点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，即可求出点P坐标． 【详解】（1）解：由对称轴，可得， 将代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点，此时的周长最小，   根据二次函数的对称轴，利用中点公式可得点的横坐标为， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入，可得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据待定系数法求一次函数，轴对称中最短路径问题，利用两点之间线段最短找出使得的周长最小的点的位置是解题的关键． 类型四、铅垂高问题 1．如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③为任意实数；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，，再由可知；当时，函数有最大值；再由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确，符合题意；    ∵抛物线的对称轴，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值． ∴为任意实数， ∴为任意实数，故③正确，符合题意； ④∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 将点代入， ∴． ∴．， 过点Q作轴交于点P， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴当时，的面积最大， 故④正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的坐标特征，二次函数的性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 2．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数求最值，解题的关键是利用割补法表示三角形的面积． 先求出，设，由得到，化简得：，由，得当时，的面积取得最大值为，此时． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为， 联立， 解得：或， ∴ 设 ∵， ∴ 化简得：， ∵， ∴当时，的面积取得最大值为， 此时， 故答案为：． 3．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.2 二次函数 二次函数的图象 一、二次函数定义 二次函数是指形式为y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 二、二次函数图象特点 1. 二次函数y=ax2（a≠0）的图象是抛物线，该抛物线关于y轴对称，顶点位于原点。 当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。 2. 函数y=a(x-m)2+k（a≠0）的图象可通过将y=ax2的图象先沿x轴向右（m>0）或向左（m<0）平移|m|个单位，再沿y轴向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位得到。其顶点为(m,k)，对称轴为直线x=m。 巩固课内例1:面积问题 1．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 3．在矩形中，，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t（s），的面积为S（cm2） (1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围． (2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积． 巩固课内例2:代入数值求二次函数的表达式 1．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象过点，，则 ． 3．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 巩固课内例3:y=ax²的图象 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为 2．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 3．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 巩固课内例4:y=a(x-h)2的图象 1．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是 ． 3．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 巩固课内例5:y=ax²+bx+c的对称轴与顶点坐标 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的对称轴为直线 ． 3．求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 类型一、二次函数的定义 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有 ． 3．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． 类型二、二次函数的项、系数 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 2．把变成一般式，它的常数项为 ． 3．判断下列函数是不是二次函数．如果是二次函数，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． (4)． 类型三、函数的对称轴、开口、顶点坐标 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是 ． 3．已知抛物线． (1)开口方向：__________； (2)顶点坐标：__________； (3)对称轴：__________； (4)当__________时，的最__________值是__________； (5)当__________时，随的增大而减小． 类型四、二次函数的平移 1．抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 3．已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 类型一、增长率问题 1．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是 ． 3．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 类型二、描点法画图象 1．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质 ． 3．已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 类型一、已知点在图象上求解 1．已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 2．二次函数的图象的顶点在坐标轴上，则的值为 ． 3．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 类型二、铅球问题 1．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（   ）． A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 2．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 ． 3．一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． (1)分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． (2)求铅球落到坡面上时与的水平距离． (3)铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 类型三、周长问题 1．如图（1），在中，点D是边上一点，点P从点A出发，沿运动到点B，设点P运动的路程为x，点P到点B的距离为y，在点P运动过程中，y随x变化的关系图象如图（2）所示，其中点E为第一段函数图象的最低点，则的周长为（　　） A． B．18 C． D．12 2．已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 ． 3．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线对称轴上求作一个点，使的周长最小，并求出点的坐标． 类型四、铅垂高问题 1．如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③为任意实数；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B左侧），连接，P在直线下方抛物线上，当的面积最大时，点P的坐标是 ． 3．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$