培优03 有理数的运算九大题型专项训练（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

培优03有理数的运算九大题型专项训练 题型1 有理数的加法运算 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法法则进行运算即可． （2）根据有理数加法法则进行运算即可． （3）根据有理数加法法则进行运算即可． （4）根据有理数加法法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 2．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，先将式子变为，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算法则是解决问题的关键． （1）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （3）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （4）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （5）根据有理数加法结合律，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （6）由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （7）由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法运算； （1）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法运算，再进行异号加法计算，即可求解； （2）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法及相反数进行运算，再进行异号加法计算，即可求解； 掌握有理数运算律及加法法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式． . 题型2 有理数的减法运算 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 6．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法则求解即可； （2）根据有理数的减法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； (1)嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减法，解题的关键是： （1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入减法算式计算，即可得出正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得被墨水污染的减数为； （2）． 8．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 题型3 有理数的加减法运算 有理数的加减法混合运算的运算步骤： 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 11．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （4）先化简绝对值可得原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数的加减运算法则是解题关键． （1）利用有理数加法的交换律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25七年级上·天津·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算绝对值，再计算加减即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （3）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 14．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，以及加法运算律，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25七年级下·北京·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了运算，涉及加法与减法运算，观察到算式中各项的分数部分都接近1，故可将各项都变形为整数减去一个分数的形式（凑整法），再利用加法运算律进行简便运算即可得到答案．能够根据题中各个带分数的结构特征进行最优变形是解决问题的关键． 【详解】解： ． 题型4 有理数的乘法运算 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法，根据两个有理数相乘的法则计算． （1）根据“同号得正，并把绝对值相乘”计算即可； （2）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （3）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （4）根据“一个数与0相乘，积为0”计算即可． 【详解】（1） （2） （3） ， （4） ． 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先判断代数式的正负性，再进行约分，即可解答； （2）有理数的乘法运算中，有0因数，结果为0． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是：根据有理数乘法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解： 19．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）简便计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的运算的简便运算； （1）先确定分子分母中相同的因数，再变形计算即可； （2）利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法分配律和有理数的乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 题型5 有理数的除法运算 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 21．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，掌握求解的方法是关键；先把原式变形为，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 22．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 23．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的除法法则进行计算即可； （2）先算出乘方，再算乘法运算，最后把结果合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的除法，首先根据有理数的除法法则，求出的值是多少；然后用除以所得的商，求出算式的值是多少即可． 【详解】解： ． 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序．根据乘法分配律计算． 【详解】解： ． 题型6 有理数的乘除法运算 运算步骤：(1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可； （2）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可； （3）利用有理数的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 27．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 28．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可； （2）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可． 【详解】（1）解： （2） 29．（24-25七年级上·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法运算法则，从左到右依次进行计算． 将带分数化为假分数，按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【详解】解：原式 ． 30．（23-24七年级上·四川广元·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)10 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序． （1）按照有理数的加减法运算法则以及去括号法则计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算顺序，从左到右依次计算，先算除法再算乘法即可； （3）按照有理数的乘法运算以及乘法分配律计算即可； （4）先分别计算出式子中乘方的值和绝对值，再按照从左到右的顺序进行乘除运算，最后进行减法运算得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型7 有理数的加减乘除混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 31．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算、绝对值等知识点，灵活运用有理数的四则混合运算成为解题的关键． 直接运用有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 32．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) (5) (6)6 (7) (8) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是掌握有理数相关的运算法则． （1）先化简，再结合有理数的加减运算的法则进行运算即可； （2）先化简，再结合有理数的加减运算的法则进行运算即可； （3）先化简，再利用有理数的加法的运算律进行运算较简便； （4）先算除法，再算加减即可； （5）把除法转为乘法，再算乘法即可； （6）利用乘法的运算律进行运算即可； （7）把除法转为乘法，再算乘法即可； （8）利用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： （5）解： ； （6）解： ； （7）解： （8）解： 33．（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）脱式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了四则混合运算，先算小括号里的减法，并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律算中括号里的加法，最后算乘法即可． 【详解】解： ． 34．（24-25七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可； （4）先将小数化为分数，再对括号内通分计算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （5）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可； （6）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 35．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）计算题．（写出必要的计算过程．能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)88 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先将化成，再利用乘法分配律计算，然后计算加减法即可得； （2）利用乘法的交换律与分配律进行计算即可得； （3）先去括号，再计算括号内的减法，然后利用乘法分配律计算即可得； （4）将原式变形为，则式子可变形为，据此计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型8 含乘方的有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 36．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方、中括号内的乘法，再计算小括号内的加法，最后计算除法即可得． 【详解】解：原式 ． 37．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． （1）先算乘方，再算括号里的，最后算乘法即可； （1）先算乘方，再算括号里的，最后算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 38．（24-25七年级上·广东东莞·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘方，然后计算中括号内的乘法，再计算括号内的减法，然后计算除法，最后再计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 39．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分数的运算，求一个数的绝对值，乘法运算等知识点，注意掌握分数的运算法则以及乘方运算是解题的关键． 先进行乘方运算和绝对值运算，再进行分数的运算即可． 【详解】解：原式 ． 40．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的混合运算．先计算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 题型9 新定义我问题 41．（24-25七年级上·吉林长春·期末）定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此和是一组“海春轩数”． (1)与_______是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义解答即可； （）由新定义得，再代入化简即可； 本题考查了新定义运算，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴与是一组“海春轩数”， 故答案为：； （2）解：∵、是一组“海春轩数”， ∴， ∴． 42．（24-25七年级上·河南郑州·期末）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． (1)直接写出的值为___________； (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减运算，整式的加减，利用数轴判断式子的正负，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据题干的新定义列式计算即可得解； （2）由数轴可得，，得出，，根据题干的新定义，化简绝对值，然后根据整式加减运算法则即可求解 【详解】（1）解：规定， ∴ ； （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ 43．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号________，异号________，并把绝对值________．特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算；都得________； ②计算：________； ③若，则________，________； (2)化简：． 【答案】(1)①得正；得负；相加；这个数的绝对值；②；③1；3 (2)当时，；当时， ；当时，． 【分析】本题考查了新运算，有理数的加法，整式的加减运算，归纳出新运算的运算法则并灵活应用是解题的关键． （1）①根据题中的算式归纳即可得运算法则； ②按照①中归纳的运算法则计算即可； ③两个数运算得0知，这两个数都为0，由此即可求得a与b的值； （2）分、、三种情况计算即可． 【详解】（1）解：①由题中算式计算归纳得：两数进行“※（加乘）”运算，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算；都得这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；这个数的绝对值； ②； 故答案为：； ③因为， 所以， 所以； 故答案为：1；3； （2）解：当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上，当时，；当时， ；当时，． 44．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，解二元一次方程组； （1）根据，进行计算即可求解； （2）根据，得出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据，列出方程组，求出方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 解得： （3）解：根据题中的新定义得： ①+②得：， 解得， 将代入①得 ∴ 45．（24-25七年级上·福建福州·期中）我们定义：对于数对，若，则称为“差积等数对”如：因为，所以是“差积等数对” (1)下列数对中，是“差积等数对”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若是“差积等数对”，求x的值； (3)若是“差积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“差积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“差积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“差积等数对”， ∵， ∴是“差积等数对”， ∵， ∴数对不是“差积等数对”， 故答案为：①②； （2）∵是“差积等数对”， ∴， 解得：； （3） ， ∵是“差积等数对” ∴， ∴原式 ． 46．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则，将和代入计算即可； （2）根据新定义的运算规则，将和x代入可得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 47．（24-25七年级上·河南漯河·期中）规定：如果，那么称a为b的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是a、b两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______； (2)劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则，．根据运算性质，填空： ①______（b为正数）； ②若，则______，______；（答案精确到小数点后一位） ③当，，，写出a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)①3；②1.5，；③ 【分析】本题考查了有理数的乘方，解答此题的关键是理解劳格数的定义与性质． （1）根据劳格数的定义解答即可； （2）根据劳格数的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：根据劳格数的定义，； （2）解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴； ③∵，，， ∴， ∴，即． 48．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 49．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）先计算中括号里面的，再计算括号外面的即可得出答案． 本题考查的是有理数的混合运算，解题关键在于根据新定义列出代数式． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 50．（24-25七年级上·河南郑州·期中）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值； （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”， ∵， ∴不是“和积等数对”， ∵， ∴数对是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）解： ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优03有理数的运算九大题型专项训练 题型1 有理数的加法运算 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型2 有理数的减法运算 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 6．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； (1)嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 8．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 10．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 题型3 有理数的加减法运算 有理数的加减法混合运算的运算步骤： 1）将减法转化成加法运算； 2）把算式写成省略加号和括号的和的形式； 3）按有理数加法法则计算，并适当运用加法交换律和结合律简化运算. 11．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）计算： (1)； (2) 13．（24-25七年级上·天津·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）计算： (1) (2) 15．（24-25七年级下·北京·开学考试）计算：． 题型4 有理数的乘法运算 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 19．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）简便计算． (1) (2) 20．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型5 有理数的除法运算 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 21．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）计算： 22．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 23．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) 24．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： ． 题型6 有理数的乘除法运算 运算步骤：(1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 27．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 28．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 29．（24-25七年级上·北京·期中）计算： 30．（23-24七年级上·四川广元·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7 有理数的加减乘除混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 31．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）计算： 32．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 33．（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）脱式计算：． 34．（24-25七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 35．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）计算题．（写出必要的计算过程．能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8 含乘方的有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 36．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 37．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算： (1) (2) 38．（24-25七年级上·广东东莞·期末）计算：． 39．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）计算：． 40．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）计算：． 题型9 新定义我问题 41．（24-25七年级上·吉林长春·期末）定义：若，则称、是“海春轩数”．例如：，因此和是一组“海春轩数”． (1)与_______是一组“海春轩数”； (2)若、是一组“海春轩数”，求代数式的值． 42．（24-25七年级上·河南郑州·期末）对于有理数，定义一种新运算“”，规定． (1)直接写出的值为___________； (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． 43．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：；；；；；；． (1)①综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号________，异号________，并把绝对值________．特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算；都得________； ②计算：________； ③若，则________，________； (2)化简：． 44．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 45．（24-25七年级上·福建福州·期中）我们定义：对于数对，若，则称为“差积等数对”如：因为，所以是“差积等数对” (1)下列数对中，是“差积等数对”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若是“差积等数对”，求x的值； (3)若是“差积等数对”，求代数式的值． 46．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 47．（24-25七年级上·河南漯河·期中）规定：如果，那么称a为b的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是a、b两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______； (2)劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则，．根据运算性质，填空： ①______（b为正数）； ②若，则______，______；（答案精确到小数点后一位） ③当，，，写出a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 48．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 49．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 50．（24-25七年级上·河南郑州·期中）我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求代数式的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$