专题2.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积（六个考点3个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题2.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积 （六个考点3个易错点） 【考点1 弧长的计算】 【考点2 利用弧长公式求周长】 【考点3 计算扇形的面积】 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 【考点6 圆锥的计算】 【易错点1 弧长的计算】 【易错点1 扇形面积的计算】 【易错点3圆锥的计算】 【考点1 弧长的计算】 1．（2024•清城区一模）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，则的长为（　　） A． B．π C． D．2π 2．（2024•越秀区校级三模）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则的长为（　　） A．3 B． C．π D． 3．（2024•贵州）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（　　） A．30π B．25π C．20π D．10π 4．（2024春•廉江市校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝2，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2024•峰峰矿区三模）某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．3.5πcm B．7πcm C．12πcm D．24πcm 6．（2024•广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　） A． B． C． D． 7．（2024•沁水县二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20cm，如果该转动轮转动了两周后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（　　） A． B．40πcm C．80πcm D． 【考点2 利用弧长公式求周长】 8．（2024•红河州一模）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”的周长是（　　） A．10 B．π C．30 D．10π 9．（2023•郁南县校级模拟）最近“羊了个羊”游戏非常火热，杨老师设置了一个数学版“羊了个羊”游戏．如图，一根6米长的绳子，一端拴在点A处，另一端拴着一只小羊（把小羊近似看作点D）．已知墙体AB的左边是空地，∠ABC＝60°，墙体AB长3米，小羊D可以绕到草地上活动，请问小羊D在草地上最大活动区域的周长是（　　） A． B．2π+6 C．π+6 D．3π 10．（2024•阿城区三模）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为2的正方形OCDE的顶点分别在半径OA、OB和弧AB上．则阴影部分的周长为 　2+π　． 11．（2024•遂平县三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点），则扇形AOC的周长为 　　． 12．（2024•沂南县一模）如图，AB是⊙O的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D，若AB＝2，则图中阴影部分图形的周长和为 　　．（结果保留π） 13．（2024春•船营区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是AC的中点，以点A、C为圆心，以AD、CD的长为半径画圆弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长为 　 　（结果保留π）． 14．（2023秋•海曙区期中）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的周长是 　 ． 15．（2023秋•高新区校级期中）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，则图2的周长为 　　cm（结果保留π）． 【考点3 计算扇形的面积】 16．（2024•甘井子区校级一模）已知某扇形弧长为3π，圆心角为60°，则扇形面积为（　　） A． B． C． D． 17．（2024•拱墅区二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为（　　） A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步 18．（2024•应县一模）如图，在扇形AOB中，AO⊥OB，∠AOC＝∠BOC，若扇形AOB的半径为2，则扇形AOC的面积为（　　） A．2π B． C．π D． 19．（2024•深圳）如图，在矩形ABCD中，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 　　． 20．（2024•武侯区模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＜180°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，若OA＝2，∠AOP＝35°，则扇形AOB的面积为 　　（结果保留π）． 21．（2024春•徐州期中）如图，以四边形ABCD各顶点为圆心，以2为半径画圆，则图形中各扇形面积之和是 　　. 22．（2024•二道区校级模拟）一个闹钟的时针长是6cm，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 　　cm2． 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 23．（2024•东莞市校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 24．（2024•迎泽区校级三模）如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O′处，得到扇形O'A'B'．若∠AOB＝90°，，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C． D． 25．（2024•旺苍县三模）如图．点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为π．则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π D．+ 26．（2024•南海区校级模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　） A． B． C． D． 27．（2024•运城三模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，P是AD的中点，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，交BC于点E，以点C为圆心，CP的长为半径画弧，交BC于点F，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 28．（2024•射洪市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 29．（2024•重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32﹣8π B．16﹣4π C．32﹣4π D．16﹣8π 30．（2024•市中区校级模拟）如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇形MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 31．（2024•朔州模拟）如图，⊙O半径OA＝2，将圆沿BC折叠，点A与圆心O重合，图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 32．（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 33．（2024春•渠县校级月考）如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，半圆绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B． C． D．π 34．（2024•平原县模拟）如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C'在BO延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A．πcm2 B． C．4πcm2 D． 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 35．（2024春•武城县校级月考）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为（　　） A．10π B． C． D． 36．（2024•石家庄模拟）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（　　）平方单位（结果保留π）． A． B． C． D． 37．（2023秋•浙江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝30°，AC＝4，以AC中点O为圆心作弧AB及弧AD，动点P从C点出发沿线段CB，弧BA，弧AD，线段DC的路线运动，点P从点C运动到点D时，线段OP扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 38．（2023•乐至县校级模拟）将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置．∠B＝60°，AC＝2，若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB上，则点A运动路径的长度为（　　） A． B． C． D． 39．（2024•杭锦后旗模拟）如图，等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心，连接OB，OC，把△BOC绕着点CO旋转到△AO′C的位置，在这个旋转过程中，线段OB所扫过的图形的面积是　 　． 40．（2023秋•龙潭区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，将矩形绕点A旋转90°，到达AB'C'D'的位置，则在转动过程中，边CD扫过的图形的面积S＝　　． 41．（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 　 　．（结果保留π） 42．（2023秋•定南县期末）如图，在边长为1的正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1． （1）点A1的坐标为 　 　；∠AOA1的度数为 　 　． （2）在旋转过程中，点B经过的路径为，求的长． 【考点6 圆锥的计算】 43．（2024•无锡二模）圆锥的展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为2：1，则母线长为（　　） A．10 B．20 C． D．20 44．（2024•垦利区模拟）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 45．（2024•港南区二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为16cm，圆心角为90°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 46．（2024•绥化）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　　cm． 47．（2024•黑龙江）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 　　°． 48．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【易错点1 弧长的计算】 1．点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 【易错点1 扇形面积的计算】 2．如图，点O是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C． D． 3．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ODE＝30°，BE＝1，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 4．如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE、CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　． 5．如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4cm为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2（结果保留根号和π）． 6．已知扇形的圆心角为150°，半径为4cm，则扇形的面积是 　 　cm2． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 　 　． 8．如图，半圆的直径AB＝4，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，则阴影部分面积等于 　 ． 【易错点3圆锥的计算】 9．把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC的面积是　 cm．（结果保留π） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积 （六个考点3个易错点） 【考点1 弧长的计算】 【考点2 利用弧长公式求周长】 【考点3 计算扇形的面积】 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 【考点6 圆锥的计算】 【易错点1 弧长的计算】 【易错点1 扇形面积的计算】 【易错点3圆锥的计算】 【考点1 弧长的计算】 1．（2024•清城区一模）如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，则的长为（　　） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠BOD＝2∠A＝120°， ∴的长为：＝． 故选：C． 2．（2024•越秀区校级三模）如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，∠ACB＝30°，则的长为（　　） A．3 B． C．π D． 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°， ∴的长＝＝π， 故选：C． 3．（2024•贵州）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（　　） A．30π B．25π C．20π D．10π 【答案】C 【解答】解：因为∠AOB＝150°，OA＝24， 所以的长为：． 故选：C． 4．（2024春•廉江市校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝2，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接CD， ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝2， ∴∠A＝30°，， ∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝1， ∴， 故选：B． 5．（2024•峰峰矿区三模）某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．3.5πcm B．7πcm C．12πcm D．24πcm 【答案】B 【解答】解：根据题意得：l＝＝7π（cm）， 则重物上升了7πcm． 故选：B． 6．（2024•广安）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接OD，OE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠ABC＝70°， ∴∠OEB＝∠C＝70°， ∴OE∥AC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，， ∵OE∥AC， ∴∠A＝∠ADO＝40°＝∠DOE， ∴的长度为， 故选：C． 7．（2024•沁水县二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20cm，如果该转动轮转动了两周后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（　　） A． B．40πcm C．80πcm D． 【答案】D 【解答】解：传送带上的物体A被传送的距离为＝π（cm）． 故选：D． 【考点2 利用弧长公式求周长】 8．（2024•红河州一模）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为10，则这个“莱洛三角形”的周长是（　　） A．10 B．π C．30 D．10π 【答案】D 【解答】解：如图，△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴的长＝的长＝的长＝＝π， ∴这个“莱洛三角形”的周长是10π． 故选：D． 9．（2023•郁南县校级模拟）最近“羊了个羊”游戏非常火热，杨老师设置了一个数学版“羊了个羊”游戏．如图，一根6米长的绳子，一端拴在点A处，另一端拴着一只小羊（把小羊近似看作点D）．已知墙体AB的左边是空地，∠ABC＝60°，墙体AB长3米，小羊D可以绕到草地上活动，请问小羊D在草地上最大活动区域的周长是（　　） A． B．2π+6 C．π+6 D．3π 【答案】B 【解答】解：小羊D在草地上最大活动区域的周长是+6＝（2π+6）（米）． 故选：B． 10．（2024•阿城区三模）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为2的正方形OCDE的顶点分别在半径OA、OB和弧AB上．则阴影部分的周长为 　2+π　． 【答案】2+π． 【解答】解：连接OD，则∠BOD＝45°， ∵正方形边长为2， ∴ED＝2，OB＝OD＝2， ∴BE＝OB﹣OE＝2﹣2， 弧BD的长为＝π， 故阴影部分的周长为2+2﹣2+π＝2+π． 故答案为：2+π． 11．（2024•遂平县三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点），则扇形AOC的周长为 　　． 【答案】． 【解答】解：连接AC， 由勾股定理，得：， ∴OA2+OC2＝20＝AC2， ∴∠AOC＝90°， ∴的长为：， ∴扇形AOC的周长为． 故答案为：． 12．（2024•沂南县一模）如图，AB是⊙O的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D，若AB＝2，则图中阴影部分图形的周长和为 　π　．（结果保留π） 【答案】π． 【解答】解：连接AC、BC、DA、DB，如图， 由作法得BC＝BA＝AC＝BD＝AD＝2， ∴△ACB和△ADB都是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠BAD＝∠ABD＝60°， ∴图中的长＝的长＝＝π， ⊙O的周长＝2π×1＝2π， ∴图中阴影部分图形的周长和为：π+π+2π＝π． 故答案为：π． 13．（2024春•船营区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是AC的中点，以点A、C为圆心，以AD、CD的长为半径画圆弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长为 　　（结果保留π）． 【答案】． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴，∠A+∠C＝90°， ∵点D是AC的中点， ∴， ∴AE＝AD＝CD＝CF＝2.5， ∴弧DE的长与弧DF的长的和为， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 14．（2023秋•海曙区期中）如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的周长是 　π+4　． 【答案】π+4． 【解答】解：由翻折的性质可知，OC＝CD，OB＝BD＝2， ∴阴影部分的周长为：AC+CD+BD+ ＝OA+OB+ ＝2+2+π ＝π+4． 故答案为：π+4． 15．（2023秋•高新区校级期中）如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，则图2的周长为 　30π　cm（结果保留π）． 【答案】30π． 【解答】解：由图1得：的长+的长＝的长， ∵半径OA＝18cm，∠AOB＝150°， 则图2的周长为：2×＝30π（cm）， 故答案为：30π． 【考点3 计算扇形的面积】 16．（2024•甘井子区校级一模）已知某扇形弧长为3π，圆心角为60°，则扇形面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设扇形所在的圆的半径为r，由弧长公式可得， ＝3π， 解得r＝9， 所以扇形的面积为×3π×9＝π（cm2）． 故选：D． 17．（2024•拱墅区二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为（　　） A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步 【答案】A 【解答】解：∵扇形所在圆的直径是16步， ∴扇形所在圆的半径是8步， ∵弧长是30步， ∴扇形的面积＝弧长×半径＝（平方步）， 即这块田地的面积为120平方步， 故选：A． 18．（2024•应县一模）如图，在扇形AOB中，AO⊥OB，∠AOC＝∠BOC，若扇形AOB的半径为2，则扇形AOC的面积为（　　） A．2π B． C．π D． 【答案】B 【解答】解：∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOC＝∠BOC， ∴∠AOC＝×（360°﹣90°）＝135°， ∵扇形AOC的半径为2， ∴扇形AOC的面积＝＝π． 故选：B． 19．（2024•深圳）如图，在矩形ABCD中，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 　4π　． 【答案】4π． 【解答】解：∵OE＝AB＝4， ∴BC＝AB＝4， ∵O为BC中点， ∴OB＝OC＝BC＝2， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠OBE＝90°， ∴cos∠BOE＝＝， ∴∠BOE＝45°， 同理，∠COF＝45°， ∴∠EOF＝180°﹣∠BOE﹣∠COF＝90°， ∴S扇形EOF＝×π•OE2＝4π． 故答案为：4π． 20．（2024•武侯区模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＜180°，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线OP，若OA＝2，∠AOP＝35°，则扇形AOB的面积为 　　（结果保留π）． 【答案】． 【解答】解：根据题中所给作图方式可知， OP平分∠AOB， ∵∠AOP＝35°， ∴∠AOB＝2∠AOP＝70°， ∴． 故答案为：． 21．（2024春•徐州期中）如图，以四边形ABCD各顶点为圆心，以2为半径画圆，则图形中各扇形面积之和是 　4π　. 【答案】4π． 【解答】解：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴S阴影＝π×22＝4π． 故答案为：4π． 22．（2024•二道区校级模拟）一个闹钟的时针长是6cm，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 　9π　cm2． 【答案】9π． 【解答】解：由题知， 从下午1点到下午4点，时针扫过了90°， 又因为闹钟的时针长是6cm， 所以时针所扫过的面积是：（cm2）． 故答案为：9π． 【考点4计算不规则图形的阴影部分面积】 23．（2024•东莞市校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点O，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交AD于点E；以点C为圆心，CO长为半径作弧，交BC于点F．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝4，AD∥BC，OA＝OC，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形，∠BAD＝120°， ∴AC＝AB＝AD，∠DAC＝∠ACB＝60°， ∴结合作图可得：点E是AD的中点，点F是BC的中点， ∴AE＝AO＝CO＝CF＝2， ∴， ∴， ， ∴； 故选：D． 24．（2024•迎泽区校级三模）如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O′处，得到扇形O'A'B'．若∠AOB＝90°，，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，设O′A′与交于点T，连接OT， ∵点O′是OB的中点，， ∴， ∵OT＝OB， ∴， 由平移的性质，得∠A′O′B′＝∠AOB＝90°，即∠OO′T＝180°﹣∠A′O′B′＝90°， ∵， ∴∠TOO′＝60°， ∴，∠AOT＝∠AOB﹣∠TOO′＝30°， 由平移的性质，得S阴影+S1＝S2+S1， ∴， 故选：B． 25．（2024•旺苍县三模）如图．点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为π．则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π D．+ 【答案】A 【解答】解：连接CO、DO、AC，如图所示， ∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，弧CD的长为π， ∴∠COD＝60°，圆的半周长＝πr＝3×π＝2π， ∴r＝2， ∵△ACD的面积等于△OCD的面积， ∴S阴影＝S扇形OCD＝＝π． 故选：A． 26．（2024•南海区校级模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接CD． ∵OC＝OD，∠O＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝3cm， ∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝， 故选：B． 27．（2024•运城三模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，P是AD的中点，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，交BC于点E，以点C为圆心，CP的长为半径画弧，交BC于点F，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于点M， 由题意可知，∠PBM＝45°， ∴BM＝PM＝AB＝3， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积＝． 故选：D． 28．（2024•射洪市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【解答】解：连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴， 故选：A． 29．（2024•重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．32﹣8π B．16﹣4π C．32﹣4π D．16﹣8π 【答案】D 【解答】解：连接AC． ∵两弧有且仅有一个公共点，AD＝4， ∴AC＝2AD＝8， ∴在Rt△ADC 中，CD＝＝＝4， ∴S矩形ABCD＝AD•CD＝16， ∵两个扇形均为圆，而且它们的半径相等， ∴两个扇形为圆，面积之和为S两个扇形＝πAD2＝8π， ∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形＝16﹣8π． 故选：D． 30．（2024•市中区校级模拟）如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，半径OM＝6，将扇形MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接OQ，交PN于E， ∵沿PN对折O和Q重合，OQ＝6， ∴PN⊥OQ，QE＝OE＝3，∠QNE＝∠ONE，ON＝NQ＝6， ∴∠NEO＝90°，△QON是等边三角形， ∴∠QON＝∠QNO＝60°， ∵∠MON＝105°， ∴∠POQ＝∠MON﹣∠QON＝45°， ∵∠OEP＝90°， ∴PE＝OE＝3， ∴阴影部分的面积 ＝S扇形MOQ﹣S△POQ ＝﹣×6×3 ＝π﹣9， 故选：D． 31．（2024•朔州模拟）如图，⊙O半径OA＝2，将圆沿BC折叠，点A与圆心O重合，图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AB，OB，OC，AC，OA与BC交于D， 由折叠性质可得，AB＝OB＝2，OC＝AC＝2，OA⊥BC， ∵OA＝OB＝OC， ∴AB＝OB＝OA＝2，OC＝AC＝OA＝2， ∴△OBA，△OAC是等边三角形， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BOA＝∠COA＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴， ∵OA⊥BC，OB＝OC， ∴∠OBD＝∠OCB＝30°，BD＝CD， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 32．（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【答案】B 【解答】解：连接AC，CO， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°． 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAO＝60°． 又∵∠AOB＝120°， ∴∠CAO+∠AOB＝180°， ∴AC∥OB， ∴S△ABC＝S△AOC， ∴． 故选：B． 33．（2024春•渠县校级月考）如图，AB为半圆的直径，且AB＝2，半圆绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B． C． D．π 【答案】C 【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转60°，点A旋转到A′的位置， ∴S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝60°， ∴S阴影+S半圆AB＝S半圆A′B+S扇形ABA′， ∴ 故选：C． 34．（2024•平原县模拟）如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C'在BO延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A．πcm2 B． C．4πcm2 D． 【答案】C 【解答】解：∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，∠OBC＝30°， ∴OC＝OC'，∠COC'＝∠BOB'，OB＝OB'＝4cm，S△COB＝S△C'OB'， ∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°， ∴∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°，， ∴∠COC'＝180°﹣∠COB＝120°， ∴∠BOB'＝120°， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BOB'+S△C'OB'﹣S扇形COC'﹣S△COB＝S扇形BOB'﹣S扇形COC'＝＝＝4π（cm2）， 故选：C． 【考点5 旋转过程中扫过的路径或面积】 35．（2024春•武城县校级月考）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为（　　） A．10π B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 36．（2024•石家庄模拟）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是（　　）平方单位（结果保留π）． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝， 由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°， ∴线段AB扫过的图形面积＝＝＝． 故选：B． 37．（2023秋•浙江期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝30°，AC＝4，以AC中点O为圆心作弧AB及弧AD，动点P从C点出发沿线段CB，弧BA，弧AD，线段DC的路线运动，点P从点C运动到点D时，线段OP扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接OB，OP，PB，PB交AC于点T． 由题意，AB＝AP＝OB＝OP＝OA＝OC＝2， ∴△ABO，△APO都是等边三角形， ∴BP⊥OA，∠AOB＝∠AOP＝60°， ∴AT＝OT＝1，∠BOP＝120°， ∴BT＝＝＝， 由题意，线段OP扫过的面积＝2S△COB+S扇形OBP＝2××2×+＝2+． 故选：B． 38．（2023•乐至县校级模拟）将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置．∠B＝60°，AC＝2，若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB上，则点A运动路径的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CE＝CB， 又∵∠B＝60°， ∴△CEB为等边三角形， ∴∠ECB＝60°， ∴∠ACE＝30°， 则A运动路径的长度＝＝． 故选：B． 39．（2024•杭锦后旗模拟）如图，等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心，连接OB，OC，把△BOC绕着点CO旋转到△AO′C的位置，在这个旋转过程中，线段OB所扫过的图形的面积是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心， ∴OB＝OC＝， ∴线段OB所扫过的图形的面积＝S扇形ACB﹣S扇形OCO′＝﹣＝﹣＝， 故答案为：． 40．（2023秋•龙潭区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，将矩形绕点A旋转90°，到达AB'C'D'的位置，则在转动过程中，边CD扫过的图形的面积S＝　16π　． 【答案】16π． 【解答】解： 设AD＝x cm， 则AC2＝x2+82＝x2+64， ∴AC2﹣x2＝64， ∵CD扫过的图形为扇环， ∴面积S＝π（AC2﹣AD2）＝×64π＝16π， 故答案为：16π． 41．（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 　　．（结果保留π） 【答案】． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°， 由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°， ∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为＝， 故答案为：． 42．（2023秋•定南县期末）如图，在边长为1的正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1． （1）点A1的坐标为 　（﹣2，3）　；∠AOA1的度数为 　90°　． （2）在旋转过程中，点B经过的路径为，求的长． 【答案】（1）（﹣2，3），90°； （2）π． 【解答】解：（1）如图所示： 由图可得，点A1的坐标为（﹣2，3）；∠AOA1的度数为90°． 故答案为：（﹣2，3），90°； （2）∵B（1，3）， ∴OB＝＝， ∴的长为：＝π． 【考点6 圆锥的计算】 43．（2024•无锡二模）圆锥的展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为2：1，则母线长为（　　） A．10 B．20 C． D．20 【答案】B 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r cm，则圆锥母线长为2r cm， 由题意得：×2πr×2r＝200π， 解得：r＝10（负值舍去）， 则圆锥母线长为20cm， 故选：B． 44．（2024•垦利区模拟）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：半径为15cm、圆心角为120°的扇形弧长是：＝10π cm， 设圆锥的底面半径是r cm， 则2πr＝10π， 解得：r＝5． 故选：C． 45．（2024•港南区二模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为16cm，圆心角为90°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：设此圆锥底面圆的半径为x cm， 由题意得：2πx＝， 解得：x＝4， ∴此圆锥底面圆的半径为4cm， 故选：C． 46．（2024•绥化）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　　cm． 【答案】． 【解答】解：扇形的弧长＝＝7π（cm）， 故圆锥的底面半径为7π÷2π＝（cm）． 故答案为：． 47．（2024•黑龙江）若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 　90　°． 【答案】90． 【解答】解：设圆锥的母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角是n°， ∵侧面积为36π， ∴π×3×l＝36π， 解得：l＝12， ∴扇形面积为36π＝， 解得：n＝90， ∴圆锥侧面展开图的圆心角是90度． 故答案为：90． 48．（2023秋•宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【答案】（1）； （2）该圆锥的底面圆的半径是． 【解答】解：（1）连接AB，OC， ∵∠ACB＝90°， ∴AB是圆O的直径， ∴点A、O、B三点共线， ∴OB＝OC＝OA， 又∵AC＝BC， ∴AO⊥BC， ∵圆的直径为2， 则， 故． ∴； （2）AB的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 【易错点1 弧长的计算】 1．点A，B，C在⊙O上的位置如图所示，∠A＝70°，⊙O的半径为3，则的长是（　　） A． B． C． D．7π 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝70°， ∴∠BOC＝2∠A＝140°， ∴＝×2π×3＝π． 故选：B． 【易错点1 扇形面积的计算】 2．如图，点O是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C． D． 【答案】B 【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示： ∵OD＝AO ∴∠OAD＝30°， ∴∠AOB＝2∠AOD＝120°， 同理∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝120°， ∴阴影部分的面积＝S扇形BOC＝×⊙O面积＝×π×32＝3π， 故选：B． 3．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ODE＝30°，BE＝1，则图中阴影部分的面积为 　0.36　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接OC，设⊙O的半径为r． ∵CD⊥AB， ∴∠DEO＝90°， ∵∠ODE＝30°，BE＝1，OE＝OB﹣BE＝r﹣1， ∴sin∠ODE＝，即＝，解得r＝2， 又∵OC＝OD， ∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠ODE＝60°， ∴S扇形BOC＝πr2＝r2， ∵OB＝r，CE＝DE＝OD•cos∠ODE＝r， ∴S△BOC＝OB•CE＝r2， ∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC ＝r2﹣r2 ＝（﹣）r2 ＝（﹣）×4 ≈0.36． 故答案为：0.36． 4．如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交于点E，∠CAB＝30°，AC＝AE、CD＝2，则图中阴影部分的面积为 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：连接OC、OD． ∵AC＝AE，∠CAB＝30°， ∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAB）÷2＝75°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠ACE﹣∠OCA＝75°﹣30°＝45°， ∴∠COD＝180°﹣∠OCD﹣∠ODC＝90°， ∴OD＝CD•sin∠OCD＝2×＝， ∴SRt△COD＝OC•OD＝1， ∵S扇形COD＝πOD2＝， ∴S阴影＝S扇形COD﹣SRt△COD＝﹣1． 故答案为：﹣1． 5．如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4cm为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 　（36﹣8π）　cm2（结果保留根号和π）． 【答案】（36﹣8π）． 【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD． ∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴AD＝AB•sin∠ABC＝12×＝6（cm）， ∴S△ABC＝BC•AD＝×12×6＝36（cm2）． 分别以点A、B、C为圆心，以4cm为半径画弧，得到3个完全相同的扇形，每个扇形的面积为×42π＝π（cm2）， ∴3个相同的扇形的总面积为S3个扇形＝π×3＝8π（cm2）， ∴S阴影＝S△ABC﹣S3个扇形＝36﹣8π（cm2）． 故答案为：（36﹣8π）． 6．已知扇形的圆心角为150°，半径为4cm，则扇形的面积是 　　cm2． 【答案】． 【解答】解：根据扇形的面积公式，得 S扇＝＝（cm2）． 故答案为：． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 　﹣　． 【答案】﹣． 【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1， ∴∠ABC＝90°，AC＝2BC＝2，AB＝， 如图①所示，点A关于直线CP的对称点为A'， ∴AC＝A'C， ∴点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧， 当点P与点B重合时，线段A'P扫过的区域为弓形，如图②， ∠APA'＝180°，∠ACA'＝120°， ∴线段A'P扫过的面积为﹣＝﹣， 故答案为：﹣． 8．如图，半圆的直径AB＝4，C，D是半圆上的三等分点，点E是OA的中点，则阴影部分面积等于 　π　． 【答案】π． 【解答】解：连接OC、OD、CD，如图： ∵C，D是半圆上的三等分点， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°， ∵OC＝OD， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∵∠OCD＝∠AOC， ∴CD∥AB， ∴S△ECD＝S△OCD， ∴阴影部分面积＝S扇形COD＝＝π． 故答案为：π． 【易错点3圆锥的计算】 9．把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC的面积是　65π　cm．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵圆锥的高h为12cm，OA＝13cm， ∴圆锥的底面半径＝＝5， ∴圆锥的底面周长＝2π×5＝10π， ∴扇形AOC的面积＝10π×13＝65πcm2， 故答案为：65π． 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