2.8 圆锥的侧面积（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.8 圆锥的测面积（七大题型提分练） 题型一 求圆锥的侧面积 1．（2023·江苏镇江·中考真题）圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．菱形 C．扇形 D．五边形 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 4．（2024·安徽亳州·一模）某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是_______； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 题型二 求圆锥的底面半径 1．（2023·山东东营·中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·四川德阳·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 3．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为 ．    4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    5．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 6．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 题型三 求圆锥的高 1．（2023·宁夏固原·一模）把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·云南临沧·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为______. 4．（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为_____. 5．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？ 6．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 4．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是____. 5．（23-24九年级下·北京·单元测试）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数 6．（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 题型五 求旋转体的表面积 1．（2023·江苏无锡·二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·西藏·中考真题）已知Rt△ABC的两直角边AC＝8，BC＝6，将Rt△ABC绕AC所在的直线旋转一周形成的立体图形的侧面积为 （结果保留π）． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．    4．（2024·陕西·模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片以直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？（，） 5．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 题型六 利用圆锥的侧面展开图求最短距离 1．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 5．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 题型七 圆锥在实际生活中的应用 1．（2023·云南昆明·一模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 4．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为 ． 5．（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    6．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14） 1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 3．（2023·云南楚雄·二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．10 4．（2024·湖南常德·一模）一个圆锥的母线长，底面直径长，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2023·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·山东泰安·二模）已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积和侧面展开图圆心角的度数为（    ）．    A．和 B．和 C．和 D．和 9．已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线,C为OB中点, 一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( ) A． B． C． D． 10．（2023·云南玉溪·模拟预测）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 11．（2022·浙江金华·一模）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）    A． B． C． D． 12．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 13．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 14．（2021·江苏淮安·中考真题）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ． 15．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 16．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 17．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 18．（2023·黑龙江·中考真题）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 ． 19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm． 20．（2023·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为 ． 21．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为 ． 22．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 23．（2023·河北保定·二模）某圆锥形遮阳伞主视图如图所示，若，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为 ．    24．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 25．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 26．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 27．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 28．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8 圆锥的测面积（七大题型提分练） 题型一 求圆锥的侧面积 1．（2023·江苏镇江·中考真题）圆锥的侧面展开图是（    ） A．三角形 B．菱形 C．扇形 D．五边形 【答案】C 【解析】解：由题意知，圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：C． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 故选：B． 3．（2022·四川遂宁·中考真题）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C 【解析】解：在中， cm， ∴它侧面展开图的面积是cm2． 故选：C 4．（2024·安徽亳州·一模）某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体的名称是_______； (2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π） 【解析】（1）解：由三视图可知，原几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． （2）解：根据图中数据知，圆锥的底面半径为4，高为6， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为． 题型二 求圆锥的底面半径 1．（2023·山东东营·中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解：设这个圆锥的底面半径是，依题意， ∴ 故选：A． 2．（2024·四川德阳·三模）已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】解：设圆锥的底面半径为， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 3．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为 ．    【答案】2 【解析】解：由题意得：母线长l为，， ， ∴， 故答案为：2． 4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    【答案】 【解析】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆锥底面圆的半径是r， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【解析】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 6．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【解析】（1）如图，连接，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为3． （2）设圆锥底面圆的半径为r， 根据题意，得， 解得． 故圆锥底面圆的半径为． 题型三 求圆锥的高 1．（2023·宁夏固原·一模）把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】解：设此圆锥的底面半径为， 由题意，得， 解得． 故圆锥的高为：． 故选：A． 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设圆锥的母线长为，则， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的弧长为： ∴圆锥的底面圆半径是， ∴圆锥的高为 故选C． 3．（2023·云南临沧·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为______. 【答案】 【解析】解：，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故答案为：． 4．（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，从一个直径为的圆形铁皮中剪出一个圆心为60°的最大扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为_____. 【答案】 【解析】解：设圆锥的底面圆半径为 过圆心O作于点D，连接，如图． ∵， ∴． ∴，， ∴ ∴ ∴圆锥的底面圆的半径． ∴圆锥的高为， 故答案为：． 5．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？ 【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝6， 所以这个圆锥的高＝（cm）． 6．如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，             （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 【解析】∵在等腰中，， ∴， ∵AD是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积. （2）设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得， 这个圆锥的高． 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：B． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆锥侧面积公式：，可得 解得：， ， 解得， 侧面展开图的圆心角是． 故答案为：C． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为，则其侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/216度 【解析】解：设圆锥高为，圆锥侧面展开图的圆心角为，则圆锥母线长为， 圆锥底面半径的长为， ， 解得：， 其侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 4．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是____. 【答案】180° 【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，圆心角的度数为n度 ∵它的轴截面是正三角形，∴R=2r， ∴2πr=， 解得n=180， 故展开图的圆心角为180° 故答案为：180°． 5．（23-24九年级下·北京·单元测试）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数 【解析】解：∵圆锥的底面半径为1， ∴圆锥的底面周长为2π， ∵圆锥的高是， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得：． 即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 6．（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【解析】解：（）设底面圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为； （）∵设底面圆的半径为， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 求旋转体的表面积 1．（2023·江苏无锡·二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，∴侧面积为：， 故选：C 2．（2022·西藏·中考真题）已知Rt△ABC的两直角边AC＝8，BC＝6，将Rt△ABC绕AC所在的直线旋转一周形成的立体图形的侧面积为 （结果保留π）． 【详解】由勾股定理得AB＝10， ∵BC＝6， ∴圆锥的底面周长＝12π， 旋转体的侧面积＝×12π×10＝60π， 故答案为：60π． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．    【答案】 【解析】解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥， ∵边上的高， ∴底面圆的周长为：， ∵，， ∴几何体的表面积为． 故答案为：． 4．（2024·陕西·模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片以直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？（，） 【答案】 【详解】解：由题意可知，所得圆锥的底面半径是， 高是，设这个圆柱的高是，根据题意，得， 解得， 这个圆柱的高是， 故答案为：． 5．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图 小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．” 你认同小亮的说法吗？请说明理由． 【解析】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，， 乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，， ∵， ∴， 故不认同小亮的说法． 题型六 利用圆锥的侧面展开图求最短距离 1．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为MN为圆锥底面的直径，展开后D图中MN即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选D． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【解析】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【解析】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【解析（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 5．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【解析】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 题型七 圆锥在实际生活中的应用 1．（2023·云南昆明·一模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的侧面积为， 即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是， 故选：C． 2．（2023·河北保定·模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】A 【解析】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【解析】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 4．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为 ． 【答案】 【解析】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故答案为：． 5．（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    【解析】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：， 设帐篷的底面半径为，则， 解得：， 帐篷的底面需要的材料为， 制作这顶帐篷（侧面与底面）需要的材料为：． 6．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14） 【解析】解：如图： 由勾股定理可知：圆锥的母线长， 设底圆半径为r，则由图可知， 圆锥的表面积：， 圆柱的表面积：， ∴组合体的表面积为：， ∵每平方米用锌0.1千克， ∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌． 1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：C． 2．（2024·江苏无锡·二模）圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（    ）． A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：B． 3．（2023·云南楚雄·二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【解析】解：∵圆的半径， ∴圆的周长， ∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是， ∵扇形的圆心角等于， ∴， ∴这个扇形的半径是． 故选：C． 4．（2024·湖南常德·一模）一个圆锥的母线长，底面直径长，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 依题意得：， 解得：， ∴该圆锥的侧面展开图的圆心角为． 故选：B． 5．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm， 由题意得：，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案为：B． 6．（2023·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为， 故选：． 7．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 圆锥的体积为， 故选：D． 8．（2023·山东泰安·二模）已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积和侧面展开图圆心角的度数为（    ）．    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】解：由题意得该几何体是圆锥，且底面圆直径为，高为， ∴底面圆半径为， ∴母线长为， 设展开图圆心角度数为， ∴， ∴， ∴侧面积为， 故选B． 9．已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线,C为OB中点, 一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A， ∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即可是最短路线， ∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可； 故选C． 10．（2023·云南玉溪·模拟预测）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：扇形的面积，即， 解得，即圆锥的底面周长为， 由可得圆锥的半径，即直角三角形的一直角边为， 设直角三角形的另一条直角边的长为， 由勾股定理可知， 解得：， 直角三角形的另一直角边为，即圆锥的高为． 故选：B． 11．（2022·浙江金华·一模）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形， 则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．    ∵点B是母线PA的中点，， ∴， ∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长， 又∵圆锥底面半径为1， ∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4， 由弧长公式可得： ∴扇形的圆心角， 在Rt△APB中，由勾股定理可得：， 所以 蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：C． 12．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ， ∴ 解得： ∵ 解得： ∴侧面展开图的圆心角为 如图所示，即为所求，过点作， ∵，，则 ∵，则 ∴，，    故选：B． 13．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 14．（2021·江苏淮安·中考真题）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ． 【答案】6 【解析】解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3， 3πl＝18π． 解得：l＝6， 故答案为：6． 15．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】5 【解析】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：5． 16．（2024·江苏泰州·三模）如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】1.8 【解析】解：∵是正五边形， ∴， 设底面圆的半径为r，则 ， 解得， 故答案为：． 17．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 120 【解析】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径， ∴该圆锥底面周长， ∵圆锥母线长为3， ∴该圆锥的侧面展开图的半径为3， ∴，解得：， 即展开图（扇形）的圆心角是120度， 圆锥的侧面积， 故答案为：120，． 18．（2023·黑龙江·中考真题）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 ． 【解析】解：根据圆锥侧面积公式变形可得， 根据圆锥母线公式， 可得， 故答案为：12． 19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm． 【答案】 【解析】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥的高cm， 故答案是：． 20．（2023·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【解析】解：∵菱形的周长为48， ∴，即圆锥的母线长为， ∵该圆锥的高为8， ∴底面半径为， ∴由圆锥侧面积公式得：， ∴， 故答案为：． 21．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【解析】解：大圆柱的底面周长为， 大圆柱的底面半径， ， 大圆柱的高， 又小圆柱的体积为， 小圆柱的底面面积为， 小圆柱的底面半径， 小圆柱中放了一个最大的圆锥， 圆锥的母线长， 该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 22．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【解析】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 23．（2023·河北保定·二模）某圆锥形遮阳伞主视图如图所示，若，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为 ．    【答案】 【解析】解：如图，过点O作于点D，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 24．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 40 2 【解析】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 25．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【解析】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 26．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）小林同学不仅是数学爱好者，还喜欢运用数学知识对日常生活中的事物进行分析，下面是他对如何制作圆锥形漏斗的分析．小林要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）． (1)求这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数． (2)如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？（参考数据：） 【详解】（1）解：设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为， ∵底面半径为，高为的锥形漏斗， ∴圆锥的母线长为：， ∴，解得：， 即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为； （2）解：如图，过点作， 四边形是矩形，由（1）知， ． 由（1）可得；， 在中， ， ， ， ， 方案一所需的矩形铁皮的面积； 如图，， ， 在中， ， ， ， 方案二所需的矩形铁皮的面积， ， 方案二所用的矩形铁皮面积较少． 27．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【解析】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； （2）由（1）得：， ； （3），， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 28．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【解析】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴是的半径， 又， ∴是的切线； （2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求， 理由，∵ ， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴是的切线； （3）解：∵ ∴， ∴ 则圆锥的底面圆的半径为 如图，连接交于点，过点作 于点，交于点，过点作于点，则与相切， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）可知之间的距离为， ∴, ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设的半径为，则， ∴ 解得 ∴, ∴， ∴， ， ∵， 又， ∴， 即， ∵． ∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$